運(yùn)蕾蕾,張興芳

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

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不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型及性質(zhì)

運(yùn)蕾蕾,張興芳

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

摘要：提出了同時(shí)具有隨機(jī)性和不確定性的閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)問題?；跈C(jī)會(huì)理論,視具有隨機(jī)性的參數(shù)(產(chǎn)地和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本)為具有概率分布函數(shù)的隨機(jī)變量,具有不確定性的參數(shù)(客戶區(qū)和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本及客戶需求)為不確定分布的不確定變量。在產(chǎn)銷平衡、運(yùn)費(fèi)及客戶需求的機(jī)會(huì)約束下,建立了以閉環(huán)物流運(yùn)費(fèi)(不確定隨機(jī)變量)的期望最小為目標(biāo)的閉環(huán)物流新模型,稱為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型。給出了在特殊不確定分布下的模型性質(zhì),由此得到與其等價(jià)的具體形式。

關(guān)鍵詞：閉環(huán)物流；不確定隨機(jī)閉環(huán)物流；機(jī)會(huì)理論；機(jī)會(huì)約束

0引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,人們的生活水平日益提高,產(chǎn)品需求量的增加及交通運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展,產(chǎn)生了物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題。隨著社會(huì)的進(jìn)步,人們也越來越重視經(jīng)濟(jì)效益和環(huán)境保護(hù),以及廢舊產(chǎn)品的回收和再利用。 1998年,文獻(xiàn)[1]首次將包含廢舊產(chǎn)品的回收和再利用的物流網(wǎng)絡(luò)稱為閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)。閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)包括：產(chǎn)品從產(chǎn)地運(yùn)往銷售地再到客戶區(qū)的正向物流；可回收產(chǎn)品從客戶區(qū)經(jīng)銷售地再運(yùn)回工廠或垃圾站的逆向物流。很多學(xué)者對其進(jìn)行了深入研究 ,建立了各種模型,并給出了多種解法[2-5]。文獻(xiàn)[2]給出了閉環(huán)供應(yīng)鏈架構(gòu)及其對環(huán)境的影響。 文獻(xiàn)[3]對廢舊產(chǎn)品回收再制造物流網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)營成本以及廢舊資源的再利用進(jìn)行了研究，建立了一個(gè)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[4]利用混合整數(shù)線性規(guī)劃的方法,提出了一種多產(chǎn)品、有能力限制的再制造閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,并確定了網(wǎng)絡(luò)中各種設(shè)備的數(shù)量和位置。

上述文獻(xiàn)關(guān)于閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的研究都假定涉及的參數(shù)是確定的。然而,在現(xiàn)實(shí)問題中,許多參數(shù)難以確定。當(dāng)參數(shù)具有足夠的樣本數(shù)據(jù)時(shí),可以用概率論進(jìn)行處理。當(dāng)參數(shù)沒有歷史的數(shù)據(jù)時(shí),只能基于相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜夜烙?jì)事件發(fā)生的可能性程度(或信度)來處理這種參數(shù)。主觀概率和模糊集理論已經(jīng)分別給出了處理專家信度的方法。文獻(xiàn)[6-8]基于規(guī)范性公理、對偶性公理、次可加性公理和乘積公理的不確定測度提出了處理不確定性的不確定理論。目前，不確定理論已經(jīng)應(yīng)用到許多領(lǐng)域[9-11]。然而，在一個(gè)系統(tǒng)中往往一些不確定參數(shù)有歷史的數(shù)據(jù),而另一些沒有。為解決這種既含有隨機(jī)性又含有不確定性的問題,文獻(xiàn)[8，12]提出了機(jī)會(huì)理論。目前，機(jī)會(huì)理論已經(jīng)被應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域[13-14]。

本文基于機(jī)會(huì)理論，研究同時(shí)帶有隨機(jī)性和不確定性的閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題。在該問題中,產(chǎn)地與銷售地之間的單位運(yùn)輸成本為具有概率分布函數(shù)的隨機(jī)變量，客戶區(qū)與銷售地之間的單位運(yùn)輸成本和客戶需求為具有不確定分布的不確定變量,以整個(gè)閉環(huán)物流的運(yùn)費(fèi)(不確定隨機(jī)變量)的期望最小為目標(biāo),總成本小于其期望值的不確定測度,客戶需求的機(jī)會(huì)和產(chǎn)銷平衡為約束。本文將上述問題形式化,并研究特殊不確定分布下的模型性質(zhì)，從而得到與其等價(jià)的具體形式。

1預(yù)備知識(shí)

