童 燕,楊青山，張玉龍，王秋玲*

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 安徽阜陽 236037；2.江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

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重力驅(qū)動(dòng)的水滴在土壤毛孔內(nèi)非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)研究

童 燕1,楊青山1，張玉龍2，王秋玲1*

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 安徽阜陽 236037；2.江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

摘要重力驅(qū)動(dòng)下的水滴入滲是多孔介質(zhì)特別是土壤中水分運(yùn)移的一個(gè)基本問題，理論研究中常常用毛細(xì)管內(nèi)的液塞(slug)運(yùn)動(dòng)來模擬?？紤]前端液面的動(dòng)態(tài)接觸角效應(yīng)，建立包含接觸角參數(shù)的描述液塞非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。應(yīng)用該模型，研究多孔介質(zhì)物理性質(zhì)如斥水性、毛細(xì)管內(nèi)徑和液塞初始長度等參數(shù)對(duì)液塞運(yùn)動(dòng)過程的影響。結(jié)果表明：接觸角的增加能顯著影響毛管內(nèi)液塞的下落速度，表明斥水性增加將顯著降低土壤等多孔介質(zhì)的導(dǎo)滲率；液塞在大管徑毛管中平均速度較大，但能夠到達(dá)的最終深度較??；相反地，液塞在小管徑毛管中的平均下落速度較小，但能到達(dá)的最終深度較大。綜合得出，在考慮孔隙結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)分布的基礎(chǔ)上，該模型可用于宏觀入滲過程的模擬研究。

關(guān)鍵詞土壤孔隙；液塞動(dòng)力學(xué)；薄膜；垂直毛細(xì)管；非穩(wěn)態(tài)；接觸角

水滴入滲是多孔介質(zhì)水分運(yùn)移的基本問題，許多工業(yè)生產(chǎn)及自然現(xiàn)象都與水滴在多孔介質(zhì)的入滲過程相關(guān)。研究液滴在孔隙內(nèi)的入滲速度和多孔介質(zhì)被滲潤區(qū)域的大小，需要了解液滴滲潤介質(zhì)孔隙時(shí)的動(dòng)力學(xué)過程[1-2]。毛細(xì)管束模型是用來表征多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的一種簡單模型[3-7]。在該模型中，多孔介質(zhì)由一束具有一定管徑分布的一維毛細(xì)管束組成，管徑分布根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得介質(zhì)的基質(zhì)勢(shì)-飽和度特征曲線決定，毛細(xì)管束之間相互獨(dú)立。水分的宏觀入滲由流體在每根獨(dú)立毛細(xì)管內(nèi)的入滲組成，通過體積平均或橫截面平均可將毛管內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)上升為宏觀流體的入滲過程。經(jīng)典的毛細(xì)管內(nèi)水分運(yùn)動(dòng)模型是Lucas-Washburn模型[8]，該模型假設(shè)流體在毛細(xì)管內(nèi)連續(xù)分布，因此，以Lucas-Washburn模型為基礎(chǔ)的入滲模型只能適用于供水充分的積水入滲情形。對(duì)于供水不充分的入滲問題，如雨滴入滲、墨滴浸潤等過程，需要考慮非連續(xù)的液滴在毛細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)過程[1,7-9]。

一定體積的液滴束縛在毛細(xì)管內(nèi)形成柱狀液塞，液塞同時(shí)受到重力、前后液面的毛細(xì)作用力以及黏滯力的作用。除此之外，當(dāng)液塞在毛細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，還會(huì)留下一層薄膜，使得液塞的長度不斷縮短[10]。因此，液塞的下落運(yùn)動(dòng)是一種速度和長度不斷減少的非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)中一般忽略滯留薄膜對(duì)液塞長度變化的影響，近似認(rèn)為液塞下落運(yùn)動(dòng)為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程[11-13]。如Bico 等[11]考慮前液面的動(dòng)態(tài)接觸角和薄膜對(duì)后液面曲率的影響，根據(jù)受力平衡確定較長液塞的穩(wěn)態(tài)下落速度；Lunati等[12]研究曲面附近的流場(chǎng)形變引起的黏滯力變化，得到一個(gè)關(guān)于液塞長度和液塞速度的函數(shù)關(guān)系。這些研究中，液塞前進(jìn)總距離較短，且速度較小，因此薄膜厚度較小，對(duì)液塞長度變化影響可以忽略。但對(duì)于較大管徑的毛細(xì)管，液塞運(yùn)動(dòng)速度較大，如果運(yùn)動(dòng)距離相對(duì)較遠(yuǎn)，液塞長度的變化不能忽略。筆者在前期工作中結(jié)合牛頓第二定律和質(zhì)量守恒定律，建立了描述液塞在垂直毛細(xì)管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。該模型考慮了液塞后液面的薄膜滯留效應(yīng)，在準(zhǔn)靜態(tài)近似情況下較好地?cái)M合了Bico等的硅油液塞下落運(yùn)動(dòng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[14]。筆者將液塞在毛細(xì)管內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)一步擴(kuò)展為包含非零接觸角的模型，并應(yīng)用該模型進(jìn)一步研究物理性質(zhì)(如斥水性、毛細(xì)管內(nèi)徑、液塞初始長度等)對(duì)液塞運(yùn)動(dòng)過程的影響。1液塞在垂直毛細(xì)管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)下落模型

