劉芝鏜，斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

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Boussinesq方程的怪波解

劉芝鏜，斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

摘要：通過(guò)拓展同宿試驗(yàn)法，構(gòu)造了測(cè)試函數(shù)，借助Mathematica符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)，給出了Boussinesq方程的精確解。應(yīng)用同宿呼吸子極限方法，得出Boussinesq方程的呼吸子孤立波解和有理呼吸波解，并發(fā)現(xiàn)有理呼吸波解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

關(guān)鍵詞：Boussinesq方程；同宿試驗(yàn)法；同宿呼吸子極限法；怪波解

0引言

真實(shí)怪波在海洋學(xué)[1]、超流體[2]、光學(xué)纖維[3-4]和經(jīng)濟(jì)學(xué)[5]等諸多領(lǐng)域內(nèi)都存在，從而引起人們的極大關(guān)注。隨著對(duì)怪波的深入研究，相繼提出了尋找非線性方程怪波解的反散射方法[6]、Darboux變換法[7]、代數(shù)幾何解[8]和Hirota方法[9]等具體方法。

Boussinesq方程及其變形方程作為波傳播形變的數(shù)學(xué)模型，在淺水波的研究中有著廣泛應(yīng)用。對(duì)于Boussinesq方程，文獻(xiàn)[10]利用雙函數(shù)法給出了新的顯式精確行波解。文獻(xiàn)[11]利用G′/G展開(kāi)法給出了其精確解。文獻(xiàn)[12]利用首次積分法求出其精確尖波解。文獻(xiàn)[13]通過(guò)對(duì)同縮軌道的研究給出了其周期解等。此外，對(duì)于各類(lèi)變形Boussinesq方程也有許多研究，如文獻(xiàn)[14]利用F-展開(kāi)法求出了變形Boussinesq方程組的周期解；文獻(xiàn)[15]利用簡(jiǎn)化齊次平衡方法求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數(shù)解及周期解；文獻(xiàn)[16]研究了廣義Boussinesq方程光滑解的整體存在性與解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[17]研究了系列Boussinesq方程的Painlevé性質(zhì)與B?cklund變換等。

本文旨在研究Boussinesq方程的怪波解，即由Boussinesq方程的平凡解出發(fā)，利用文獻(xiàn)[18]所提出的拓展同宿試驗(yàn)法(extended homoclinic test approach，EHTA)求出Boussinesq方程的精確解，再利用文獻(xiàn)[19]所提出的同宿呼吸子極限法(homoclinic breather limit method，HBLM)對(duì)所得出的呼吸子孤立波解取極限，給出Boussinesq方程的怪波解。本文所給出Boussinesq方程怪波解的結(jié)果有助于了解和解釋Boussinesq方程描述的物理現(xiàn)象的本質(zhì)屬性。

1 Boussinesq方程的精確解

考慮Boussinesq方程：

utt+αuxx+β(u2)xx+γuxxxx=0，

(1)

其中：α,β,γ都是非零的常數(shù)。

通過(guò)Painlevé分析，取Boussinesq方程的平凡解u0，并引入變換

(2)

其中：f為關(guān)于x和t的實(shí)函數(shù)。

將式(2)代入方程(1),積分兩次并令積分常數(shù)為0，方程(1)化為：

(3)

根據(jù)Hirota雙線性算子

(4)

方程(3)寫(xiě)成雙線性形式：

(Dt2+(α+2u0β)Dx2+γDx4)f·f=0。

(5)

根據(jù)EHTA，取測(cè)試函數(shù)

f=e-P(x-wt)+b1cos(p1(x+w1t))+b2ep(x-wt)，

(6)

其中：p，p1，w，w1，b1，b2為待定系數(shù)。

將測(cè)試函數(shù)(6)代入式(5)并令sin(p1(x+w1t)),cos(p1(x+w1t)),ejp(x-wt),sin(p1(x+w1t))ejp(x-wt),cos(p1(x+w1t))ejp(x-wt)的系數(shù)為0，則得到關(guān)于p,p1,b1,b2,w,w1的非線性代數(shù)方程組：

(7)

利用Mathematica符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)方程組(7)進(jìn)行求解，并一一列出與此相應(yīng)的方程(1)的精確解:

b2>0，b1為任意參數(shù)。

方程(1)的解為：

(8)

b2>0，p1為任意參數(shù)。

方程(1)的解為：

(9)

b1為任意參數(shù)。

方程(1)的解為：

(10)

2Boussinesq方程的怪波解

令方程組(7)中p=p1，得到以下方程組：

(11)

由方程組(11)化簡(jiǎn)求出：

(12)

其中：w1,w,b2為自由常數(shù)。

(13)

(14)

將式(13)和式(14)代入式(2)，方程(1)的解為：

(15)

(16)

對(duì)于式(16)，令b2=1，得到：

(17)

(18)

式(18)是Boussinesq方程的有理解并且是呼吸子類(lèi)型的解。當(dāng)x→±∞時(shí)，上述解趨于0。并且Uroughwave的振幅在短時(shí)間內(nèi)是周?chē)ㄕ穹?倍到3倍，所以它還是短時(shí)間內(nèi)形成的怪波，因此式(18)是Boussinesq方程的怪波解。

3結(jié)束語(yǔ)

本文首先通過(guò)拓展同宿試驗(yàn)法得到Boussinesq方程的3個(gè)精確解，再利用同宿呼吸子極限方法，將其中的呼吸子孤立波通過(guò)取周期無(wú)窮大找到Boussinesq方程的有理呼吸子解，這個(gè)解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261037,10461006);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014MS0111);內(nèi)蒙古師范大學(xué)“十百千”人才培養(yǎng)工程基金項(xiàng)目(RCPY-2-2012-K-033);內(nèi)蒙古師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目(CXJJS15073);內(nèi)蒙古自治區(qū)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃基金項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：劉芝鏜(1990-),女,山西平遙人,碩士生；斯仁道爾吉(1954-),男,蒙古族,內(nèi)蒙古正藍(lán)旗人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)楣铝⒆优c可積系統(tǒng)理論及應(yīng)用.

收稿日期：2016-04-13

文章編號(hào)：1672-6871(2016)05-0067-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.015

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A