何榮娟（廣東培正學(xué)院，廣東 廣州 510830）

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學(xué)科領(lǐng)域中初二學(xué)生解決幾何問題的圖式水平及其特點(diǎn)研究

何榮娟
（廣東培正學(xué)院，廣東 廣州 510830）

摘 要：本文采用分類測驗(yàn)法，兩次測驗(yàn)來檢查三種不同水平的學(xué)科領(lǐng)域知識、兩種不同的指導(dǎo)方法以及高低不同的加工程度對學(xué)生圖式水平的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：三種不同學(xué)科領(lǐng)域知識水平的初二學(xué)生的圖式水平受到了加工程度的影響，兩者之間成正相關(guān)；采用不同指導(dǎo)方法的被試之間存在著顯著差異；題目加工程度對學(xué)生的圖式水平存在著顯著差異.

關(guān)鍵詞：學(xué)科領(lǐng)域；圖式；解決幾何問題

1 問題提出

研究者對數(shù)學(xué)問題圖式的研究多集中在小學(xué)生應(yīng)用題的一些領(lǐng)域，從這些領(lǐng)域得到的結(jié)果是否適合于幾何領(lǐng)域甚至是整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其結(jié)果的適用性和推廣性是有待考究的.

圖式是問題解決研究領(lǐng)域里的重要概念，問題的解決與否直接與被試的圖式水平相關(guān).辛自強(qiáng)［1］在研究中發(fā)現(xiàn)，大部分的被試能解決幾乎100%所遇到的數(shù)學(xué)方面的問題，這個(gè)研究說明學(xué)生具有問題解決所需要的圖式知識.而徐青［2］通過問題分類測驗(yàn)發(fā)現(xiàn)大概有一半的被試是處在前圖式水平上.被試在進(jìn)行分類測驗(yàn)時(shí)，要做到正確的分類，是一件比較困難的事情，被試需要思考題目的深層關(guān)系，而不只是表面特征的相似，那么當(dāng)被試在對題目進(jìn)行加工時(shí)，加工程度的高低會(huì)在一定程度上影響被試對題目深層特征的認(rèn)知，二者之間是成正比的，所以在進(jìn)行分類測試時(shí)我們必須要考慮到題目加工程度的作用.

被試的學(xué)科領(lǐng)域知識水平是影響被試對幾何問題進(jìn)行表征的一個(gè)較為重要的因素.許多研究證明，豐富組被試和貧乏組被試在面對問題中的干擾信息時(shí)表現(xiàn)不同，那么在解決幾何圖形問題的過程中，學(xué)科領(lǐng)域知識豐富組，中等水平組以及貧乏組在解決幾何問題的時(shí)候會(huì)存在著怎樣的差異，領(lǐng)域知識和圖式在學(xué)生解決幾何問題的過程中是怎樣的，他們之間的交互作用又是怎樣的，這些問題需要我們做進(jìn)一步的探討，這些研究對于初中幾何教學(xué)活動(dòng)具有一定的意義，可以起到一定的引導(dǎo)作用.

2 研究方法

2.1 被試

從廣州市某中學(xué)抽取4個(gè)自然班的學(xué)生，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)科領(lǐng)域知識的測驗(yàn)，通過采取學(xué)優(yōu)者學(xué)生≥Χ+δ,學(xué)困生≤Χ-δ，而中等生是成績介于上述兩者之間，我們得到了學(xué)優(yōu)生有34人，學(xué)困生有30人，中等生有106人，共有被試170名.

2.2 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)材料主要包括：學(xué)科領(lǐng)域知識水平測試；與“三角形和全等三角形”兩部分知識相關(guān)的幾何題目6道，幾何題目的設(shè)計(jì)上較全面的考慮了題目的相似性等特點(diǎn)（主要是文字和圖）以及深層次的相似性（主要是圖式性方面）.

2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用3（學(xué)科領(lǐng)域知識水平：高、中、低）×2（指導(dǎo)水平：圖式性指導(dǎo)、概念性指導(dǎo)）×2（加工程度：高、低）的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).因變量為圖式的水平得分.

2.4 實(shí)驗(yàn)程序

第一階段：對被試集體同時(shí)進(jìn)行“學(xué)科領(lǐng)域知識水平”測試.

