官春梅, 席小忠

(1. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 喀什　844006; 2. 宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春　336000)

?

一類孿生素?cái)?shù)橢圓曲線整數(shù)點(diǎn)

官春梅1, 席小忠2

(1. 喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 喀什844006; 2. 宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 宜春336000)

摘要:運(yùn)用初等的方法證明了孿生素?cái)?shù)橢圓曲線E1:y2=x(x-11)(x-13)只有整數(shù)點(diǎn)(0,0),(11,0),(13,0)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞:孿生素?cái)?shù); 橢圓曲線; 整數(shù)點(diǎn)

不定方程整數(shù)解的討論是數(shù)論研究中一項(xiàng)重要的內(nèi)容,許多學(xué)者對(duì)這一內(nèi)容都進(jìn)行過研究,如文獻(xiàn)[1-2]就討論了兩個(gè)不定方程的解.同樣,確定橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)與E2:y2=x(x+p)(x+q)在孿生素?cái)?shù)p,q=p+2時(shí)的整數(shù)點(diǎn)的問題是一個(gè)有趣的數(shù)論問題,對(duì)其有著極其豐富的研究?jī)?nèi)容[3-8].文獻(xiàn)[9]中,作者討論了橢圓曲線E1:y2=x(x-3)(x-5)與E2:y2=x(x+3)(x+5)的整數(shù)點(diǎn)的問題.文獻(xiàn)[10]中,作者討論了橢圓曲線E1:y2=x(x-5)(x-7)與E2:y2=x(x+5)(x+7)的整數(shù)點(diǎn)的問題. 本文將探討橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)在孿生素?cái)?shù)p=11,q=13時(shí)整數(shù)點(diǎn)的問題,并給出了相應(yīng)的結(jié)論.

1主要結(jié)論及其證明

定理1孿生素?cái)?shù)橢圓曲線方程E1:

(1)

只有整數(shù)點(diǎn)(0,0),(11,0),(13,0).

證明當(dāng)y=0時(shí),顯然(0,0),(11,0),(13,0)是滿足式(1)的3個(gè)整數(shù)點(diǎn).下面討論y≠0的情況. 設(shè)(x,y)是滿足式(1)的1個(gè)整數(shù)點(diǎn).由于y≠0,則y2>0,有013.

若0

下面討論x>13的情況. 設(shè)d1=(x,x-11),d2=(x,x-13),d3=(x-11,x-13),則有

對(duì)d1,d2,d3的取值進(jìn)行分類組合,可分為8種情況,對(duì)這8種情況分別討論. 說明:以下所提到的a,b,c是兩兩互素的整數(shù).

情形1(d1,d2,d3)=(1,1,1).

令x=a2,x-11=b2,x-13=c2,則y=±abc. 由此可得

2=(x-11)-(x-13)=a2-b2=(a+b)(a-b).

由上式可知,此時(shí)無整數(shù)解.

情形2(d1,d2,d3)=(11,1,1).

令x=11a2,x-11=11b2,x-13=c2,則y=±11abc. 由此可得x-(x-11)=11,即11a2-11b2=11. 進(jìn)一步有(a+b)(a-b)=1.此時(shí)雖可得x=11,但-2=c2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時(shí)無整數(shù)點(diǎn).

情形3(d1,d2,d3)=(1,13,1).

令x=13a2,x-11=b2,x-13=13c2,則y=±13abc. 由此可得

13=x-(x-13)=13a2-13c2,進(jìn)一步有(a+c)(a-c)=1.此時(shí)雖可得x=13,但2=b2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時(shí)無整數(shù)點(diǎn).

情形4(d1,d2,d3)=(1,1,2).

令x=a2,x-11=2b2,x-13=2c2,則y=±2abc. 由此可得2=(x-11)-(x-13)=2b2-2c2,進(jìn)一步有(b+c)(b-c)=1.此時(shí)雖可得x=13,但13=x2這在有理數(shù)集中是無解的,所以此時(shí)無整數(shù)點(diǎn).

情形5(d1,d2,d3)=(11,13,1).

令x=11×13a2,x-11=11b2,x-13=13c2,則y=±11×13abc. 由此可得13=x-(x-13)=11×13a2-13c2,進(jìn)一步有11a2-c2=1.由于c?0(mod11),則c2+1≡2,4,5,6,10(mod11),而此時(shí)11a2≡0(mod11),所以此時(shí)無整數(shù)點(diǎn).

情形6(d1,d2,d3)=(1,13,2).

令x=13a2,x-11=2b2,x-13=26c2,則y=±26abc. 由此可得a2-2c2=1,b2-13c2=1.由x=13a2,x-11=2b2可得a≡1(mod2),再由a2-2c2=1,b2-13c2=1可得b≡1(mod2),c≡0(mod2),(b+a)(b-a)=11c2.那么,有

情形7(d1,d2,d3)=(11,1,2).

