亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        隨機二階錐規(guī)劃問題的快速空間分解方法

        2016-07-20 09:29:28
        沈陽大學學報(自然科學版) 2016年3期

        陸 媛

        (沈陽大學 師范學院, 遼寧 沈陽 110044)

        ?

        隨機二階錐規(guī)劃問題的快速空間分解方法

        陸媛

        (沈陽大學 師范學院, 遼寧 沈陽110044)

        摘要:討論了基于空間分解的隨機二階錐規(guī)劃問題的樣本均值近似方法(簡稱SAA方法),在適當?shù)臈l件下,證明了SAA問題的解以概率1收斂到原問題的解,并且隨著樣本容量的增加收斂速度是指數(shù)的. 基于分解理論,給出了SAA問題的超線性收斂算法框架.

        關鍵詞:隨機優(yōu)化; 二階錐規(guī)劃; 樣本均值近似; 空間分解; 超線性收斂

        考慮如下的隨機二階錐規(guī)劃(SSOCP)問題

        (1)

        m+1維的二階錐定義如下:

        由Qm+1誘導的序關系Qm+1定義如下

        本文討論SSCOP(1)問題的樣本均值近似方法(SAA). Shapiro在文獻[1]中討論了隨機廣義方程的SAA方法,亦可參見文獻[2-6]. SAA方法的基本思想是由蒙特卡羅模擬產(chǎn)生獨立同分布的樣本,并且使用函數(shù)的樣本均值來近似代替目標函數(shù),然后利用確定型優(yōu)化方法求解SAA問題,最后得到原始問題的近似解.

        令ξ1,ξ2,…,ξN和η1,η2,…,ηN分別是隨機變量ξ和η的樣本. 問題(1)的SAA問題如下

        (2)

        稱問題(2)是SAA問題,(1)為原問題.

        本文的結構如下:首先問題(2)通過精確罰函數(shù)被轉化為無約束問題,然后在浩斯道夫距離的意義下證明了近似解集收斂到原問題的解集.給出SAA問題的分解理論. 文章最后給出SAA問題的空間分解算法框架.

        1SAA問題的收斂性分析

        由二階錐的定義,SSOCP問題可以被轉化為

        (3)

        等價的,

        并且

        則式(3)可以轉化為

        (4)

        令x為式(4)的可行點,定義如下的指標集

        其中μ>0是罰參數(shù). 具體的,

        其中

        因此,

        并且

        下面討論隨著N的增加,問題(4)收斂到問題(1). 特別的,將討論當N→∞時,SAA問題(4)的解收斂到原問題的解. 首先,給出SAA方法的基本假設.

        假設1

        (2) 對于任意的s∈X以及足夠小的t,矩母函數(shù)Ms(t)是有限的;

        (3) 存在可測函數(shù)κ:Ω→R+,使得對所有的ξ∈Ω,s′,s∈X,有

        (4) 對于足夠小的t,κ(ξ)的矩母函數(shù)為Mk(t)=E[etk(ξ)],其中Ms(t)=E[et(g(s,ξ)-G(s))] 是隨機變量g(s,ξ)-G(s)的矩母函數(shù).

        并且

        令N>M,ε=ε1+με2,有

        下面討論隨著樣本容量的增加,SAA問題(2)的解以指數(shù)收斂率收斂到原問題(1)的解.

        定理2令xN是SAA問題(4)的解集,S*是原問題(1)的解集.假設1成立,則對于任意的ε>0,存在正參數(shù)c(ε),d(ε)使得對于充分大的N,有

        (5)

        證明令ε>0,ε1>0,ε2>0,由定理1知,存在δ>0使得

        故d(xN,S*)<ε. 因此由假設1,有

        c(ε)e-Nd(ε).

        2SAA問題的分解理論

        首先介紹如下的定義和假設.

        為VU-子空間,并且Rn=U⊕V,其中⊕表示空間的直和.

        并且由U=V⊥知結論的第二部分成立.

