張鴻博，蔡曉峰，魯改鳳

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基于全相位FFT改進相位差法的自動準同期并列參數(shù)測量

張鴻博1，蔡曉峰2，魯改鳳1

(1.華北水利水電大學電力學院,河南 鄭州 450011；2.河南工程學院機械工程學院,河南 新鄭 451191)

發(fā)電機準同期并列的關鍵在于對并列雙方電壓參數(shù)的快速準確測量。但由于并列雙方電壓頻率不同，很難同時對雙方電壓做到同步采樣，傳統(tǒng)的基于快速傅里葉變換(Fast Flourier Transform,FFT)的準同期并列參數(shù)測量結(jié)果因頻譜泄露產(chǎn)生較大誤差。為抑制泄露，提高參數(shù)測量精度，引入了全相位頻譜分析技術，并分析了全相位FFT與常規(guī)卷積窗FFT的區(qū)別與聯(lián)系。在此基礎上提出了基于全相位FFT的發(fā)電機準同期參數(shù)測量方法，并對全相位FFT相位差法進行了改進，提出了簡潔的基波頻率及幅值計算方法，使其更好地滿足準同期并列的需要。通過仿真計算驗證了所提方法性能優(yōu)良，能有效克服頻率波動、諧波、噪聲及電壓非穩(wěn)態(tài)變化等不同情況的影響，實現(xiàn)并列雙方電壓參數(shù)的快速準確測量。

準同期；全相位；快速傅里葉變換；窗函數(shù)；頻譜校正

0 引言

自動準同期是發(fā)電機最常用的并列方式，同時也適用于電網(wǎng)解列的兩部分或微電網(wǎng)與(大)電網(wǎng)之間的并列運行，其關鍵在于對并列雙方電壓信號頻率、幅值以及相位的快速準確測量。目前，自動準同期參數(shù)測量方法主要分為硬件法和軟件法[1]。硬件法是利用硬件電路實現(xiàn)對待并列兩側(cè)電壓信號的頻率差及相角差的測量，其運算簡單，但需要專門的頻率、相位檢測電路，且存在抗干擾能力弱、易受高次諧波影響等缺點。軟件法主要是對并列兩側(cè)電壓進行交流采樣并通過數(shù)值方法計算電壓參數(shù)，該方法不需專門的頻率和相角測量電路，其測量精度及同期性能主要取決于頻率、相位及幅值的微機算法。常用的同期并列參數(shù)測量算法是傅立葉變換算法[2-4]，但在非同步采樣時受頻譜泄露的影響會出現(xiàn)較大的誤差[5]，而并列裝置測量的2個電壓信號(電網(wǎng)電壓與發(fā)電機端電壓)頻率不等，且發(fā)電機電壓的頻率會在一個較大范圍內(nèi)變化，同時實現(xiàn)2個信號的整周期采樣十分困難。加窗和頻譜校正有利于抑制頻譜泄露，提高參數(shù)測量精度[5]，基于此，文獻[2-3]提出了基于Bartlett窗FFT相位差校正的準同期參量測量方法，實現(xiàn)了對準同期參量的較準確測量，但Bartlett窗旁瓣峰值較高(-30 dB)，且旁瓣衰減速度不夠快(-6 dB)，不同步采樣較為嚴重時負頻分量和高次諧波產(chǎn)生的頻譜泄露對基波測量影響較大。文獻[4]提出了基于4階Rife-Vincent自卷積窗插值FFT的準同期參數(shù)測量方法，該方法雖然測量精度高，但4階Rife-Vincent自卷積窗主瓣太寬，為避免奇次諧波及負頻分量頻譜泄露對基波參數(shù)測量的影響，需要采樣8個周期以上，實時性較差。

為抑制頻譜泄露，提高參數(shù)測量精度，并保證良好的實時性，本文引入了全相位頻譜分析技術[6-7]，分析了全相位FFT與常規(guī)卷積窗FFT的區(qū)別與聯(lián)系，指出了全相位FFT的優(yōu)勢，在此基礎上，提出了基于全相位FFT (all-phase FFT，apFFT)的準同期并列參數(shù)測量算法，并對全相位FFT相位差法進行了改進，推導了簡潔的基波頻率及幅值計算公式，更好地滿足準同期并列的需要。仿真驗證了算法在恒定的采樣頻率下，可同時對并列雙方電壓參數(shù)進行測量，當頻率在較大范圍內(nèi)變化時仍然能夠達到較高精度，且數(shù)據(jù)窗口短，計算量小，實時性好。