情形8(d1,d2,d3)=(11,13,2).

綜合以上的討論可得,式(1)只有整數(shù)點(diǎn)(0,0),(11,0),(13,0). 定理證畢.

2結(jié)語(yǔ)

對(duì)于橢圓曲線E1:y2=x(x-p)(x-q)與E2:y2=x(x+p)(x+q)在孿生素?cái)?shù)p,q=p+2時(shí)的整數(shù)點(diǎn)的問題,本文就E1當(dāng)p=11、q=13的情況進(jìn)行了討論,給出了此時(shí)所確定孿生素?cái)?shù)橢圓曲線只有整數(shù)點(diǎn)(0,0),(11,0),(13,0)的結(jié)論.而對(duì)于其他的孿生素?cái)?shù)p,q=p+2,E1與E2的整數(shù)點(diǎn)問題也是值得研究的問題.

參考文獻(xiàn):

[ 1 ] 杜先存,劉玉鳳,管訓(xùn)貴. 關(guān)于丟番圖方程x3±53=3py2[J]. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,26(1):81-83.

(DUXC,LIUYF,GUANXG.OnDiophantineequationx3±53=3py2[J].JournalofShenyangUniversity(NaturalScience), 2014,26(1):81-83.)

[ 2 ] 管訓(xùn)貴,杜先存. 關(guān)于丟番圖方程x3+1=13py2的整數(shù)解[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,25(2):36-38.

(GUANXG,DUXC.OnIntegersolutionofDiophantineequationx3-1=13py2[J].JournalofGuizhouNormalUniversity:NaturalScience, 2014,25(2):36-38.)

[ 3 ]QIUDR,ZHANGXK.EllipticcurvesoftwinprimesoverGaussfieldandDiophantineequations[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 2000,29(3):279-281.

(QIUDR,ZHANGXK.EllipticcurvesoftwinprimesoverGaussfieldandDiophantineequationgs[J].AdvancesinMathematics, 2000,29(3):279-281.)

[ 4 ]QIUDR,ZHANGXK.Mordell-WeilgroupsandSelmergroupsoftwinprimeellipticcurves[J].ScienceinChina(MathematicsPhysicsAstronomy), 2002,45(11):1372-1380.

[ 5 ]LEMH.OnthesimultaneousPellequationx2-D1y2=dandz2-D2y2=d[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 2001,30(1):87-88.

(LEMH.OnthesimultaneousPellequationx2-D1y2=dandz2-D2y2=d[J].AdvancesinMathematics, 2001,30(1):87-88.)

[ 6 ]STROEKERRJ,TZANAKISN.ComputingallintegersolutionsofaGenus1equation[J].MathematicsofComputation, 2003,72(244):1917-1933.

[ 7 ] 陳歷敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2010,53(1):83-86.

(CHENLM.OntheDiophantineequationy2=px(x2+2)[J].ActaMathematicaSinica(ChineseSeries), 2010,53(1):83-86.)

[ 8 ] 崔保軍. 橢圓曲線y2=px(x2+4)的正整數(shù)點(diǎn)[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,32(6):962-963.

(CUIBJ.OntheDiophantineequationy2=px(x2+4)[J].JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition), 2014,32(6):962-963.)

[ 9 ]CHENHY.Integralpointsontwinprimesellipticcurvesforp=3[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2012,32(5):809-815.

(CHENHY.Integralpointsontwinprimesellipticcurvesforp=3[J].JournalofMathematics, 2012,32(5):809-815.)

[10] 陳候炎. 孿生素?cái)?shù)橢圓曲線在p=5時(shí)的整數(shù)點(diǎn)[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,36(1):34-38.

(CHENHY.Integralpointsontwinprimesellipticcurvesforp=5[J].JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition), 2011,36(1):34-38.)

[11] 潘家宇. 關(guān)于丟番圖方程x2-Dy4=1的一些注記[J]. 河南科學(xué), 1997,15(1):18-22.

(PANJY.SomeremarksontheDiophantineequationx2-Dy4=1[J].HenanScience, 1997,15(1):18-22.)

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

IntegralPointsofATwinPrimesEllipticCurve

Guan Chunmei1, Xi Xiaozhong2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,KashgarUniversity,Kashgar844006,China; 2.InstituteofMathematicsandComputerScience,YichunCollege,Yichun336000,China)

Abstract:Conclusion that twin primes elliptic curvey E1:y2=x(x-11)(x-13)has only three integral points(0,0),(11,0),(13,0)was proved by using elementary methods.

Key words:Twin primes; elliptic curve; integral points

文章編號(hào):2095-5456(2016)03-0256-03

收稿日期:2015-01-21

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201411).

作者簡(jiǎn)介:官春梅(1976-),女,湖北竹山人,喀什大學(xué)講師.

中圖分類號(hào):O 156

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A