第二階段：問題分類測驗(yàn).其中兩個(gè)班的被試在進(jìn)行分類測驗(yàn)前進(jìn)行3概念性指導(dǎo)，即僅對全等三角形相關(guān)的定義和概念進(jìn)行回顧與復(fù)習(xí)；而另外兩個(gè)班的被試則進(jìn)行圖式性指導(dǎo)，即對與全等三角形有關(guān)的解題過程或程序性知識進(jìn)行指導(dǎo).完畢后，發(fā)放三角形的分類測驗(yàn)試題A，讓被試對問題進(jìn)行分類，在此過程中被試無需解答，被試把分類的結(jié)果以及依據(jù)寫在試卷下面的空白處，10分鐘后統(tǒng)一收回.

第三階段：發(fā)放分類測驗(yàn)試題B（試卷B與試卷A的內(nèi)容是相同的但是問題的順序是不同的），讓被試對6道題目先進(jìn)行解答，其中要求被試寫出詳細(xì)的解題步驟.完畢之后，再次對題目進(jìn)行分類，這個(gè)分類可以是和之前分類的相同，也可以更改，同時(shí)也需要把分類依據(jù)寫出來.解題時(shí)間控制在30分鐘內(nèi).

對被試的解題過程中圖式水平進(jìn)行評分.計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)為：根據(jù)題目中文字的長短或三角形圖形的復(fù)雜程度與否或按圖式是三角形還是平行四邊形等無關(guān)因素進(jìn)行分類，記0分；根據(jù)題目中文字表達(dá)所涉及的幾何內(nèi)容或圖形中包含內(nèi)容的相似來進(jìn)行分類，記1分；根據(jù)題目所涉及的幾何原理的相似程度來進(jìn)行分類，記2分；根據(jù)題目中所涉及的關(guān)于全等三角形的解題模式或全等三角形的程序性知識進(jìn)行分類，記3分.兩次分類測驗(yàn)的成績之和就是被試在該次研究中圖式的水平.

3 結(jié)果與分析

3.1 對學(xué)科領(lǐng)域知識測驗(yàn)的有效度進(jìn)行分析

本人使用的問卷是在參考劉長虹初中生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的測量試卷的基礎(chǔ)上，根據(jù)現(xiàn)在學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況進(jìn)行編制.改問卷的編制主要是依據(jù)王美麗和譚頂良（2005）關(guān)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)三變量的主要理論.

通過認(rèn)真分析人教社九年制初一初二數(shù)學(xué)教材,選取教材當(dāng)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),根據(jù)考綱要求中要求基礎(chǔ)題：中等難度題：難題=7：2：1的比例，并與初二年級的級長以及一些老師進(jìn)行了討論，從而編制了測量學(xué)生學(xué)科領(lǐng)域知識水平的問卷.問卷主要是關(guān)于三個(gè)方面的，一方面是基礎(chǔ)的比如某些定義，而另一些是知識點(diǎn)之間相關(guān)的掌握的情況，最后是整體的把握.這三個(gè)方面其實(shí)符合了考綱的要求.

我們對問卷進(jìn)行了先測和正式測試，我們發(fā)現(xiàn)該問卷的內(nèi)部一致性系數(shù)達(dá)到了0.6以上，而專家的評分者信度上達(dá)到了0.9以上，有很高的相關(guān)性，說明了該問卷的評分者信度很高.

以學(xué)生這學(xué)期的數(shù)學(xué)期中考試成績作為效標(biāo),計(jì)算本測驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)二者之間的相關(guān)系數(shù),r=0.958,表明本測驗(yàn)具有很好的效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度.

通過以上的分析可以說明這個(gè)學(xué)科領(lǐng)域知識平的問卷具有較高的可信性、有效性和科學(xué)性，是可以用于實(shí)驗(yàn)研究的.

3.2 加工程度不同下被試圖式水平的基本情況

在解題后，高中低三種領(lǐng)域知識水平的學(xué)生所測量出的圖式水平都明顯有所提高，而相對來說低水平領(lǐng)域知識的被試提高趨勢是最小的，其余兩種水平的被試趨勢都比較高，特別是高水平學(xué)科領(lǐng)域知識的被試.另一方面，不管是圖式性指導(dǎo)還是概念性指導(dǎo)的被試解題后圖式水平都有一定程度的提高，概念性指導(dǎo)的被試不如圖式性指導(dǎo)的被試圖式水平提高的多.