如圖1所示，長度為l的液塞在垂直毛細(xì)管內(nèi)自由下落，受到重力(Fg)、黏滯力(Fv)、毛細(xì)作用力(Fa,Fr)的共同作用。由牛頓第二定律可得

(1)

式中，ρ為液體密度，R為毛細(xì)管內(nèi)徑，V 為液塞質(zhì)心速度，g為重力加速度，η為黏滯系數(shù)，γ為表面張力系數(shù),θa和θr分別為液塞前后液面的動(dòng)態(tài)接觸角，h為液塞后液面留下的薄膜厚度。

液塞下落時(shí)會(huì)在毛細(xì)管壁上留下一層薄膜，引起液塞體積的減小。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，得到

(2)

薄膜厚度h與液塞下落速度相關(guān), 應(yīng)用Bretherton定律[10]，得到

(3)

動(dòng)態(tài)接觸角運(yùn)用Bracke等的經(jīng)驗(yàn)公式[15]:

(4)

將式(3)、(4)帶入式(1)、(2)后得到

(5)

式中，αa和αh為可調(diào)節(jié)參數(shù)，與毛細(xì)管壁的粗糙程度、干燥程度有關(guān)。給定初始條件l(t=0)=l0和V(t=0)=V0, 求解式(5)可獲得實(shí)時(shí)速度V(t)和長度 l(t)。將速度對(duì)時(shí)間積分可獲得實(shí)時(shí)液面位置：

(6)

2 疏水性毛細(xì)管內(nèi)的液塞下落試驗(yàn)

Bico等[11]測(cè)量了不同長度的硅油液塞在垂直毛細(xì)管內(nèi)下落時(shí)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)速度，結(jié)果表明，液塞下落速度隨長度的減小而降低。在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似下，式(5)中第2個(gè)方程及第1個(gè)方程的左邊前2項(xiàng)為0，可獲得液塞速度與長度的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)曲線與Bico等的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得很好[14]。為了驗(yàn)證該模型是否同樣適用于疏水性毛細(xì)管系統(tǒng)，筆者進(jìn)行了具有一定接觸角的毛細(xì)管內(nèi)的液滴下落試驗(yàn)。試驗(yàn)裝置如圖1所示，試驗(yàn)在1根 450 mm 長，內(nèi)徑為1 mm寬的有機(jī)玻璃毛細(xì)管內(nèi)進(jìn)行。應(yīng)用可控供水泵將液塞初始長度控制在45 mm。移開毛細(xì)管下端的擋板，液塞開始下落，同時(shí)用快速CCD相機(jī)(德國PCO，分辨率1280×1024，最高幀頻可達(dá)660 fps)記錄液塞的下落過程。重復(fù)5次。

注：Fg為重力，F(xiàn)v為黏滯力，F(xiàn)a、Fr分別為前后液面毛細(xì)作用力，Za、Zr分別為前后液面位置。Note: Fg. Gravity, Fv. Viscous drag, Fa, Fr. Capillary force on the front and rear liquid level, Za, Zr. Front and rear level position. 圖1　長度為l的液塞在毛細(xì)管中的受力分析示意Fig.1　Illustration of forces on a slug in a capillary tube

