高文華，吳培浩，崔超宇，張宇風(fēng)，廖嘉祺

(華南理工大學(xué)　a.數(shù)學(xué)學(xué)院;b.機械與汽車學(xué)院，廣州　510640)

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基于隨機模擬法的數(shù)學(xué)實驗設(shè)計

高文華a，吳培浩b，崔超宇b，張宇風(fēng)a，廖嘉祺a

(華南理工大學(xué)a.數(shù)學(xué)學(xué)院;b.機械與汽車學(xué)院，廣州510640)

摘要該文基于隨機模擬法和Matlab編程，設(shè)計了布朗運動的模擬和對伊藤型隨機微分方程解的數(shù)值仿真兩個數(shù)學(xué)實驗。設(shè)計的實驗在豐富數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)內(nèi)容的同時，使學(xué)生對隨機過程微分方程有更深入的理解，有利于以創(chuàng)造性思維能力和自學(xué)能力為重點的學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)實驗；Monte Carlo方法；Matlab 仿真；隨機微分方程

數(shù)學(xué)實驗課是數(shù)學(xué)與計算機相結(jié)合的課程，更注重對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，強調(diào)學(xué)生自己動手做數(shù)學(xué)，也更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣。在數(shù)學(xué)實驗中，由于計算機的引入和數(shù)學(xué)軟件包的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，促進了數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合，從而使學(xué)生有時間去做更多的創(chuàng)造性工作[1]。

隨機現(xiàn)象在實際生活中廣泛存在。隨時間變化的各類系統(tǒng)受到不確定因素的作用，這些不確定因素往往服從某種統(tǒng)計規(guī)律，通常把這種具有統(tǒng)計規(guī)律的不確定因素稱為隨機因素。隨機系統(tǒng)就是指用于描述這類受隨機因素作用的時間過程的一類數(shù)學(xué)模型。這類數(shù)學(xué)模型一般是某些含隨機過程的差分或微分方程[2]。隨機微分方程能更真實、更準確地反映實際工程技術(shù)中的系統(tǒng)運動規(guī)律。隨機控制理論也廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟、人口系統(tǒng)等社會領(lǐng)域以及航空航天、導(dǎo)航與控制、制造工程等工程領(lǐng)域。隨機系統(tǒng)的研究已成為現(xiàn)代控制理論研究中的一個熱點問題。

隨機模擬法也叫Monte Carlo方法，它是用計算機模擬隨機現(xiàn)象，通過大量的仿真試驗，進行分析推斷。概率論中的大數(shù)定理是數(shù)字特征隨機模擬的理論根據(jù)。本文利用Matlab編程[3]，設(shè)計了兩個數(shù)學(xué)實驗：布朗運動[4-6]的模擬和伊藤隨機微分方程[7]的解的數(shù)值仿真。通過這些實驗，可使學(xué)生對隨機過程和隨機微分方程有更深入的理解，也將激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

1 布朗運動的模擬實驗

布朗運動是英國植物學(xué)家布朗在1827年首先發(fā)現(xiàn)的，他觀察到懸浮在液體中的小粒子的擴散運動是極不規(guī)則的。1905年，著名物理學(xué)家愛因斯坦提出，布朗運動是由微小粒子與液體分子之間的碰撞引起的。1923年，維納對布朗運動給出了嚴格的數(shù)學(xué)分析。布朗運動的第一個嚴格研究是維納給出的，因此這種隨機過程也稱作維納過程。維納最重要的貢獻是他對布朗運動過程的樣本函數(shù)性質(zhì)的研究，他證明了布朗運動的樣本函數(shù)或軌道是連續(xù)的而且?guī)缀跆幪幉豢晌⒌暮瘮?shù)。

自布朗運動發(fā)現(xiàn)以來，這個隨機過程已在數(shù)理統(tǒng)計、經(jīng)濟學(xué)、量子力學(xué)、生物學(xué)、通信理論和管理科學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛運用。

標量布朗運動又稱標準維納過程，是指定義在區(qū)間[0，T]上的一個隨機變量W(t)，且滿足下述3個條件：

(1)W(0)=0;

(3)對于0≤s

圖1　對標量布朗運動的模擬

T=1;

N=500;

dt=T/N;

dW=zeros(1，N);

W=zeros(1，N);

dW(1)=sqrt(dt)*randn;

W(1)=dW(1);

for j=2:N

W(j)=W(j-1)+dW(j);

end

plot([0:dt:T]，[0，W]，′r-′);

xlabel(′t′，′FontSize′，16);

ylabel(′W(t)′，′FontSize′，16，′Rotation′，0);

可以將上述代碼保存為m文件，程序的第一行為randn(′state′，200)時，不論在哪臺計算機上運行得到的結(jié)論都如圖1所示。如果把這個語句換為randn(′state′，sum(200*clock))，進行盡可能多次的模擬，會發(fā)現(xiàn)每一次的模擬得到的圖形都不一樣，都與之前的模擬無關(guān)，即體現(xiàn)了布朗運動的隨機性。

2伊藤隨機微分方程的解的數(shù)值仿真實驗

伊藤型隨機微分方程在工業(yè)、社會、經(jīng)濟領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如在金融領(lǐng)域描述收益率波動的期權(quán)定價數(shù)學(xué)模型就是采用伊藤型隨機微分方程，在工業(yè)領(lǐng)域為描述白噪聲對系統(tǒng)的影響也是采用伊藤型隨機微分方程。