3.3 學(xué)科領(lǐng)域知識、指導(dǎo)方法和加工程度對圖式水平的影響研究

為了更加深入分析領(lǐng)域知識水平不同的被試學(xué)生在兩種指導(dǎo)方法下及加工程度下圖式水平的不同，用方差分析的方法分析了三因數(shù)，結(jié)果見表1.

表1 學(xué)科領(lǐng)域知識、指導(dǎo)方法和加工程度對圖式水平的差異研究

表1中可以看出，學(xué)科領(lǐng)域知識（F=4.001，P=.000＜0.05），這說明了不同學(xué)科領(lǐng)域知識水平的被試圖式水平存在這非常顯著的差異，指導(dǎo)方法（F=4.670,P=.032＜0.05）,這說明兩種指導(dǎo)方法對被試的圖式水平產(chǎn)生非常顯著差異，題目的加工程度（F=9.009，P=.000＜0.05）這說明解題前后圖式水平存在著非常顯著的差異.題目加工程度與學(xué)科領(lǐng)域知識水平交互作用（P=.004＜0.05）顯著，說明不同的加工程度對不同的領(lǐng)域知識水平學(xué)生存在著非常顯著的差異；題目加工程度與指導(dǎo)方法的交互作用顯著（P=.001＜＜0.05），這表明加工程度不同對兩種不同指導(dǎo)方法下的被試產(chǎn)生了非常顯著的差異.

加工程度與學(xué)科領(lǐng)域知識水平交互效應(yīng)非常顯著，因此我們對三種不同領(lǐng)域知識水平學(xué)生在兩種不同的題目加工程度下（解題前后）圖式水平得分的差異做更進(jìn)一步分析，結(jié)果如表2所示.

從表2可以看出M值都是負(fù)值，這在一定程度上驗(yàn)證了圖式水平隨著加工程度的加深而增加，我們看到三種學(xué)生的sig都是等于.000＜0.01這說明了不管是學(xué)優(yōu)生還是中等生以及學(xué)困生，他們對題目加工程度的提高，圖式水平有著非常顯著的差異.

表2 不同領(lǐng)域知識水平學(xué)生在圖式水平得分差異的比較

因?yàn)榧庸こ潭扰c指導(dǎo)方法之間存在著非常顯著的交互作用，于是對圖式性指導(dǎo)方法和概念性指導(dǎo)方法下的學(xué)生的圖式水平得分的差異做更進(jìn)一步分析，結(jié)果見表3.

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，不管是圖式性指導(dǎo)和概念性指導(dǎo)在解題前后的圖式水平都存在著十分顯著的差異，這說明題目加工程度對于學(xué)生來說，都起到了更加深刻的認(rèn)識，從而使得他們解題前后的圖式水平差異大.

表3 兩種指導(dǎo)方法下的學(xué)生圖式水平得分差異的比較

4 討論

我們知道問題的成功解決依賴于對問題的有效表征，而在問題解決過程中被試已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式知識影響著被試對問題的表征.個(gè)體很多時(shí)候在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤不是由于被試他的基礎(chǔ)的計(jì)算能力而是由于他使用了錯(cuò)誤的問題圖式，由此可見個(gè)體本身所具有的問題圖式對問題解決的重要影響.題目加工程度的加深對于所有的學(xué)生來說都有著重要的影響，學(xué)生之前圖式水平差或者不夠豐富，可以通過對問題的不斷的加工來進(jìn)行補(bǔ)救，這也就是我們常說的勤能補(bǔ)拙.

4.1 題目加工程度對學(xué)生圖式水平的影響

我們知道幾何題包含了文字和數(shù)字符號以及圖形的信息，那么在分類的時(shí)候我們很容易就根據(jù)文字或圖形對他們進(jìn)行分類，特別是問題的表面特征很相似時(shí)，我們很容易忽略深層次的東西［3］.當(dāng)時(shí)間相對較少時(shí)學(xué)生集中在表面特征上，但是想要解決問題，沒有深層次的東西是不行的.我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)學(xué)生對問題進(jìn)行了解答之后對問題的深層的東西有了更全面的認(rèn)知，當(dāng)再次做分類任務(wù)時(shí)，他們的圖式水平明顯提高了.