        相應的,V-子空間上的最優(yōu)解集為

        (1) 關于變量u,v的非線性方程組

        (6)

        有唯一解v=v(u),并且v:RdimU→RdimV是二階連續(xù)可微函數(shù);

        引理1關于αj的方程組

        下面的定理給出U-拉格朗日函數(shù)的性質.

        (1)Lu關于變量u是二階連續(xù)可微函數(shù);

        特別的,當u=0時,有,其中

        其中

        證明 (1) 由定理3結論(3),有

        由于函數(shù)f和v(u)是二階連續(xù)可微的,結論(1)成立.

        (2) 根據(jù)鏈式法則,將下面的方程組關于變量u求導數(shù),

        其中

        其中

        根據(jù)文獻[14]中的定理6.3的證明,有

        因此

        3算法和收斂性分析

        算法1(算法框架)

        Step 1(停止準則)若

        (7)

        則停.

        (8)

        其中

        Step6(校正)置k=k+1,轉Step1.

        (9)

        由式(8)知,

        4結論

        首先針對二階錐規(guī)劃問題,給出基于VU-空間分解的樣本均值近似方法(SAA). 然后討論了SAA子問題目標函數(shù)具有與VU-空間分解相關的原始對偶梯度結構. 進而,Rn空間可以分解為U和V兩個直交的子空間. 目標函數(shù)在U-空間上是光滑的,具有與二階展開相關的U-海賽陣. 因此,在設計求解SAA問題的算法上采用Newton方法以獲得超線性的收斂速度.

        參考文獻:

        [ 1 ]SHAPIROA,DENTCHEVAD,RUSZCZYNSKIA.Lecturesonstochasticprogramming:modelingandtheory[R].Philadelphia:SIAM, 2009.

        [ 2 ]PAGNONCELLIBK,AHMEDS,SHAPIROA.Sampleaverageapproximationmethodforchanceconstrainedprogramming:theoryandapplication[J].JournalofOptimizationTheoryandApplications, 2009,142(2):399-416.

        [ 3 ]FLIEGEJ,XUH.Stochasticmultiobjectiveoptimization:sampleaverageapproximationsandapplication[J].JournalofOptimizationTheory&Applications, 2011,151(1):135-162.

        [ 4 ]WANGMZ,LINGH,GAOYL,etal.Sampleaverageapproximationmethodforaclassofstochasticvariationalinequalityproblems[J].JournalofSystemScienceandComplexity, 2011,24(6):1143-1153.

        [ 5 ]LIUYC,XUHF,YEJJ.Penalizedsampleaverageapproximationmethodsforstochasticmathematicalprogramswithcomplementarityconstraints[J].MathematicsofOperationsResearch, 2010,36(36):670-694.

        [ 6 ]SHUANGC,PANGLP,GUOFF,etal.StochasticmethodsbasedonNewtonmethodtothestochasticvariationalinequalityproblemwithconstraintconditions[J].MathematicalandComputerModeling, 2012,55(3):779-784.

        [ 7 ]KANZOWC,FERENCZII,FUKUSHIMAM.Semismoothmethodsforlinearandnonlinearsecond-oderconeprograms[R].DepartmentofAppliedMathematicsandPhysics,KyotoUniversity, 2006.

        [ 8 ]LIUYJ,ZHANGLWANDWANGYH.Convergencepropertiesofasmoothingmethodforlinearsecond-orderconeprogramming[J].AdvancesinMathematics, 2007,36(4):491-502.

        [ 9 ]LIUYJ,ZHANGLW.ConvergenceofaugmentedLagrangianmethodfornonlinearoptimizationproblemsoversecond-ordercones[J].JournalofOptimizationTheoryandApplications, 2008,139(3):557-575.

        [10]BAIYQ,WANGGQ.Primal-dualinterior-pointalgorithmsforsecond-orderconeoptimizationbasedonanewparametrickernelfunction[J].ActaMathematicaSinica(EnglishSeries), 2007,23(11):2027-2042.