定義1[6-8]如果不確定變量ξ的不確定分布φ存在反函數(shù)φ-1(α),α∈(0,1),則稱不確定分布φ是正規(guī)的,且稱φ-1(α)為ξ的逆不確定分布。

定義2[6-8]如果不確定變量ξ有一個(gè)不確定分布：

則稱它為Zigzag不確定分布,記作Z(a,b,c),a

定義3[6-8]如果不確定變量ξ有一個(gè)不確定分布：

則稱ξ為線性的,且稱ξ的不確定分布為線性不確定分布,記作L(a,b),其中a,b是實(shí)數(shù)且a

定義4[6-8]若ξ是不確定變量,則稱

為ξ的期望值,其中,兩個(gè)積分中至少有一個(gè)是有限的。

定理1[6-8]設(shè)ξ為不確定變量,并且有正規(guī)的不確定分布φ。如果ξ存在期望值,那么

設(shè)(Γ,L,M)是一個(gè)不確定空間,(Ω,A,Pr)是一個(gè)概率空間，則稱乘積(Γ,L,M)×(Ω,A,Pr)為一個(gè)機(jī)會(huì)空間。

定義6[12]設(shè)ξ是機(jī)會(huì)空間(Γ,L,M)×(Ω,A,Pr)到實(shí)數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。如果對于任何Borel集B,Θ={ξ∈B}是L×Α的一個(gè)事件,則稱ξ為不確定隨機(jī)變量。

定理2[12]設(shè)f:Rn→R是一個(gè)可測函數(shù),且ξ1,ξ2,…,ξn是機(jī)會(huì)空間(Γ,Υ,M)×(Ω,A,Pr)的不確定隨機(jī)變量，則：

ξ(γ，ω)=f(ξ1(γ,ω),ξ2(γ,ω),…,ξn(γ,ω)),(γ,ω)∈?！力?/p>

是一個(gè)不確定隨機(jī)變量。

定理3[12,8]設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量η1,η2,…,ηm分別服從概率分布函數(shù)ψ1,ψ2,…,ψm,且獨(dú)立的不確定變量τ1,τ2,…,τn分別有不確定分布γ1,γ2,…,γn,則不確定隨機(jī)變量ξ=f(η1,η2,…,ηm,τ1,τ2,…,τn)的機(jī)會(huì)分布為：

φ(x)=∫RmF(x·，y1,y2,…,ym)dψ1(y1)…dψm(ym)，yi∈R,i=1,2,…,m，

定理 4[12,8]設(shè)η是隨機(jī)變量,τ是不確定變量,a,b是常數(shù)。 則有:

E[aη+bτ]=aE[η]+bE[τ]。

2閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型

2.1問題描述及符號(hào)表示

假設(shè)某生產(chǎn)商已經(jīng)建立了一種產(chǎn)品的n1個(gè)生產(chǎn)地，計(jì)劃從這些生產(chǎn)地向n2個(gè)銷售地供貨,再從銷售地銷往n3個(gè)客戶區(qū)。為了節(jié)約成本，擔(dān)負(fù)起集中回收廢舊產(chǎn)品的義務(wù)并進(jìn)行篩選,完全報(bào)廢的產(chǎn)品運(yùn)往垃圾廠集中銷毀，生產(chǎn)地則對回收的未報(bào)廢的產(chǎn)品進(jìn)行再制造。于是正向物流和逆向物流就形成了閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)，見圖1。制定從生產(chǎn)地到銷售地、銷售地到客戶區(qū)、客戶區(qū)到回收站及回收站到再制造站或垃圾站的最優(yōu)分配運(yùn)輸方案，使得運(yùn)費(fèi)最小。

圖1　閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)圖

為了模型化上述閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)問題,作進(jìn)一步的假設(shè)：

I：生產(chǎn)地/再制造站的集合,i=1,2,…,n1,i∈I。

J：備選銷售地/回收站地點(diǎn)的集合,j=1,2,…,n2,j∈J。

K：客戶區(qū)固定位置的集合,k=1,2,…,n3,k∈K。

N：備選垃圾站地點(diǎn)的集合,n=1,2,…,n4,n∈N。

ξk：客戶區(qū)k∈K的產(chǎn)品需求量。它們是具有不確定分布φξk的不確定變量。

e：各客戶區(qū)的廢舊產(chǎn)品可回收率。

v:回收站j∈J廢舊產(chǎn)品的報(bào)廢率。

τij：從生產(chǎn)地/再制造站i到銷售地/回收站j的產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,i∈I,j∈J。它們是具有概率分布ψτij的隨機(jī)變量。

γjk：從銷售地/回收站j到客戶區(qū)k的產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,j∈J,k∈K。它們是具有不確定分布φγjk的不確定變量。