圖2為在內(nèi)徑為 1.0 mm的毛細(xì)管內(nèi)，液塞下落時(shí)液面位置和液塞長度隨時(shí)間的變化情況。結(jié)果顯示，隨著液塞的下落，長度呈減小趨勢(shì)，到達(dá)毛細(xì)管下端出口附近時(shí)，液塞的長度只有初始長度的1/2。

應(yīng)用Matlab ODE 軟件包數(shù)值求解方程(5)，模擬液塞下落的運(yùn)動(dòng)過程。初始條件l0= 45 mm和V0=0。其他物理參數(shù)分別為ρ=0.998 g/cm3,η=1.002 mPa·s,γ=72 mN/m,g=980 cm/s。毛細(xì)管的靜態(tài)接觸角參數(shù)用測(cè)角儀 (上海中晨JC2000C1)測(cè)量相同材質(zhì)玻璃平板的接觸角獲得，測(cè)得θs=63°，因此式(5)的毛細(xì)阻力Δ= 0.56。如圖2實(shí)線表示可調(diào)參數(shù)αa=3和αh=1.3的模擬結(jié)果。模擬結(jié)果很好地?cái)M合試驗(yàn)結(jié)果，表明該模型能很好地描述疏水性毛細(xì)管內(nèi)的液塞下落運(yùn)動(dòng)。

注：液塞初始長度l0=45 mm。Note: The initial slug length l0= 45 mm.圖2　液面位置和液塞長度隨時(shí)間的變化(n=5)Fig.2　Evolution of the liquid level position and slug length(n=5)

3孔隙性質(zhì)對(duì)水分輸運(yùn)的影響

有研究指出，一般土壤都或多或少具有一定程度的斥水性，稱為亞臨界斥水性現(xiàn)象(即接觸角0°<θs≤90°)。土壤的亞臨界斥水性現(xiàn)象對(duì)土壤的水文過程具有重要影響，如土壤導(dǎo)滲能力下降，引起濕潤鋒不穩(wěn)定，易發(fā)生指流現(xiàn)象等[16-17]。筆者運(yùn)用式(5)進(jìn)一步研究多孔介質(zhì)的物理性質(zhì)，如斥水性、孔徑分布等對(duì)液塞運(yùn)動(dòng)過程的影響。

一般沙質(zhì)土壤的特征孔隙半徑為0.1 mm左右，因此，在模擬試驗(yàn)中選擇R=0.1 mm。圖3模擬了θs=0、35°、60° (對(duì)應(yīng)Δ= 0、0.15、0.50)的不同毛細(xì)管內(nèi)液塞下落運(yùn)動(dòng)時(shí)液面位置隨時(shí)間的變化情況。液塞初始長度為10 mm。從圖3可以看出，接觸角的增加對(duì)毛管孔隙內(nèi)的水分運(yùn)動(dòng)影響顯著，特別是在親水性強(qiáng)的土壤(如θs=0°)中，輕微的斥水性都將顯著降低水分運(yùn)動(dòng)速度，導(dǎo)致土壤導(dǎo)滲率明顯降低。

圖4表示液塞在不同管徑毛細(xì)管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和發(fā)展過程。R=0.05、0.10、0.15、0.20、0.25 mm,θs= 35°(即Δ= 0.134)液塞初始長度為10 mm。在運(yùn)動(dòng)初始階段(如100 s)，大管徑毛細(xì)管內(nèi)的液塞下落速度較小管徑快，液塞長度縮短也較小管徑快。如100 s后0.05 mm管徑內(nèi)的液塞僅下落12.00 mm，而0.25 mm管徑內(nèi)的液塞已經(jīng)下落390.00 mm, 前者長度基本無變化，而后者長度僅剩下1/3，即3.60 mm。運(yùn)動(dòng)后期階段(如400 s), 大管徑毛細(xì)管內(nèi)的液塞長度已減小到接近靜止閾值，速度也趨向于零，此時(shí)反而管徑較小的液塞下落速度快，且下落位置也超過大管徑的液塞。如400 s后0.20 mm管徑內(nèi)的液塞下落位置已超過0.25 mm管徑內(nèi)的液塞。結(jié)果表明，管徑較小的毛細(xì)管對(duì)水分的輸運(yùn)速度較慢，但能使水分到達(dá)較深位置。

