黃 瑞，文忠橋（安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

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國債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合及預(yù)測
——基于多項式樣條函數(shù)

黃 瑞，文忠橋
（安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

摘 要：本文選擇2015年10月至2016年1月交易所國債的日度交易數(shù)據(jù)，基于三次樣條函數(shù)法進(jìn)行利率期限結(jié)構(gòu)擬合，得到五個參數(shù)的時間序列.對參數(shù)的時間序列建立AR（2）、ARMA（1，1）模型，并對模型做出檢驗.根據(jù)建立的模型，對未來交易日的相應(yīng)參數(shù)作出向前三步預(yù)測，得到2016年2月1日到2月3日國債的利率期限結(jié)構(gòu)，據(jù)此對相應(yīng)的債券進(jìn)行定價，并將其與實際債券價格對比.結(jié)果表明，模型對未來債券價格的預(yù)測效果良好，誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測步長的增加而增大.

關(guān)鍵詞：國債利率期限結(jié)構(gòu)；三次樣條函數(shù)；時間序列；擬合與預(yù)測

1 引言

利率期限結(jié)構(gòu)的擬合思想最早由 Cohen，Kramer和Waugh提出［1］，在分段擬合方面，主要采用樣條技術(shù)，指定樣條基函數(shù)，將貼現(xiàn)函數(shù)表示為基函數(shù)的組合，使用回歸技術(shù)來擬合.McCulloch（1971）［2］最先使用二次樣條函數(shù)的方法逼近利率期限結(jié)構(gòu)，隨后他又提出了三次樣條函數(shù)的估計方法（1975）［3］.Bliss Waggoner［4］，Bolder［5］和Gusba［6］研究發(fā)現(xiàn)，無論是樣本內(nèi)還是樣本外，三次樣條法均穩(wěn)定，并且對債券定價也很精確.

在國內(nèi)，利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)估計方面，陳雯、陳浪南（2000）［7］分別運(yùn)用一元線性回歸和非線性回歸方程構(gòu)建出中國國債市場連續(xù)復(fù)利的靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu).朱世武、陳建恒（2003）［8］設(shè)計了三次樣條函數(shù)分段擬合的方法，并與Nelson-Siegel方法進(jìn)行比較，實證結(jié)果表明三次樣條函數(shù)擬合結(jié)果更好.郭多祚、劉琳琳（2006）［9］的研究表明利用三次多項式樣條函數(shù)和三次多項式構(gòu)造中國的國債利率期限結(jié)構(gòu)是有效的.

在利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)估計方面，陳芳菲和沈長征（2006）［10］使用Nelson-Siegel模型估計了水平因素、斜率因素和曲度因素的三因素自回歸模型，并對收益率曲線進(jìn)行預(yù)測.胡志強(qiáng)、王婷（2009）［11］基于Nelson-Siegel模型對國債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了預(yù)測，發(fā)現(xiàn)模型的短期預(yù)測能力較強(qiáng)，長期較弱.文忠橋（2013）［12］采用粒子群算法，運(yùn)用NS模型，對銀行間國債市場的國債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，得到參數(shù)值，并進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果顯示，樣本內(nèi)的預(yù)測能力較強(qiáng)，樣本外的預(yù)測能力較弱.張啟坤（2014）［13］對NSS模型中影響利率期限結(jié)構(gòu)的四個因子建立向量自回歸模型，研究表明樣本外預(yù)測效果不佳.趙晶、張洋、丁志國（2015）［14］選取三因子Vasicek模型、三因子CIR模型、多項式樣條模型、指數(shù)樣條模型、DL模型和動態(tài)SV模型對中國和美國市場的月度國債收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測.不同于趙晶等選用月度數(shù)據(jù)對參數(shù)建立AR（1）模型，本文選取日度交易數(shù)據(jù)得到多項式樣條參數(shù)的時間序列，分析時間序列的特征，采用AR（2）和ARMA（1,1）模型對參數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并且根據(jù)預(yù)測出的利率期限結(jié)構(gòu)為國債定價.