γkj：從客戶區(qū)k到銷售地/回收站j的可回收產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,k∈K,j∈J,γkj=γjk。它們是具有不確定分布φγkj=φγjk的不確定變量。

τji：從銷售地/回收站j到生產(chǎn)地/再制造站i的可再制造產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本,i∈I,j∈J,τji=τij。它們是具有概率分布ψτji=ψτij的隨機(jī)變量。

pjn：從銷售地/回收站j到垃圾站n的報(bào)廢產(chǎn)品單位運(yùn)輸成本。

Iij：從生產(chǎn)地/再制造站i到銷售地/回收站j的產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Ujk：從銷售地/回收站j到客戶區(qū)k的產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Qkj：從客戶區(qū)k到銷售地/回收站j的可回收產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Jji：從銷售地/回收站j到生產(chǎn)地/再制造站i的可再制造產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

Tjn：從銷售地/回收站j到垃圾站n的報(bào)廢產(chǎn)品運(yùn)輸數(shù)量。

2.2數(shù)學(xué)模型

基于上述問題的假設(shè),總花費(fèi)為：

f(x，γ，τ)=f(Iij,Ujk,Qkj,Jji,Tjn,τij，τji，γjk，γkj，i∈I,j∈J,k∈K,n∈N)=

記

根據(jù)不確定隨機(jī)變量期望的性質(zhì)(定理4),期望總花費(fèi)為：

E[f(x,γ,τ)]=E[f1]+E[f2]+f3=

于是提出模型(a)如下：

(2)

(7)

Wi,Gj,Hn∈{0,1}， ?i∈I,?j∈J,?n∈N；

(8)

Iij,Ujk,Qkj,Jji,Tjn≥0， ?i∈I,?j∈J,?n∈N,?k∈K，

(9)

其中：α,βk(>0.5),k∈K均為常數(shù);式(1)表示不確定隨機(jī)變量f小于其期望值的不確定測度不小于α；式(2)表示銷售地的產(chǎn)品數(shù)量供應(yīng)不小于客戶區(qū)的產(chǎn)品需求量的不確定測度不小于βk；式(3)表示客戶區(qū)到回收站的回收數(shù)量不小于客戶需求的回收數(shù)量；式(4)～式(7)表示生產(chǎn)地/再制造站與銷售地/回收站的正向物流量和逆向物流量守恒；式(8)～式(9)表示各變量的取值范圍。

稱模型(a)為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流問題的機(jī)會(huì)約束模型。注意：模型(a)的目標(biāo)是不確定隨機(jī)變量-總花費(fèi)f的期望值最小。 所以在模型(a)中,使用了Ch{f≤E[f]}≥α作為約束。它的意義在于限制風(fēng)險(xiǎn),這是科學(xué)的。

為了求解模型(a),下面探討目標(biāo)函數(shù)f(x，γ，τ)、式(1)、式(2)和式(3)。

因此，

定理7假設(shè)ψ(y)是隨機(jī)變量f1的概率分布函數(shù),φ(x)是f2的不確定分布函數(shù),則式(1)等價(jià)于

證明因ψ(y)是隨機(jī)變量f1的概率分布函數(shù),φ(x)是f2的不確定分布函數(shù),所以由定理4和定理5可知：

定理8如果不確定變量γjk=γkj有線性不確定分布L(akj,bkj),不確定變量ξk,k∈K具有Zigzag不確定分布Z(ak,bk,ck)，且βk≥0.5,則模型(a)等價(jià)于下面的模型(b)：

證明因?yàn)椴淮_定變量γjk=γkj有線性不確定分布L(akj,bkj),所以由定理1知：

3結(jié)束語

本文假設(shè)產(chǎn)地和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本具有歷史的數(shù)據(jù),客戶區(qū)和銷售地之間的單位運(yùn)輸成本和客戶需求沒有歷史的數(shù)據(jù)，基于機(jī)會(huì)理論,利用總成本的機(jī)會(huì)約束以及不確定隨機(jī)變量的期望公式,提出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，稱為不確定隨機(jī)閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)約束模型。提供了不確定變量具有Zigzag分布或線性分布的模型性質(zhì)，并得到了與相應(yīng)模型等價(jià)的具體計(jì)算形式。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471152,61273044)

作者簡介：運(yùn)蕾蕾(1991-),女,山東聊城人,碩士生;張興芳(1957-),女,山東聊城人,教授,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)椴淮_定數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用.

收稿日期：2016-03-13

文章編號(hào)：1672-6871(2016)05-0071-06

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.016

中圖分類號(hào)：O29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A