注：液塞初始長度為 l0=100 mm，毛細(xì)管內(nèi)徑R=0.10 mm。Note: An initial length l0 = 100 mm in the capillary tube of radius R=0.10 mm. 圖3　前端液面位置隨時(shí)間的變化Fig.3　Evolution of the slug-front position with time

注：液塞初始長度 l0=10 mm, 靜態(tài)接觸角θs=35°(即Δ = 0.134)。 毛細(xì)管半徑從左到右依次為 0.05、0.10、0.15、0.20、0.25 mm。為提高可視度，液塞長度被放大了5倍。 Note: The slug initial length is l0 = 10 mm and the contact angle θs =35°, represented by Δ = 0.134. Capillary-tube radii of 0.05, 0.10, 0.15, 0.20 and 0.25 mm were used for the simulations. The slugs length were multiplied by a factor of 5 and shown as black strips. 圖4　不同內(nèi)徑毛細(xì)管內(nèi)液塞下落100和400 s后的液面位置和長度Fig. 4　Evolution of the liquid level position and the length of slugs with the same initial length in different capillary tubes at 100 s and 400 s

4結(jié)語

毛細(xì)管內(nèi)的流體動(dòng)力學(xué)模型是多孔介質(zhì)水分入滲模型的基本單元，經(jīng)典的毛細(xì)管水分運(yùn)動(dòng)模型(Lucas-Washburn模型)假設(shè)流體在毛細(xì)管內(nèi)連續(xù)分布，使得以Lucas-Washburn模型為基礎(chǔ)的水分入滲模型只能適用于充分供水入滲情形。對(duì)于非充分供水入滲情形，如雨滴入滲、噴墨入滲等，毛管內(nèi)的水分成非連續(xù)的液塞式分布，每個(gè)液塞具有前后2個(gè)液面，同時(shí)液塞運(yùn)動(dòng)時(shí)尾部留下附著于管壁的液體薄膜。文獻(xiàn)中一般忽略液體薄膜對(duì)液塞長度的改變，將液塞運(yùn)動(dòng)做準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似。當(dāng)毛細(xì)管徑較大或液塞運(yùn)動(dòng)距離較遠(yuǎn)時(shí)，需要考慮液體薄膜對(duì)液塞長度變化的影響。

筆者在前期建立的接觸角為零的液塞非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，將模型進(jìn)一步擴(kuò)展為包含非零接觸角的運(yùn)動(dòng)模型，使得該模型適用于斥水性毛細(xì)管。并應(yīng)用該模型研究不同接觸角、不同管徑下的液塞運(yùn)動(dòng)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，接觸角的增加對(duì)毛管內(nèi)的水分運(yùn)動(dòng)影響顯著，表明對(duì)于親水性強(qiáng)的土壤(如θs=0°)，輕微的斥水性增加都將顯著降低土壤導(dǎo)滲率。液塞在管徑大的毛細(xì)管中運(yùn)動(dòng)前期速度較快，但是速度降低也較快，因此能夠到達(dá)的深度較小，而在管徑小的毛細(xì)管中雖然運(yùn)動(dòng)速度慢，但最終能到達(dá)的深度大。這表明當(dāng)供水量一定時(shí)，質(zhì)地較粗的土壤滲水較快，但滲潤區(qū)域較小，而質(zhì)地細(xì)的土壤，滲水較慢，滲潤區(qū)域較大。

該研究建立的毛細(xì)管內(nèi)液塞的非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型，結(jié)合恰當(dāng)?shù)目紫督Y(jié)構(gòu)表征模型(如具有一定孔隙分布的毛細(xì)管束模型等)，可以建立描述宏觀入滲過程的數(shù)學(xué)模型。未來研究將考慮在實(shí)際土壤中進(jìn)行水分入滲試驗(yàn)，建立與完善定量土壤水分入滲的數(shù)學(xué)模型。

參考文獻(xiàn)

[1] SHIOZAWA S，F(xiàn)UJIMAKI H.Unexpected water content profiles under flux-limited one-dimensional downward infiltration in initially dry granular media[J].Water Resour Res,2004,40(7): 7404.

[2] DICARLO D A，SEALE L D，HAM K，et al.Tomographic measurements of pore filling at infiltration fronts[J].Adv Water Resourk，2010,33：485-492.

[3] FRIEDMAN S P.Dynamic contact angle explanation of flow rate-dependent saturation-pressure relationships during transient liquid flow in unsaturated porous media[J].J Adhesion Sci Tech,1999,13(12):1495-1518.

