羅景文， 王善榮

(1.成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院， 四川 成都　610059； 2.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶　400715)

?

幾乎中緊空間

羅景文1， 王善榮2

(1.成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院， 四川 成都610059； 2.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶400715)

摘要：證明了：幾乎中緊空間的閉子集是幾乎中緊的；空間X是幾乎中緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的?一單調(diào)開覆蓋U，?X的稠密子集D和U的一開加細(xì)U′，使得D中?一緊集K，有(U′)K是有限集；如果Xα是|Λ|-仿緊空間，則X是幾乎中緊空間??Xα是幾乎中緊的；幾乎中緊空間X，如果是T3空間且是可數(shù)緊空間，那么它也是緊空間.

關(guān)鍵詞：閉子空間；幾乎中緊空間；|Λ|-仿緊空間；緊有限

0引言

緊空間是一般拓?fù)漕I(lǐng)域內(nèi)的一類非常重要的空間，通過對(duì)其性質(zhì)的研究，極大地豐富了拓?fù)淇臻g的內(nèi)容，在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域有著不容忽視的意義.自從1999年Grabner等[1]引入了幾乎亞緊空間,并探討了幾乎亞緊空間的一些性質(zhì)后，一些學(xué)者也不斷對(duì)這類拓?fù)淇臻g進(jìn)行研究[2-7].在此基礎(chǔ)上，本研究將meso(中)緊空間推廣到幾乎中緊空間，通過分析它的一些等價(jià)刻畫和閉遺傳性等性質(zhì)，并得出一些結(jié)論.

1預(yù)備知識(shí)

本研究所述的空間均為拓?fù)淇臻g，(V)K表示集族{V∈V∶V∩K≠?}，|A|表示集合A的勢(shì)，[Λ]表示集族{F?Λ∶F是有限集}.

定義1[3]空間X稱為是λ-仿緊的,如果X的每個(gè)勢(shì)≤λ的開覆蓋有一個(gè)局部有限的開加細(xì).

定義3[5]空間X的集族U稱為緊有限的，如果X的每一緊集K僅與U中有限個(gè)元相交.

定義4[2]空間X稱為幾乎仿緊空間，若X的任意開覆蓋U存在一開加細(xì)V和X的稠密子集D，使得V關(guān)于D是緊有限的.

定義5[4]空間X稱為meso(中)緊空間，對(duì)X的任意開覆蓋都存在緊有限的開加細(xì)覆蓋.

定義6空間X稱為幾乎中緊空間，如果對(duì)X中的任意開覆蓋U，存在開加細(xì)V和X的一個(gè)稠密子集D，使得V關(guān)于D是緊有限的.

2主要結(jié)論

定理1幾乎中緊空間X的閉子集Y是幾乎中緊的.

定理2空間X是幾乎中緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的?一單調(diào)開覆蓋U，?X的稠密子集D和U的一開加細(xì)U′，使得D中一緊集K，有(U′)K是有限集.

證明設(shè)U是X的?開覆蓋，令U″={∪U′∶U′是U的一個(gè)有限集U∈U}，則U″是X一單調(diào)開覆蓋.設(shè)V是U″的一個(gè)開加細(xì)， 且對(duì)X的稠密子集D上的?一緊集K，有(V)K有限集.對(duì)?V∈V，令H(V)是U的一個(gè)有限子集，有V?∪H(V)且W(V)={V∩U,U∈H(V)}，∵對(duì)?V∈V，有V?∪W(V)，那么W=∪{W(V)∶V∈V}是U的一個(gè)開加細(xì).令(V)K={V1,…，Vn}，則(W)K?W(V1)∪…∪W(Vn)且(W)K是緊有限的.∴W是U的一個(gè)開加細(xì)，且W在D上是緊有限的.得證.