2 多項式樣條函數(shù)模型

基于用二次多項式作為基函數(shù)在估計遠(yuǎn)期利率曲線可能出現(xiàn)震蕩，常采用的改進(jìn)方法是增加基函數(shù)的階數(shù)，因此本文將多項式基函數(shù)定為三.根據(jù)市場經(jīng)驗，以5年和8年作為分界點(diǎn)，將利率期限結(jié)構(gòu)劃分為短、中、長期，構(gòu)造三次樣條函數(shù)，假設(shè)其貼現(xiàn)因子函數(shù)B（0,s）滿足：

從（1）式可知，貼現(xiàn)因子函數(shù)有12個待定參數(shù).但根據(jù)三次樣條函數(shù)的定義,為保證分段點(diǎn)處的平滑性，得到函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性約束條件：

將上述約束條件代入（1）式，由此，待估參數(shù)由12個降低到5個（a1,b1,c1,a2,a3）：

按照連續(xù)復(fù)利，市場交易國債i的實際價格Pi與理論價格Vi的定價公式［15］分別為：

其中εi，Cti，Bt分別代表國債i的定價誤差、t時刻的現(xiàn)金流和t時刻的貼現(xiàn)因子.

參數(shù)的估計標(biāo)準(zhǔn)是是樣本函數(shù)的定價誤差最小.考慮到中長期債券價格的波動性要大于短期債券價格的波動，長期債券的定價誤差大于短期債券，因此我們選擇采用加權(quán)最小二乘法，在設(shè)定目標(biāo)函數(shù)時加入一個權(quán)重系數(shù).設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為：其中權(quán)重系數(shù)為國債i的久期的倒數(shù).

3 參數(shù)時間序列分析與預(yù)測

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

收集2015年10月到2016年1月國債在交易所每個交易日的交易數(shù)據(jù)［16］，剔除支付固定單利以及應(yīng)計利息為負(fù)值的國債數(shù)據(jù)，采用上述三次樣條函數(shù)模型利用MATLAB軟件擬合每個交易日的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，得到三次樣條函數(shù)各參數(shù)（a1,b1,c1,a2,a3）組成的時間序列數(shù)據(jù).參數(shù)的描述性統(tǒng)計結(jié)果見表1.

表1 三次樣條函數(shù)模型參數(shù)估計結(jié)果的描述性統(tǒng)計

3.2 建立模型（應(yīng)該首先對參數(shù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計分析）

首先，對參數(shù)a1,b1,c1,a2,a3進(jìn)行單位根檢驗.在有漂移項無趨勢項以及SC準(zhǔn)則下，得到ADF檢驗結(jié)果（表2）.

表2 參數(shù)時間序列數(shù)據(jù)的ADF檢驗統(tǒng)計量

參數(shù)a1,b1,c1,a2的原始時間序列不平穩(wěn)，經(jīng)過兩階差分后序列平穩(wěn)，這說明滯后項的影響是顯著存在的.參數(shù) 的時間序列平穩(wěn).進(jìn)一步做出各參數(shù)滯后20階的自相關(guān)（ACF）和偏自相關(guān)（PACF）圖像：

圖1 各個參數(shù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖像

對于參數(shù)a1,b1,c1,a2自相關(guān)圖像拖尾，偏自相關(guān)圖像滯后兩階截尾，說明時間序列服從兩階自回歸過程，應(yīng)對其建立AR（2）模型.而參數(shù)a3的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖像均近似于滯后一階截尾，因此，對其建立ARMA（1,1）模型.這與趙晶等人（2015）的研究結(jié)果有出入，原因可能是多項式樣條模型具有對數(shù)據(jù)的依賴特征.

模型回歸參數(shù)均通過t檢驗，說明回歸參數(shù)是顯著的.對于參數(shù)a1,b1,c1,a2的擬合優(yōu)度較高，都在65%以上，只有對參數(shù)a3的擬合優(yōu)度較低.