1 全相位頻譜分析原理

全相位頻譜分析大致過程如圖1所示[6-7]。

圖1 M階全相位FFT譜分析基本框圖(M=4)

從圖1可看出，首先用長為(2?1)的卷積窗對中心樣點(0)前后(2?1)個數(shù)據(jù)進行加窗處理，然后對兩兩間隔為的加窗后數(shù)據(jù)進行重疊相加形成個數(shù)據(jù)，最后作點數(shù)為的FFT即得全相位譜分析結(jié)果。其中圖1中的卷積窗由前窗與翻轉(zhuǎn)的后窗卷積而成，即

若==R(R為矩形窗)，則稱為無窗全相位頻譜分析，若=≠R，則稱為雙窗全相位頻譜分析。

圖1中若輸入信號為單一頻率信號

由文獻[8]可知，雙窗apFFT輸出的頻譜與傳統(tǒng)FFT輸出頻譜間關系為

(3)

從式(3)可以看出，雙窗apFFT輸出的幅度譜為傳統(tǒng)加窗FFT幅度譜的平方，這種關系使旁瓣譜線相對于主譜線的比值也按照平方衰減，使主譜線顯得更為突出，因此其頻譜泄露抑制能力相對于原窗函數(shù)的傳統(tǒng)FFT更強；而且apFFT的相位譜為中心樣點(0)的理論相位值，該相位值不受頻偏影響，不用校正，在一定程度上方便了相位的測量。

2 ?雙窗apFFT與常規(guī)卷積窗FFT的聯(lián)系

由式(3)可知，對于幅值為1的單一頻率信號，雙窗apFFT輸出的幅度譜等于傳統(tǒng)加窗FFT幅度譜的平方，也等于窗函數(shù)的幅度譜的平方，設長度為的組合余弦窗表達式為

(5)

當窗函數(shù)為Hanning窗時，由式(5)得其頻譜為

于是Hanning窗幅度譜的平方表達式為

(7)

對比文獻[10]中關于Hanning自卷積窗的研究可以發(fā)現(xiàn)，由于自卷積窗的頻譜等于原母窗頻譜的次方(為階數(shù))，卷積窗的幅度譜也就等于原母窗幅度譜的次方，即

(9)

式中，c=為卷積窗長度。因此二階卷積窗的幅度譜為

對比式(8)、式(10)可以發(fā)現(xiàn)，二者都是對式(7)離散化所得，但離散化的頻率間隔不同，式(8)的離散間隔為，而式(10)的離散間隔為。由此也可以斷定，apFFT中第=(=條譜線的幅值與基于二階卷積窗常規(guī)FFT中的第條譜線具有相同的幅值。為驗證這個結(jié)論，在Matlab中對式(2)中的信號分別進行了基于Hanning窗的apFFT分析和基于二階Hanning卷積窗的常規(guī)FFT分析，式中二者的幅度譜如圖2所示。

圖2 全相位FFT與傳統(tǒng)卷積窗FFT的幅度譜

以上分析表明，可以用卷積窗的特性來分析雙窗apFFT的頻譜泄露抑制能力，根據(jù)文獻[10]可知，二階Hanning卷積窗的最大旁瓣峰值為-64 dB，旁瓣衰減速率為36 dB/oct，優(yōu)于文獻[2]中的Bartlett窗。另外值得一提的是與常規(guī)余弦窗(比如Hanning窗[12]、Nuttall窗[13-15]、Rife-Vincent窗[16])相比，卷積窗還有一個突出優(yōu)勢，即其幅度譜在零點附近導數(shù)為0(具有很平坦的特性)，文獻[17-18]對矩形自卷積窗的這一特性進行了詳細地論證，實際上根據(jù)卷積窗幅度譜與原母窗幅度譜的關系(如式(9))及復合冪函數(shù)的求導公式()，不難證明余弦自卷積窗均有類似的特征。這一特征使得余弦自卷積窗在接近同步采樣的情況下具有優(yōu)于常規(guī)余弦窗的頻譜泄露抑制能力，有利于獲得高精度的測量結(jié)果，而自動準同期在即將完成并列時，發(fā)電機頻率和電網(wǎng)頻率均接近50 Hz，設置適當?shù)牟蓸宇l率很容易達到接近同步采樣的條件，從而充分發(fā)揮卷積窗的優(yōu)勢。