對于隨機微分方程而言，一般很難求出其具體解過程。因此，許多學(xué)者提出不同的數(shù)值策略，如Euler-Maruyama方法，向前、向后Euler-Maruyama方法，Taylor展式方法等。結(jié)合布朗運動的模擬，本文中主要運用Euler-Maruyama方法對伊藤隨機微分方程的解進行數(shù)值仿真。

2.1簡單的伊藤型隨機微分方程解的數(shù)值仿真

例1簡單的伊藤型隨機微分方程

實驗要求是使用Matlab編程對上述隨機微分方程給出方程解的仿真曲線。

仿真程序如下，程序運行結(jié)果如圖2所示。

randn(′state′，500)

A=[1.1，-1.3;1.8，-2];X1zero = 1;

T = 1;N = 2^8;dt = 1/N;

randn(′state′，400);

dWy=sqrt(dt)*randn(1，N);

X(:，1)=1;

for j = 1:L-1

Winc = [sum(dWx(R*(j-1)+1:R*j));sum(dWy(R*(j-1)+1:R*j))];

X(:，j+1) = X(:，j)+Dt*A*X(:，j)+ B*Winc;

end

plot(0:Dt:T，[X(1，1)，X(1，:)]，′r--*′)，hold on

plot(0:Dt:T，[1，X(2，:)]，′g--+′)，hold off

xlabel(′t′，′FontSize′，12)

ylabel(′X′，′FontSize′，16，′Rotation′，0，′HorizontalAlignment′，′right′)

圖2　簡單的伊藤型隨機微分方程解的仿真曲線

2.2帶有時滯的伊藤型隨機微分方程解的數(shù)值仿真

例2帶有時滯的伊藤型隨機微分方程

實驗要求使用Matlab編程對上述隨機微分方程給出方程解的仿真曲線。

仿真程序如下，程序運行結(jié)果如圖3所示。

圖3　帶有時滯的伊藤型隨機微分方程解的仿真曲線

randn(′state′，200)

A=[-0.7，-1.2;-0.5，-0.2];

B=[-1.6，-1.8;2.8，-1.4];

A1=[2，-0.9;-0.9，0.8];B1=[1.4，-2.5;0.07，-1.5];

T = 1;N = 2^8;dt = 1/N;

Xem = zeros(1，L+5);

Yem=zeros(1，L+5);

X=[Xem;Yem];

for j = 1:L+5

if j<6;

X(1，j)=sin(j-5)+1;

X(2，j)=sin(2*(j-5))+1;

else

Winc = sum(dW(R*(j-6)+1:R*(j-5)));

[X(:，j+1)]=X(:，j)+C*X(:，j+1-4)-C*X(:，j-4)+(A*X(:，j)+A1*X(:，j-4))*Dt+(B*X(:，j)+B1*X(:，j-4))*Winc;

end

end

plot(0:Dt:T，X(1，(5:L+5))，′r--*′)，hold on;

plot(0:Dt:T，X(2，(5:L+5))，′b--+′)，hold off;

legend(′ x1圖像′，′ x2圖像′，1);

xlabel(′t′，′FontSize′，12);

ylabel(′x′，′FontSize′，16，′Rotation′，0，′HorizontalAlignment′，′right′)

3結(jié)束語

數(shù)學(xué)實驗課程能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。基于科研與教學(xué)資源共享的原則，本文把科研中用到的仿真算法和例子編成了數(shù)學(xué)實驗的案例，可以拓寬學(xué)生的視野，豐富數(shù)學(xué)實驗課程的教學(xué)內(nèi)容。

參 考 文 獻

[1]焦光虹.數(shù)學(xué)實驗[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]韓崇昭，王月娟，萬百五.隨機系統(tǒng)理論[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1987.

[3]趙景波.Matlab控制系統(tǒng)仿真與設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社，2010.

[4]BRZEZNIAK Z，ZASTAWNIAK T.Basic stochastic processes[M].影印版.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[5]陳六新.概率論與隨機過程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[6]伊藤清.隨機過程[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1961.

[7]HIGHAM D J.An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations[J].Siam Review.2001，43(3):525-546.

收稿日期:2015-03-05；修改日期: 2015-03-25

基金項目：廣東省高等學(xué)校教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革項目(x2lxN9120650);華南理工大學(xué)教研重點項目(x2lxY1130010)。

作者簡介：高文華(1974-) ，女，博士，副教授，主要從事隨機時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制方面的研究。

中圖分類號O175;TP391.9

文獻標志碼A

doi:10.3969/j.issn.1672-4550.2016.03.003

Mathematical Experiment Design Based on Random Simulation Method

GAO Wenhuaa，WU Peihaob，CUI Chaoyub，ZHANG Yufenga，LIAO Jiaqia

(a.School of Mathematics；b.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

AbstractBased on Monte Carlo method and Matlab programming，two mathematical experiment cases are designed in this paper.One is the simulation of the Brownian movement，the other is the numerical simulation of the It? stochastic differential equation.These cases will enrich the content of mathematical experiment course as well as deepen the understanding of differential equation of random process.It would help the development of comprehensive ability of the students centering on creative thought ability and self-learning ability.

Key wordsmathematical experiment;Monte Carlo method;Matlab simulation;stochastic differential equation