4.2 在全等三角形的幾何問題中不同的指導(dǎo)方法對圖式水平的影響

解題后學(xué)生的圖式水平有提高，但是整體提高的不多，整體圖式水平還是比較低，學(xué)生對問題的深層認(rèn)識還是不夠，整體比較分散.Hans等人［4］的研究證明，適當(dāng)?shù)木€索提示對問題圖式的激活是很重要的，同時(shí)對圖式的歸納也是更容易.圖式性指導(dǎo)的進(jìn)行是為了使被試內(nèi)在程序性知識得到有效的梳理，而解題案例的講解則有利于學(xué)生激活相關(guān)的線索，有利于問題的解決.而概念性指導(dǎo)只是對相關(guān)概念和定理的回顧和復(fù)習(xí)，雖然可以讓學(xué)生更加準(zhǔn)確的掌握知識點(diǎn)，但是學(xué)生很多時(shí)候分析題目還是流于表面，所以此時(shí)分類的圖式水平是明顯低于圖式性指導(dǎo)的圖式水平的，但是在經(jīng)過解答之后我們發(fā)現(xiàn)被試的圖式水平得到了較大的提高.這說明了對問題的進(jìn)一步分析有利于我們對題目深層問題的認(rèn)識.

這一結(jié)果提示我們在教學(xué)過程中，教師除了對基本定理和概念的掌握外，還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對問題的解題思路，思維方法等深層次的內(nèi)容進(jìn)行記憶，并把這些內(nèi)容進(jìn)行概括，使得他們在以后類似的題目中具有推廣性，有利于問題的解決.同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)對問題的加工也有利于對問題的認(rèn)識，那么在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要多練，多做不同類型的題目，同時(shí)要總結(jié)，這樣有利于在以后的解題中激活相關(guān)的內(nèi)容.

4.3 學(xué)科領(lǐng)域知識水平學(xué)生在兩種題目加工水平和兩種指導(dǎo)方法下表現(xiàn)出圖式水平的特點(diǎn)

學(xué)科領(lǐng)域知識水平是影響學(xué)生問題解決的重要因素，尤其是在理科知識的學(xué)習(xí)過程中，不同的學(xué)科領(lǐng)域知識水平學(xué)生的認(rèn)知方面存在著差異.學(xué)科領(lǐng)域知識水平的不同在信息的選擇和組織上都表現(xiàn)出一定的差異.

學(xué)優(yōu)生在面對復(fù)雜問題時(shí)表現(xiàn)為會(huì)利用已有的圖式，而中等生次之，學(xué)困生則最差.在兩次分類測驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)三種學(xué)科領(lǐng)域知識水平的學(xué)生在解題前后圖式水平差異存在著顯著，而后測驗(yàn)的圖式水平比前面測的圖式水平更高.這個(gè)結(jié)論在一定程度上是張夏雨［5］、俞國良［6］的研究的進(jìn)一步細(xì)化.

5 結(jié)論

三種不同學(xué)科領(lǐng)域知識水平的學(xué)生的圖式水平受到了題目加工程度的影響，在加工程度較低時(shí)圖式水平較低，在加工程度較高時(shí)圖式水平更高，對于進(jìn)行圖式性指導(dǎo)的學(xué)生與進(jìn)行概念性指導(dǎo)的學(xué)生之間存在著顯著差異，不管是那種指導(dǎo)方法的學(xué)生，題目加工程度對學(xué)生的圖式水平都存在著顯著差異.

參考文獻(xiàn)：

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〔2〕徐青.幾何問題解決的圖式水平及其特點(diǎn)研究［J］.安陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（1）：134-137.

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〔5〕張夏雨，喻平.不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生數(shù)學(xué)問題圖式的差異性研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（2）.

〔6〕曾盼盼，俞國良.小學(xué)生視覺—空間表征類型和數(shù)學(xué)問題解決的研究［J］.心理科學(xué)，2003，26（2）：268-271.

中圖分類號：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）06-0271-03

收稿日期：2016-03-15