楊洪柏，蔣超，石坤舉，劉樹林

(1.上海開放大學(xué),上海 200433;2.上海大學(xué)，上海 200072)

變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposi-tion, VMD)假設(shè)信號由許多模態(tài)函數(shù)疊加而成[1]，每個模態(tài)函數(shù)是具有不同中心頻率的調(diào)頻調(diào)幅信號，通過迭代搜尋構(gòu)造變分模型的極值來確定每個模態(tài)函數(shù)(分量)的頻率中心及帶寬，從而實現(xiàn)信號的頻域剖分及各分量的有效分離。VMD具有堅實的理論基礎(chǔ)，其實質(zhì)是多個Wiener濾波器組，表現(xiàn)出更好的模態(tài)分解效果及噪聲魯棒性[2-4]。但VMD的突出缺點是在信號分解之前必須事先給定模態(tài)數(shù)K，且分解的準(zhǔn)確性依賴于K選擇的正確性，K的準(zhǔn)確預(yù)估是VMD信號分解準(zhǔn)確與否的關(guān)鍵[1]。

為解決以上問題，利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empir-ical Mode Decomposition, EMD)無需預(yù)先設(shè)定模態(tài)數(shù)的自適應(yīng)分解特點，通過EMD模態(tài)中真假模態(tài)的評估判斷評估出信號中所包含的有效模態(tài)數(shù)，并將其作為VMD處理過程中K的選擇依據(jù)，從而解決K給定的盲目性問題。

1 變分模態(tài)分解

VMD算法借用了EMD中本征模態(tài)函數(shù)(Intrinic Mode Function，IMF)的概念，但這一概念被重新定義為一個調(diào)幅調(diào)頻信號[1]

uk(t)=Ak(t)cosφk(t)，

(1)

式中：φk(t)非遞減,φ′k(t)≥0；包絡(luò)線非負(fù)，Ak(t)≥0；并且包絡(luò)線Ak(t)與瞬時頻率ωk(t)=φ′k(t)相對于相位φk(t)來說是緩變的。即在[t-δ,t+δ](δ=2π/φ′k(t))的間隔范圍內(nèi)，uk(t)可以看作是一個幅值為Ak(t)、頻率為ωk(t)的諧波信號。

為了構(gòu)造變分模型，需經(jīng)過如下步驟：1)通過Hilbert變換得到每個模態(tài)函數(shù)uk(t)的解析信號，從而獲得信號的單邊頻譜；2) 每個模態(tài)函數(shù)圍繞各自估算的中心頻率，通過指數(shù)修正調(diào)制到相應(yīng)基頻帶；3) 通過高斯平滑解調(diào)信號獲得每段帶寬，即L2范數(shù)梯度的平方根。構(gòu)造出受約束的變分模型為

(2)

為求取上述約束變分模型的最優(yōu)解，即各個模態(tài)函數(shù)，引入懲罰因子α構(gòu)造如下形式的增廣Lagrange函數(shù),即

L({uk},{ωk},λ)=

，(3)

式中：α為懲罰參數(shù)；λ為 Lagrange乘子。

將上述Lagrange函數(shù)從時域變換到頻域，并進(jìn)行相應(yīng)的極值求解，分別得到模態(tài)分量uk和ωk的頻域表達(dá)式，即

(5)

然后利用交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)求約束變分模型的最優(yōu)解，從而將原始信號分解為K個窄帶模態(tài)分量。具體算法如下：

從算法中看出，K需要預(yù)先給定。為驗證K的選擇對分解模態(tài)的影響，構(gòu)造了一個三分量的合成信號，即

f=cos(2π2t)+0.3cos(2π35t)+

0.02cos(2π300t)。

(6)

K取1～10分別進(jìn)行研究，通過觀察信號的分解結(jié)果可知：K>3時會產(chǎn)生過分解，原始信號中的某個分量會被分解成多個模態(tài)，原始分量被分解得面目全非，且運算量大；K<3時會出現(xiàn)欠分解，其中的某個分量要么被拆分后疊加到相鄰的分量上產(chǎn)生混疊，要么信息被丟失；K=3時，預(yù)設(shè)值與實際模態(tài)數(shù)吻合，分解出比較精準(zhǔn)的模態(tài)各分量。從仿真結(jié)果看，在K選取合理的情況下，能夠從原始信號中分解出精度較高的分量，不會產(chǎn)生混疊和過分解現(xiàn)象。因此，K的預(yù)先合理估計對于VMD的應(yīng)用具有重要意義。

2 K的估算方法

EMD[5]的本質(zhì)是將多分量非平穩(wěn)信號分解成具有窄帶頻率成分的一系列近乎平穩(wěn)的本征模態(tài)函數(shù)，其無需信號的先驗知識,分解過程完全由數(shù)據(jù)自身驅(qū)動,本征模態(tài)函數(shù)自適應(yīng)地從原信號中分解得到,是后驗、完全自適應(yīng)地分解[6-9]。因此，嘗試應(yīng)用EMD自適應(yīng)分解的特性，來評估有效的模態(tài)數(shù)，作為VMD算法中K的估計值，使VMD得到精度較高的模態(tài)分量。

