王志紅，袁　彭

(西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對抗與仿真重點實驗室，陜西 西安 710071)

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一種基于半定松弛規(guī)劃的到達角定位方法

王志紅，袁彭

(西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對抗與仿真重點實驗室，陜西 西安 710071)

摘要針對基于到達角的目標輻射源定位系統(tǒng)，提出了一種基于半定松弛規(guī)劃的定位方程求解方法。主要思想是將噪聲元素添加為有用參數(shù)，以增加定位方程凸優(yōu)化的靈活性。先將目標定位的初始非凸二次優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非凸半定優(yōu)化問題，然后松弛到凸優(yōu)化問題，再對凸優(yōu)化問題進行求解作為初始復(fù)雜問題的近似解，從而得出目標位置估計。文中采用計算機仿真結(jié)果證明了這種解法的有效性。

關(guān)鍵詞凸優(yōu)化；半定松弛；到達角

到達角(Angle of Arrival，AOA)[1]是一個接收器傳感器陣元觀察到的目標輻射源信號到達角度，通過一個到達角的測量，可以得到一條從目標輻射源到接收傳感器陣元的方位線，因此在二維平面內(nèi)，至少兩條方位線的交點就是目標的位置。到達角定位在電子戰(zhàn)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，例如無源定位雷達和移動遠距通信系統(tǒng)。

在得到到達角測量值后，可分為線性和非線性[2]兩類求解目標定位方法，第一類直接處理代入測量值后的非線性定位方程，包括非線性最小二乘法和最大似然估計法。而第二類方法則將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，然后再進行求解。對比以上兩類求解方法，前者定位精確度更高但計算復(fù)雜度也較大，并且由于多元代價函數(shù)而不能保證可以得出全局最優(yōu)解，后者計算簡單，但定位精度卻由于線性化處理而降低，尤其在大噪聲條件下情況更差[3-4]。而半定松弛規(guī)劃方法[5-6]以其高精度和全局收斂特性，是近來研究頗多的一種結(jié)合線性和非線性方法優(yōu)勢的新型定位方法。此方法先將最小二乘或最大似然估計非線性問題轉(zhuǎn)換為等價的約束最優(yōu)化問題，然后去掉一些約束條件以得出全局最優(yōu)解。

1半定松弛概念

半定松弛技術(shù)(Semi-Definite Relaxation，SDR)是近年來在信號處理和通信領(lǐng)域的一個熱點研究，并且在大量應(yīng)用中表現(xiàn)出優(yōu)勢。簡而言之，SDR是一種高效而計算簡單的復(fù)雜問題優(yōu)化技術(shù)，它可以應(yīng)用到許多非凸二次優(yōu)化問題中，其中包括到達角定位的二次優(yōu)化問題。

在一般目標定位算法中，主要關(guān)心實值齊次二次規(guī)劃問題，如下

(1)

(2)

尤其是式(1)中的目標函數(shù)和約束的矩陣xxT都是線性的，從而可以引入一個新的矩陣X=xxT，可以看出X=xxT是一個秩為1對稱半正定矩陣，所以可以得到式(1)的等價方程描述如下

(3)

其中，用X±0表示X是一個半正定矩陣。

到這里似乎沒有得到任何成果，因為式(3)和式(2)描述的問題具有同樣的復(fù)雜度，但式(3)可以讓看到解決式(2)問題中最重要的復(fù)雜因素，也就是式(2)問題的唯一復(fù)雜約束就是rank(X)=1，這個條件是非凸問題(而其他包括目標函數(shù)和約束都是凸問題)，因此，可以得到式(2)的一個松弛描述，如下

(4)

