王秋平

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系　新疆　昌吉　831100）

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序約束下一類(lèi)指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計(jì)

王秋平

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系新疆昌吉831100）

摘要：在平方損失和熵?fù)p失函數(shù)下，分別討論序約束下先驗(yàn)分布選取杰佛萊準(zhǔn)則時(shí)兩個(gè)單參數(shù)指數(shù)分布族總體參數(shù)的Bayes估計(jì)，進(jìn)而給出了序約束下不同損失函數(shù)時(shí)的兩個(gè)單參數(shù)指數(shù)分布族總體參數(shù)精確的Bayes估計(jì)形式，并證明了該估計(jì)的容許性。

關(guān)鍵詞：序約束；Bayes估計(jì)；平方損失；熵?fù)p失

近年來(lái)對(duì)序約束下多總體參數(shù)估計(jì)的研究文獻(xiàn)很多，參考文獻(xiàn)［1］給出了序約束下伽馬分布、泊松分布以及二項(xiàng)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，參考文獻(xiàn)［2］討論了序約束條件下，不同先驗(yàn)分布時(shí)，平方損失和熵?fù)p失函數(shù)下兩個(gè)幾何總體參數(shù)的Bayes估計(jì)，參考文獻(xiàn)［3］探討了序約束下當(dāng)選取熵?fù)p失和對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)時(shí)，兩個(gè)Burr分布總體參數(shù)的Bayes估計(jì)，參考文獻(xiàn)［4］給出了序約束下兩Pareto總體參數(shù)的Bayes估計(jì)。而將序約束的條件與指數(shù)分布族相關(guān)聯(lián)的文獻(xiàn)還很少涉及，本文將在平方損失和熵?fù)p失函數(shù)下，討論一類(lèi)單參數(shù)指數(shù)分布族中總體參數(shù)在序約束下的Bayes估計(jì)。該指數(shù)分布族包含了常見(jiàn)的幾大分布，如，伽馬分布、帕累托分布以及威布爾分布等，在工業(yè)、可靠性等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，因此對(duì)其研究具有一定的實(shí)際意義和理論價(jià)值。

1　先驗(yàn)分布的選取

本文討論形如［5］

的一類(lèi)單參數(shù)指數(shù)分布族中（其中k＞0，c為歸一化常數(shù)）未知參數(shù)θ在半序約束條件下的貝葉斯估計(jì)。

設(shè)兩樣本總體X，Y均服從密度函數(shù)為（1）式的分布，其密度分別為分別為來(lái)自于實(shí)直線的某個(gè)子集，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所提供，有

根據(jù)參考文獻(xiàn)［3］，本文（θ1，θ2）在約束條件（2）下，當(dāng)兩樣本總體的先驗(yàn)分布選為杰佛萊準(zhǔn)則下的先驗(yàn)分布時(shí)，此時(shí)的（θ1，θ2）的先驗(yàn)密度為

2　參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計(jì)

一般地，兩個(gè)總體的平方損失函數(shù)定義為

引理1［6］在平方損失函數(shù)（4）下，對(duì)任何先驗(yàn)分布，當(dāng)兩總體分布為（1）時(shí)參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計(jì)為后驗(yàn)期望向量

一般地，兩個(gè)總體的熵?fù)p失函數(shù)定義為

引理2［7］在熵?fù)p失函數(shù)（5）下，對(duì)任何先驗(yàn)分布，當(dāng)兩總體分布為（1）時(shí)參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計(jì)為

證明過(guò)程見(jiàn)參考文獻(xiàn)［3］定理1，此處略。

3　序約束下參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計(jì)

3.1平方損失下總體參數(shù)的Bayes估計(jì)

定理1在平方損失（4）下，先驗(yàn)分布為（1）式，則在約束（2）下兩個(gè)指數(shù)族分布總體參數(shù)（θ1，θ2）的后驗(yàn)期望為

其中

證明：先求X的邊際密度和后驗(yàn)密度，然后再求后驗(yàn)期望。因X是來(lái)自同一單參數(shù)指數(shù)分布族總體，且相互獨(dú)立，即有X關(guān)于的條件密度為

由條件密度公式知，此時(shí)（θ1，θ2）的后驗(yàn)密度為

于是有

定理2在熵?fù)p失函數(shù)（5）式下，先驗(yàn)分布為（1）式，則在約束（2）下兩個(gè)指數(shù)分布族總體參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計(jì)為

證明：證明過(guò)程同定理1類(lèi)似，篇幅過(guò)長(zhǎng)，此處略。

4　井估計(jì)的容許性

引理3［8］設(shè)，統(tǒng)計(jì)判決問(wèn)題的損失函數(shù)為，參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為，那么：

（1）若損失函數(shù)L（ ）θ，δ關(guān)于δ為嚴(yán)凸函數(shù)，則該統(tǒng)計(jì)判決問(wèn)題的Bayes解幾乎處處唯一。

（2）若θ的Bayes估計(jì)是唯一的，則它是容許的。

容許估計(jì)。

證明：同定理3，此處略。

參考文獻(xiàn)：

［1］［6］趙世舜，宋立新，高秋陽(yáng).序約束下兩樣本總體參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，1（1）：19-23.

［2］［7］周偉萍，張德然，楊興瓊.序約束下兩個(gè)幾何總體參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，21（6）：35-37.

［3］［8］柴媛媛，宋立新，等.序約束下兩個(gè)Burr分布總體參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，30 （3）：242-244.

［4］李艷穎.序約束下兩Pareto分布總體參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.廊坊師范學(xué)院（自然科學(xué)版），2009，9（3）：16-19.

［5］張婭莉，查新月.一類(lèi)指數(shù)分布族的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題［J］.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，（6）：22-24.

中圖分類(lèi)號(hào)：O212.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-6469（2016）03-0121-04

收稿日期：2016-04-05

基金項(xiàng)目：昌吉學(xué)院科研項(xiàng)目“序約束下一類(lèi)指數(shù)分布族參數(shù)的貝葉斯估計(jì)”（2014SSQD006）。

作者簡(jiǎn)介：王秋平（1986—），女，吉林榆樹(shù)人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，研究方向：統(tǒng)計(jì)、金融。