薛正林，夏林林，吳開(kāi)騰（.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都 60066；.重慶巴川中學(xué)，重慶 40569；.內(nèi)江師范學(xué)院 四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 內(nèi)江 64）

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解病態(tài)線性方程組的一種數(shù)值方法

薛正林1，夏林林2，吳開(kāi)騰3
（1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066；2.重慶巴川中學(xué)，重慶 402569；3.內(nèi)江師范學(xué)院 四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 內(nèi)江 641112）

摘 要：對(duì)于病態(tài)的線性方程組的數(shù)值方法，一般使用迭代法，而迭代法的收斂速度慢且數(shù)值解的精度低，甚至發(fā)散.針對(duì)此問(wèn)題，本文推出一個(gè)新的數(shù)值方法——主元加權(quán)松弛迭代法，通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣主元疊加一個(gè)權(quán)值，并引入松弛參數(shù)再對(duì)矩陣進(jìn)行求解，從而能夠有效的提高病態(tài)線性方程組的收斂速度和數(shù)值解精度，并討論了算法的收斂條件.最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)例展示了算法的有效性.

關(guān)鍵詞：病態(tài)線性方程組；主元加權(quán)；松弛迭代；數(shù)值解

1 引言

對(duì)于線性方程組Ax=b，A為非奇異矩陣.x=［x1,x2,…,xn］T，b=［b1,b2,…,bn］T，現(xiàn)在已經(jīng)有很多高效的算法求解方程組，但是對(duì)于一些特殊的方程組，比如系數(shù)矩陣條件數(shù)很大的時(shí)候，由于迭代過(guò)程中的舍入誤差，方程組的病態(tài)性影響了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而使得數(shù)值解與精確解存在巨大的誤差.而目前比較主流的解法，例如迭代改善法，投影法，條件預(yù)優(yōu)法，共軛梯度法，智能算法等等.但是有的算法收斂性好但是穩(wěn)定性差，有的算法有效性好但是算法復(fù)雜，有的甚至只能處理不太病態(tài)的方程組.本文根據(jù)病態(tài)方程組的特征，利用主元加權(quán)的預(yù)處理，再加入松弛參數(shù)，從而提高了病態(tài)線性方程組的收斂速度和數(shù)值解精度.

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 對(duì)于線性矩陣為對(duì)稱正定的線性方程Ax=b（1）通過(guò)直接對(duì)線性方程組做恒等變形來(lái)構(gòu)造迭代格式，首先，給系數(shù)矩陣的主元加權(quán)φ，從而得到方程（A+φE）x=b+φx，其中φ為一常數(shù).E為單位矩陣.繼而兩邊同時(shí)乘以μ，得到μ（A+φE）x=μb+μφx，繼而兩邊移項(xiàng),推出-μφx=-μ（A+φE）x+μb，最后兩邊同時(shí)加上x(chóng)得到（1-μφ）x=（E-μ（A+φE）x+μb，即得到迭代格式

令xn+1=xn+zn,得（1-μφ）（xn+zn）=（E-μ（A+φE）xn+μb，化簡(jiǎn)得：（1-μφ）zn=-μAxn+μb，即

3 收斂性分析

定義2 設(shè)A∈Rn×n，則對(duì)于任意n維列向量x（0）的迭代格式（4）收斂的充分必要條件是p（B）＜1，其中p（B）為迭代矩陣B的譜半徑.

定理1 對(duì)于A是n×n對(duì)稱正定矩陣,當(dāng)0＜φ＜λmax，μ=,（k＞0）,則線性方程組Ax=b的迭代格式（1-μφ） xn+1=（E-μ（A+φE）xn+μb是收斂的.

證明 設(shè)A的特征值為λ1,λ2,…,λn,因?yàn)锳為對(duì)稱正定矩陣，所以λi＞0（i=1,2,…,n），且λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann，即A+φE的特征值為λ1+φ,λ2+φ,…,λn+φ，且λ1+φ+λ2+φ…+λn+ φ=a11+φ+a22+φ…+ann+φ.設(shè)Tn=a11+a22+…+ann，A+φE的最大特征值λi+φ，則

很明顯，當(dāng)k取合適的值時(shí)，總可以使得p

4 算法分析

即隨著k值的增大，迭代矩陣譜半徑為：

5 實(shí)例分析

表一 經(jīng)典算法與新算法的比較

由表一可以發(fā)現(xiàn)，高斯賽德?tīng)柕▽?duì)于病態(tài)線性方程組能夠求解，但是精度與迭代次數(shù)都不理想，無(wú)論在精度上，還是在迭代次數(shù)上，本文算法更具有優(yōu)勢(shì)，特別是本文算法是建立在簡(jiǎn)單迭代的基礎(chǔ)上，具有編程簡(jiǎn)單和內(nèi)存需求少的特點(diǎn).實(shí)際上，當(dāng)系數(shù)為1000階時(shí)，本文算法仍然有5-6位有效數(shù)值，所以還是具有較強(qiáng)的抗病態(tài)性.

5 結(jié)論

對(duì)于線性方程組Ax=b，通過(guò)引入雙參數(shù)構(gòu)造了一種求解線性方程組的迭代解法，并證明了迭代格式的收斂性，對(duì)于最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也表明本文算法比傳統(tǒng)迭代法精度更高，也可以發(fā)現(xiàn)，φ的實(shí)際取值范圍都在0.0001附近，而k的值也在2左右波動(dòng)時(shí)，有比較好的數(shù)值解，至于最優(yōu)參數(shù)有待進(jìn)一步研究.綜上所述，主元加權(quán)松弛迭代法在保持原有的簡(jiǎn)單迭代格式的基礎(chǔ)上，能夠更好的求解病態(tài)線性方程組.

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類號(hào)：O241

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）06-0003-02

收稿日期：2016-02-27

基金項(xiàng)目：四川省教育廳創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目（13TD00001）