ACVXcodeforSDR

cvx_beginsdp

variableX(n,n)symmetric

minimize(trace(C*X));

subjectto

fori=1:p

trace(A(:,:,i)*X) >=b(i);

end

fori=p+1:m

trace(A(:,:,i)*X) ==b(i);

end

X==semidefinite(n);

cvx_end

2半定松弛規(guī)劃的到達角定位算法

以二維多傳感器到達角定位作為研究對象，首先假設(shè)目標輻射源與接收傳感器距離在視距傳輸范圍內(nèi)，以保證兩者之間的直接傳播路徑。設(shè)未知目標輻射源位置坐標為x=[x y]T，L個已知位置的接收傳感器器坐標為xl=[x1y1]T，l=1,2,…,L,其中，L≥2為接收傳感器的數(shù)量，如圖1所示。2維到達角定位所需要的傳感器數(shù)目最少為2，然而傳感器的數(shù)量越多定位性能越佳。

圖1　到達角定位示意圖

到達角測量可表述為以下模型

(5)

(6)

(7)

對式(7)的第一個約束等式兩邊取正切并推導(dǎo)得

(8)

(9)

(10)

其中，

y=diag(a)tan(φ)-b

(11)

A=[diag(a)+diag(b)diag(tan(φ))tan(φ)-

1L-IL-diag(tan(φ))]

(12)

(13)

(14)

(15)

其中，±為半定松弛規(guī)劃中的正半正定運算符。

3達角定位算法優(yōu)化標準

克拉美羅下界(CRLB)[7]作為無偏估計的下界，提供了比較無偏估計性能的一個標準，不可能找到估計方差小于CRLB的無偏估計。因此本文中采用CRLB作為優(yōu)化標準，而CRLB由Fisher信息矩陣(Fisher Information Matrix，F(xiàn)IM)的逆給出，F(xiàn)isher信息矩陣為

(16)

其中，J0為到達角定位的雅可比行列式

(17)

∑為到達角定位的噪聲協(xié)方差矩陣

(18)

FIM可整理為

(19)

其中

(20)

式中，ul是來自第l個傳感器的單位正交向量。

4仿真結(jié)果及結(jié)論

圖2　仿真中接收傳感器與目標輻射源位置

對比克拉美羅下界(CRLB)和一種線性最小二乘法[4]，得到Matlab仿真圖，如圖3所示，仿真圖的橫坐標為測量誤差的協(xié)方差，縱坐標是定位誤差的均方誤差，為方便查看均取為以10為底的對數(shù)形式，“Δ”代表文獻[4]提出的線性最小二乘到達角定位法定位精度，“○”代表本文的方法定位精度，直線代表克拉美羅下界。從圖3中可以看出，本文提出的半定松弛規(guī)劃的到達角定位方法性能優(yōu)于文獻[4]中的方法，并且在σ2≤-8均方誤差接近克拉美羅下界。

圖3　到達角定位均方誤差仿真

綜合以上內(nèi)容可以了解到，本文通過添加噪聲作為有用變量，提出了一種基于半定松弛的到達角定位方程解法，此方法將目標位置求解的非凸二次優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為可以有效求解的半定規(guī)劃問題，并且仿真結(jié)果證明了其有效性和高精度特點，另外該方法無需噪聲的先驗知識，在無源定位中有一定的應(yīng)用前景。

參考文獻

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A Semi-Definite Relaxation Programming Approach to AOA Source Localization

WANG Zhihong, YUAN Peng

(Key Laboratory of Electronic Information Countermeasure and Simulation Technology

Ministry of Education, Xidian University, Xi’an 710071, China)

AbstractIn this paper, a new semi-definite programming approach is devised for AOA source localization. The main idea is to include the noise components as parameters of interests, which increases the flexibility in the convex optimization formulation. The original non-convex quadratic optimization problem of source position is converted first into an equivalent non-convex semi-definite programming problem, and then into a convex optimization problem, thus resolving the convex optimization problem and serves as a good approximate of original difficult problem. The computer simulation results show that the semi-definite relaxation method can effectively solve the source localization problem．

Keywordsconvex optimization; semi-definite relaxation; angle of arrival

收稿日期:2015- 10- 19

作者簡介:王志紅(1990-)，男，碩士研究生。研究方向：非合作信號處理。袁彭(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：嵌入式技術(shù)應(yīng)用。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.07.006

中圖分類號TN955

文獻標識碼A

文章編號1007-7820(2016)07-019-04