證明(?)?F∈[Λ]，令，且πF∶X→YF表投射，πFE∶YE→YF表示YE到Y(jié)F的映射，特別對(duì)于α∈Λ，令πα=π{α}，πα表示X到Xα的投影映射.設(shè)U是X的?一開子集，GF(U)是YF中滿足下列條件的開子集?U；(b)設(shè)VF是YF的?一開子集，如果?U則有VF?GF(U).

則易知：

2)?E，F(xiàn)∈[Λ]且F?E，則?此外，對(duì)于?x∈U，存在F∈[Λ]和YF中的開子集VF，使得?U，從而VF?GF(U)，并且，故，

5)如果?E，F(xiàn)∈[Λ]，當(dāng)F?E時(shí)有WF?WE，

6)Y{WF∶F∈[Λ]}=X，從而{WF∶F∈[Λ]}是X的一個(gè)定向上升的開覆蓋.故任意x∈X，?F∈[Λ]使得x∈WF，由3)有WF=Y{}，因此存在E∈[Λ]使得).設(shè)B∈[Λ]且E?B，F(xiàn)?B，則??，則，

8)任意F∈[Λ]，GF(WF)?CF，∵AF={GF(Ua)∶a∈E}是YF的開覆蓋，并且YF是幾乎中緊的，則AF有一個(gè)開加細(xì)WF={WFa∶a∈E}，?YF中的稠密子集DF，使得DF中?緊集K，有(WF)K={WFa∈WF∶WFa∩K≠?}是有限集，并且任意a∈E，任意F∈[Λ]有WFa?GF(Ua)和?Y{WFa∶a∈E}，?F∈[Λ]，∵πF是連續(xù)開映射，故是X的稠密子集，令H={}，則，

9)H是U的加細(xì)，事實(shí)上，任意a∈E，?F∈[Λ]，WFa?GF(Ua)則??Ua，

10)H是X的開覆蓋，事實(shí)上任意x∈X，∵{WFa∶a∈E}是YF的開覆蓋，∴?a∈E，對(duì)任意F∈[Λ]使得xF=πF(x)∈WFa，即?，從而?，

定理4幾乎中緊空間X，如果是T3空間且是可數(shù)緊空間，那么它也是緊空間.

參考文獻(xiàn)：

[1]GrabnerE,GrabnerG,VaughanJE.Nearly metacompact spaces[J].TopolAppl，1999,98(1-3):191-201.

[2]曹金文．幾乎仿緊空間[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2003，19(1):57-60．

[3]蔣繼光．一般拓?fù)鋵W(xué)選講[M]．成都:四川教育出版社，1991．

[4]高國(guó)士．拓?fù)淇臻g論[M]．北京:科學(xué)出版社，2000．

[5]MancusoVJ.Mesocompactness and related properties[J].PacificJMath,1970,33(2):345-355.

[6]熊金誠(chéng).點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

[7]鄧小琳．幾乎弱θ加細(xì)空間[J]．南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版)，2007，31(2):128-132．

Nearly Mesocompact Spaces

LUOJingwen1,WANGShanrong2

(1.College of Management Science, Chengdu Univerisity of Technology, Chengdu 610059, China；2.School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 400715， China)

Abstract:This paper mainly proves the following points:(1)Every closed subspace of nearly mesocompact spaces is nearly mesocompact.(2)A space X is nearly mesocompact if and only if every monotone open cover U has an open refinement that is compact-finite on some dense subset of X.(3)Let Xαbe a |Λ|-paracompact space，then X is nearly mesocompact space if and only if Xαis nearly mesocompact for each F∈[Λ]?ω．(4)nearly mesocompact spaces X,if T3-space is nearly mesocompact space,X is also mesocompact space.

Key words:closed subspace;nearly mesocompact spaces；|Λ|-paracompact space；compact-finite

文章編號(hào)：1004-5422(2016)02-0140-03

收稿日期：2016-05-16.

作者簡(jiǎn)介：羅景文(1992 — )， 男， 碩士研究生， 從事一般拓?fù)鋵W(xué)研究.

中圖分類號(hào)：O189.11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A