唐素芳,肖玉柱

(1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710100；2.長(zhǎng)安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，陜西 西安 710086)

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基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)加權(quán)平均的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步

唐素芳1,肖玉柱2

(1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710100；2.長(zhǎng)安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，陜西 西安 710086)

摘要:為實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的同步,以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的加權(quán)平均為控制目標(biāo)軌道設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的自適應(yīng)控制方法,并利用微分方程的穩(wěn)定性理論對(duì)該同步方法的有效性進(jìn)行分析.結(jié)果表明，與現(xiàn)有的以節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解為控制目標(biāo)軌道的控制方法相比,該方法可用于結(jié)構(gòu)未知的帶有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的同步,并且最終的同步軌道可以不是節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解.通過數(shù)值模擬進(jìn)一步證實(shí)了該方法的有效性.

關(guān)鍵詞:自適應(yīng)控制;參數(shù)失配;動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)

0引言

動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)是自然科學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題.很多自然現(xiàn)象可由動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的同步來解釋,因而動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步得到各領(lǐng)域?qū)＜液蛯W(xué)者的深入研究[1-2].實(shí)際中，網(wǎng)絡(luò)受到各種不同的外界因素影響,各節(jié)點(diǎn)間很難自發(fā)地達(dá)到同步.為了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)間的同步,學(xué)者們提出了一些控制方法. 文獻(xiàn)[3]討論了牽制控制方法. 選取部分節(jié)點(diǎn)加以控制就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步,因此牽制控制是一種很好的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的控制方法. 然而,在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)未知時(shí)控制節(jié)點(diǎn)的選定還是一個(gè)未解決的問題,并且該控制方法要求網(wǎng)絡(luò)的各節(jié)點(diǎn)必須完全相同.

另一方面,網(wǎng)絡(luò)同步的全節(jié)點(diǎn)控制方法也得到了一定的研究. 由于脈沖控制的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,文獻(xiàn)[4-5]討論了結(jié)構(gòu)未知的動(dòng)力學(xué)同步的脈沖控制方法. 由于自適應(yīng)控制的自動(dòng)化、反應(yīng)快速等優(yōu)點(diǎn),文獻(xiàn)[6]討論了動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的自適應(yīng)控制方法. 然而,這些控制方法都是以節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的一個(gè)解為控制目標(biāo)軌道. 當(dāng)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解無法獲得不是穩(wěn)定的同步流形時(shí),這些控制方法或不能應(yīng)用. 文獻(xiàn)[7]以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的平均為目標(biāo)軌道,設(shè)計(jì)了網(wǎng)絡(luò)的同步方法來解決上述問題,并且該方法也適用于有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò). 基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的加權(quán)平均,文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的脈沖控制方案. 本文以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的加權(quán)平均為目標(biāo)軌道,設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的自適應(yīng)控制方法,并通過理論分析該方法的有效性.

1自適應(yīng)同步方案及理論分析

考慮由m個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)

(1)

(2)

在每個(gè)節(jié)點(diǎn)加上控制器ui=(u1,u2,…,un)T,則受控的網(wǎng)絡(luò)為

(3)

(4)

定義同步誤差

δxi=xi-x(t),i=1,2,…,m.

(5)

顯然,同步誤差服從方程

(6)

其中向量函數(shù)G(x)為

(7)

注意到同步誤差滿足

(8)

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器ui(i=1,2,…,m)使系統(tǒng)(6)在原點(diǎn)穩(wěn)定. 受文獻(xiàn)[7-12]啟發(fā),引入如下自適應(yīng)反饋控制器

(9)

(10)

(11)

其中γk和σkj是正常數(shù).

由方程(11)得

(12)

為分析控制方法的有效性,給出如下假設(shè).

假設(shè)1假設(shè)動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(3)是有界的. 令Ω1?Rn和Ω2?Rmn是2個(gè)有界集, 并對(duì)x1,x2∈Ω1和y1,y2∈Ω2, 存在正常數(shù)l1,l2,使得

‖F(xiàn)(x1,pi)-F(x2,pi)‖≤l1‖x1-x2‖,

(13)

‖g(y1)-g(y2)‖≤l2‖y1-y2‖.

(14)

假設(shè)2?x1=x2=…=xm=x∈Rn, 耦合函數(shù)gi(x1,x2,…,xm)滿足

g1(x,x,…,x)=g2(x,x,…,x)=…=gm(x,x,…,x).

(15)

條件(13),(14)為一般性的李普希茲條件. 條件(15)為確保存在穩(wěn)定的同步流形.在先前的研究中要求gi(x,x,…,x)=0或gi(x,x,…,x)+ui=0,因此同步目標(biāo)軌道一定是節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的一個(gè)解. 由條件(15)知,本文的方法不需要同步目標(biāo)軌道是節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的一個(gè)解.

為證明式(3),(9)～(11)構(gòu)成的系統(tǒng)達(dá)到同步,引入如下非負(fù)函數(shù)

其中L為可選擇的常數(shù).對(duì)V求微分,并利用式(8)得

(16)

式(16)中

(17)

及

(18)

將式(17)～(18)帶入式(16)得

利用假設(shè)1和假設(shè)2,得

2數(shù)值算例

為表述方便，引入如下標(biāo)量

統(tǒng)一混沌系統(tǒng)可描述為

3結(jié)束語

基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的加權(quán)平均,設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的自適應(yīng)控制方法,并基于微分方程的穩(wěn)定性理論分析了方法的有效性. 與先前以節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解為控制目標(biāo)軌道的控制方法相比,該方法適用于有參數(shù)失配的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò),且同步目標(biāo)軌道不必是節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解. 與先前以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的平均值為同步目標(biāo)軌道的同步方法相比,該控制方法的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單,且控制過程中信息的傳遞量更小.文中網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)是由一般的常微分方程描述,實(shí)際中節(jié)點(diǎn)可由其他類型方程來描述,如分?jǐn)?shù)階系統(tǒng). 將此方法推廣到這類網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)還有待進(jìn)一步研究.

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編輯、校對(duì)：師瑯

文章編號(hào):1006-8341(2016)02-0204-06

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.012

收稿日期：2015-07-18

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202035); 陜西省教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(14JK1276)

通訊作者:唐素芳(1980—),女,遼寧省遼陽市人,西安財(cái)經(jīng)學(xué)院講師,博士,研究方向?yàn)槠⒎址匠?

中圖分類號(hào)：O 415.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Synchronization of dynamical network via weighted average of several nodes′ states

TANGSufang1,XIAOYuzhu2

(1.School of Statistics, Xi′an University of Finance and Economics, Xi′an 710100,China;2.Department of Mathematics and Information Science, Chang′an University, Xi′an 710086,China)

Abstract:An adaptive control method was designed to synchronize the dynamical network with unknown parameter mismatch and coupling structure. In this method, the weighted average of several nodes′ states was used as target orbit. Based on the invariance principle of differential equation, the conditions of asymptotic synchronization were obtained. Compared with previous synchronization methods via a solution of node system used as target orbit, this method is applicable to networks with parameter mismatch, and the synchronization manifold can not be a solution of uncoupled system. Meanwhile, one numerical example is performed to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Key words:adaptive control; parameter mismatch; dynamical network

E-mail:sufangtang@163.com

引文格式：唐素芳,肖玉柱.基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)加權(quán)平均的動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(2)：204-209.

TANG Sufang,XIAO Yuzhu.Synchronization of dynamical network via weighted average of several nodes′ states[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):204-209.