[4] MARMUR A.Kinetics of penetration into uniform porous media：Testing the equivalent-capillary concept[J].Langmuir,2003,19:5956-5959.

[5] DAHLE H K，CELIA M A，HASSANIZADEH S M.Ensemble phase averaged equations for multiphase flows in porous media.Part 1：The bundle-of-tubes model[J].Transp Porous Med,2005,58：5-22.

[6] WATANABE K，F(xiàn)LURY M.Capillary bundle model of hydraulic conductivity for frozen soil[J].Water Resour Res,2008,44:12402.

[7] DAI L M，WANG X J.Numerical study on mobilization of oil slugs in capillary model with level set approach[J].Eng Appl Com Flud Mech,2014,8(3)：422-434.

[8] BEAR J.Dynamics of fluids in porous media[M].New York:American Elsevier Pub.Co,1972.

[9] STEENHUIS T S，BAVER C E，HASANPOUR B， et al.pore scale consideration in unstable gravity driven finger flow[J].Water Resour Res，2013，49：7815-7819.

[10] BRETHERTON F P.The motion of long bubbles in tubes[J].J Fluid Mech,1961,10:166-188.

[11] BICO J，QUéRé D.Falling slugs[J].J Colloid Interf Sci，2001,243:262-264.

[12] LUNATI I，OR D.Gravity-driven slug motion in capillary tubes[J].Phys Fluids，2009,21：52003.

[13] CHEBBI R.Dynamics of viscous slugs fall in dry capillaries[J].J Adhesion Sci Tech,2014,28:1655-1660.

[14] ZHANG K Y，WANG Q L，LI S G,et al.Gravity-driven unsteady-state slug falls in capillaries-modeling and experimental verification[J].J Adhesion Sci,Tech,2016,30(19):2146-2156.

[15] BRACKE M，DE VOEGHT F，JOOS P.The kinetics of wetting：The dynamic contact angle[J].Prog Colloid Polym，Sci，1989,79:142-149.

[16] WALLACH R，MARGOLIS M,GRABER E R.The role of contact angle on unstable flow formation during infiltration and drainage in wettable porous media[J].Water Resour Res，2013，49(10):6508-6521.

[17] ANNAKA T,HANAYAMA S.Effects of contact angle on fingered flow during non-ponding infiltration into dry sand layers[J].Soil Sci Plant Nutri,2010，56:366-370.

基金項(xiàng)目安徽省對(duì)外國際合作項(xiàng)目(1403062027)；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2014zy047，201510371088)；高校優(yōu)秀中青年骨干人才國內(nèi)外訪學(xué)研修重點(diǎn)項(xiàng)目(gxfxZD2016166)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目(2013ZYJS04)。

作者簡介童燕(1994- )，女，浙江金華人，本科生，專業(yè)：科學(xué)教育。*通訊作者，講師，博士，從事土壤物理學(xué)研究。

收稿日期2016-04-27

中圖分類號(hào)S 153

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)0517-6611(2016)15-143-03

Study on Unsteady Motion of Gravity-driven Water Droplets in Soil Pores

TONG Yan1, YANG Qing-shan1, ZHANG Yu-long2, WANG Qiu-ling1*

(1. School of Physics and Electronics, Fuyang Normal College, Fuyang, Anhui 236037; 2. School of Physics and Mathematics, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang, Jiangsu 212003)

AbstractInfiltration of liquid droplets into dry porous media has been widely modeled as liquid slug flow in capillaries. In this work, a mathematical model was developed to model the gravity-driven slug motion in vertically oriented capillary tubes. Experiments on water slugs were conducted in partially wettable capillary tubes. Good agreements between the experimental and theoretical results demonstrated that the present model is capable of describing the unsteady-state dynamics of slugs fall in partially wettable capillaries. Then the developed model was applied to study the effects of contact angle and pore radium on slug dynamics. It showed that the slug falls down a longer distance at a larger average velocity for a smaller contact angle, and in a wide tube the slug had a larger average velocity than that in a narrow one. The model developed in this work could be employed to study how slugs propagate in porous media such as soils and help to explore the liquid droplets infiltration from a new point of view.

Key wordsSoil porosity; Slug dynamics; Thin film; Vertical capillary; Unsteady-state; Contact angle