3.3 預(yù)測

由回歸得到的各個模型對相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行向前三步預(yù)測，得到2016年2月1日到2月3日國債利率期限結(jié)構(gòu)三次樣條函數(shù)各參數(shù)的預(yù)測數(shù)據(jù)，并將其與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比：

表4 各參數(shù)的預(yù)測與實際數(shù)據(jù)

圖2 2015年12月15日預(yù)測和實際的利率期限結(jié)構(gòu)

比較各參數(shù)的預(yù)測和實際數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)模型對參數(shù)a1,b1, c1,a2的預(yù)測誤差小，預(yù)測效果較好，對參數(shù)a3的預(yù)測效果較差.由于預(yù)測的主要目的是為未來交易日的國債定價，因此，我們由預(yù)測的利率期限結(jié)構(gòu)給債券定價得到預(yù)測的債券價格，并將其與實際價格對比，作出預(yù)測誤差的圖像見圖2，并作出描述性統(tǒng)計見表5.

表5表明了預(yù)測誤差與債券到期期限之間的關(guān)系，即債券預(yù)測價格的誤差隨著到期期限的增加基本上呈增加趨勢，且長期債券的預(yù)測誤差隨著預(yù)測步長的增加顯著增大.對短期債券價格的預(yù)測誤差基本在1元左右，對中期國債價格的預(yù)測誤差基本在2—3元，對長期國債價格的預(yù)測的平均誤差基本在4—6元.

表5 預(yù)測定價誤差的描述性統(tǒng)計

表6 債券價格預(yù)測誤差的統(tǒng)計結(jié)果

表6表明了債券價格預(yù)測誤差的表現(xiàn).預(yù)測誤差小于2元的債券占60%以上，預(yù)測誤差小于5元的債券占92%以上.預(yù)測誤差大于10元的債券約占2%.模型總體的預(yù)測效果良好.

誤差 2016/2/1 2016/2/2 2016/2/3債券個數(shù) 占比 累計占比 債券個數(shù) 占比 累計占比 債券個數(shù) 占比 累計占比［7,8］ 2 0.0139 0.9722 1 0.0069 0.9583 1 0.0069 0.9583 ［8,9］ 0 0.0000 0.9722 2 0.0139 0.9722 1 0.0069 0.9653 ［9,10］ 1 0.0069 0.9792 2 0.0139 0.9861 4 0.0278 0.9931 10以上 3 0.0208 1.0000 2 0.0139 1.0000 1 0.0069 1.0000總計 144 144 144

綜上所述，通過對誤差與到期期限的關(guān)系以及不同大小的誤差的占比兩個方面分析，可以得到結(jié)論：本文選用的模型的整體預(yù)測效果良好，預(yù)測誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測步長的增加而增大.

4 結(jié)論

選擇2015年10月至2016年1月交易所國債每日交易的數(shù)據(jù)，利用三次樣條函數(shù)對每個交易日的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，得到參數(shù)的時間序列并對其建模.不同于趙晶、張洋、丁志國（2015）對各參數(shù)時間序列建立的AR（1）模型，本文對參數(shù)a1,b1,c1,a2建立AR（2）模型，對a3建立ARMA（1,1）模型，然后對未來交易日的參數(shù)和利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測，用預(yù)測的結(jié)果為債券定價.分析債券價格的預(yù)測誤差，發(fā)現(xiàn)模型整體預(yù)測效果良好，預(yù)測誤差隨著到期期限的增加和預(yù)測步長的增加而增大.

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中圖分類號：F812.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）06-0116-05

收稿日期：2016-03-18

基金項目：教育部人文社會科學(xué)研究項目“‘二次成型’的綜合宏觀利率期限結(jié)構(gòu)模型估計和應(yīng)用”（11YJA790162）；國家級大學(xué)生創(chuàng)新項目（201510378153）