        [11]LEMARECHALC,OUSTRYF,SAGASTIZABALC.TheU-Lagrangianofaconvexfunction[J].TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety, 2000,352(2):711-729.

        [12]MIFFLINR,SAGASTIZABALC.VU-decompositionderivativesforconvexmax-functions[M]∥Ⅲ-posedVariationalProblemsandRegularizationTechniques.Berlin:SpringerBerlinHeidelberg, 1999:167-186.

        [13]LEMARECHALC,SAGASTIZABALC.Morethanfirst-orderdevelopmentsofconvexfunctions:primal-dualrelations[J].JournalofConvexAnalysis, 1996,3(2):1-14.

        [14]MIFFINR,SAGASTIZABALC.OnVU-theoryforfunctionswithprimal-dualgradientstructure[J].SIAMJournalonOptimization, 2000,11(2):547-571.

        [15]MIFFINR,SAGASTIZABALC.Functionswithprimal-dualgradientstructureandU-Hessians[M]∥NonlinearOptimizationandRelatedTopics.NewYork:SpringerUS, 2000:219-233.

        [16]MIFFINR,SAGASTIZABALC.Primal-dualgradientstructuredfunctions:second-orderresults;linkstoEpi-derivativesandpartlysmoothfunctions[J].SIAMJournalonOptimization, 2002,13 (4): 1174-1194.

        [17]LANGS.Realandfunctionanalysis[M]. 3rded.NewYork:Springer-Verlag, 1993.

        【責任編輯: 肖景魁】

        A Fast Space Decomposition Method for Stochastic Second-Order Cone Programming Problem

        LuYuan

        (Normal School, Shenyang University, Shenyang 110044, China)

        Abstract:Sample average approximation (SAA) method based on the space decomposition method to solve stochastic second-order cone programming problem is discussed. Under some moderate conditions, the SAA solution converges to its true counterpart with probability approaching one and convergence is exponential fast with the increase of sample size. Based on the decomposition theory, a superlinear convergent algorithm frame is designed to solve the SAA problem.

        Key words:stochastic optimization; second-order cone programming; sample average approximation; space decomposition; superlinear convergent

        文章編號:2095-5456(2016)03-0250-06

        收稿日期:2016-01-06

        基金項目:國家自然科學基金資助項目(11301347).

        作者簡介:陸媛(1981-),女,遼寧沈陽人,沈陽大學副教授,博士.

        中圖分類號:O 221

        文獻標志碼:A

        青青青免费在线视频亚洲视频| 99久久国产一区二区三区| 久久国产精品二国产精品| 激情内射亚洲一区二区三区爱妻| 精品国产群3p在线观看| 无码人妻丝袜在线视频| 青青草免费在线手机视频| 街拍丝袜美腿美女一区| 国产亚洲精品90在线视频| 亚洲av精品一区二区三区| 国产高清一区二区三区视频| 日本亚洲国产一区二区三区| 黄色毛片视频免费| 日本免费一区精品推荐| 人妻少妇满足中文字幕| 私人vps一夜爽毛片免费| 少妇无码吹潮| 久久精品国产一区二区电影| 精品国产91久久综合| 亚洲一区二区精品在线看| 亚洲国产av一区二区三区精品| 成年女人在线观看毛片| 蜜桃av多人一区二区三区| 亚洲av熟女天堂久久天堂| 国产真实一区二区三区| 欧美肥妇毛多水多bbxx水蜜桃| 亚洲国产av精品一区二区蜜芽 | 久久av不卡人妻出轨一区二区| 色偷偷久久久精品亚洲| 国产黄大片在线观看| 真实单亲乱l仑对白视频| 国产精品日韩欧美一区二区区| 偷拍熟女亚洲另类| 风流少妇一区二区三区91| 多毛小伙内射老太婆| 欧洲人妻丰满av无码久久不卡| 欧洲亚洲视频免费| 国产成人夜色在线视频观看| 日韩精品一区二区在线天天狠天| 热久久美女精品天天吊色| 每天更新的免费av片在线观看|