2.1 無噪仿真信號的K估計

對于無噪信號的K估計，仍用(6)式的仿真信號進(jìn)行研究。首先進(jìn)行EMD處理，得到與原始分量一致的3個模態(tài)分量，即K=3；然后用K=3進(jìn)行VMD處理，也準(zhǔn)確分解出來3個模態(tài)分量。在這種情況下，VMD與EMD的精度區(qū)別不大，但是驗證了K的估值是有效的。

2.2 含噪仿真信號的K估計

對于含噪信號的K估計，在(6)式的基礎(chǔ)上加入強度為0.1的加性高斯白噪聲η，即

f=cos(2π2t)+0.3cos(2π35t)+

0.02cos(2π300t)+η。

(7)

應(yīng)用EMD對信號進(jìn)行分解，得到6層模態(tài)分量(圖1a)，從圖中可以看出產(chǎn)生了一些虛假分量，無法直接獲取有效分量個數(shù)。因此，對各模態(tài)分量進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖1b所示:模態(tài)1和模態(tài)2的頻譜頻帶很寬，可視為噪聲，無頻率中心；模態(tài)3和模態(tài)4的頻譜都在36 Hz左右，可認(rèn)為這2個分量具有一個頻率中心；模態(tài)5和模態(tài)6可分別視作一個獨立分量；因而整個頻譜圖可分為3個模態(tài)分量，即K=3。

(a) 各模態(tài)分量

選擇K=3對信號進(jìn)行VMD處理，得到3個模態(tài)分量及其頻譜圖，如圖2所示。

從圖2可以看出：原始信號角頻率分別為12.57，219.9和1 885 rad/s的3個模態(tài)分量被如實重現(xiàn)；低頻部分與原輸入信號吻合，還原精度高；高頻部分(300 Hz)由于受噪聲影響較大，幅值存在誤差，但仍能準(zhǔn)確反映信號頻率。與圖1相比，VMD可以分解出頻率中心和頻帶確定的模態(tài)分量，且在噪聲方面具有較強的魯棒性。

(a) 各模態(tài)分量

3 實測故障信號分析

為驗證上述模態(tài)數(shù)估計方法在實測滾動軸承故障特征提取中的有效性，且能得到更為清晰的特征信號?，F(xiàn)以Case Western Reserve University軸承數(shù)據(jù)中心的內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析。試驗軸承為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，采樣頻率為12 kHz, 轉(zhuǎn)速為1 730 r/min，軸承內(nèi)圈故障特征頻率理論計算值為156.1 Hz。

對該內(nèi)圈故障信號進(jìn)行EMD處理，得到12層模態(tài)分量，為節(jié)省空間，選取前6層模態(tài)分量及其包絡(luò)譜進(jìn)行顯示，如圖3所示。從圖中可以看出：前3層模態(tài)分量的包絡(luò)譜具有155.3 Hz(可視為實際的故障特征頻率)及其2倍頻的特征信息；第4層僅能夠得到155.3 Hz的故障信息，2倍頻信息已被淹沒；后8層模態(tài)分量基本無法提取出故障特征信息；因而可認(rèn)為前4層為有效特征信息，即預(yù)估K=4。

選取K=4進(jìn)行VMD處理，得到的模態(tài)分量及其包絡(luò)譜如圖4 所示。對比圖3可知：VMD的4個模態(tài)分量都具備155.3 Hz及其2倍頻的特征信息；且VMD各模態(tài)分量中特征頻率的幅值都要大于EMD各模態(tài)分量的對應(yīng)幅值，特征信息周圍噪聲也相對少，特征信息部分更為凸顯。

(a)各模態(tài)分量

取K=5進(jìn)行VMD處理的結(jié)果如圖5所示，其中模態(tài)5的特征信息非常微弱，其2倍頻的故障特征信息幅值僅有0.003，且淹沒于周邊噪聲之中，說明K=4的估值最為合適，模態(tài)數(shù)的估計方法有效可行。

圖5 VMD各模態(tài)分量包絡(luò)譜圖(K=5)

4 結(jié)束語

VMD在分解模態(tài)分量的準(zhǔn)確性、精度和噪聲魯棒性方面具有一定的優(yōu)勢，但受參數(shù)K的影響較大。從仿真信號和滾動軸承實測信號分解結(jié)果看，利用EMD自適應(yīng)特性對K進(jìn)行預(yù)估確實有效、可行。但當(dāng)前方法仍基于人工分析，帶有一定的經(jīng)驗性，下一步需進(jìn)行K的自動獲取研究，提供更準(zhǔn)確的估計，為后續(xù)的智能診斷提供依據(jù)。