當然，有一些卷積窗旁瓣特性也很優(yōu)良，比如Rife-Vincent自卷積窗[4]，Nuttall自卷積窗[19]，但它們的主瓣較寬，為避免高次諧波及負頻分量頻譜泄露對基波參數(shù)測量的影響，需要采樣很多信號周期，實時性較差。因此，這里綜合考慮了算法精度與實時性的要求，選擇采用Hanning窗的雙窗apFFT來實現(xiàn)準同期并列參數(shù)的測量。

3 基于apFFT改進相位差法的自動準同期參數(shù)測量

由于雙窗apFFT優(yōu)良的頻譜泄露抑制能力、相位測量上的便利性及速度優(yōu)勢使其非常適合于發(fā)電機自動準同期并列過程中的參數(shù)測量。但由于準同期并列過程中對信號參數(shù)測量的實時性要求高，雙窗apFFT用于自動準同期時仍需特別設計和改進。

首先信號的截斷周期不易太長，采樣點不易過多，當然為避免高次諧波頻譜泄露對基波測量的影響，截斷周期也不能過短，這里取4個額定工頻周期(e=0.02 s)。其次，為獲得并列雙方電壓基波的準確信息需要對apFFT譜進行插值校正，相位差法是apFFT頻譜校正的常用方法[8]，但對于準同期并列來講，要求實時監(jiān)測并列雙方的電壓參數(shù)，相位差法中兩段數(shù)據(jù)的間隔設定不能太大，這里直接將兩段數(shù)據(jù)的間隔取為1，這樣，每隔一個采樣點就可以計算電壓頻率、幅值、相位參數(shù)，實時性好。不妨記兩段采樣序列為

1={(1),(2),(3),?…,(2-1)}；

2={(2),(3),(4),?…,(2)}。

通過apFFT計算可以得到兩個序列的apFFT頻譜，在20~70 Hz之間找到幅值最大的譜線，取其實部虛部分別記為1、1，2、2，設兩個采樣序列中心點的相位分別為、，記，則

(12)

而如果信號頻率是額定工頻0=50 Hz，則兩段信號的相位差為

由于s在算法設計時可事先確定下來，因此是一個確定的值。

令(14)

(16)

設采樣頻率s=800 Hz，當在30~70 Hz范圍內(nèi)時，，實際應用中采樣頻率s一般不低于800 Hz，則可能更小。由于很小，也很小。根據(jù)反正切的泰勒級數(shù)展開式

由于較小，不用取太多項就可以獲得足夠的精度，因此，這里取展開式的前兩項直接計算，即

(17)

頻率偏差可由式(19)、式(20)計算：

(19)

式(20)中，round表示四舍五入函數(shù)。

求得頻率偏差后，可以進行幅值校正。為此，對式(3)做進一步化簡，由于：

因此式(3)可簡寫為

(23)

(25)

觀察式(17)、式(27)不難看出，改進后的 apFFT相位差頻譜校正算法頻率和幅值計算公式均由多項式實現(xiàn)，計算量小，易于在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)。信號的相位根據(jù)全相位FFT的水平相位特性，可直接取主瓣內(nèi)幅值最大的譜線的相位作為采樣序列中心點對應的相位。但自動準同期并列過程中關心的是最后采樣時刻并列兩側(cè)電壓信號的相位差，因此需要對中間時刻相位進行移相以得到最后采樣時刻的相位(式(28))。

因此兩個信號采樣終點時刻的相位差為

4 仿真分析

4.1 基于全相位FFT的準同期并列參數(shù)測量流程

(1) 確定合適的信號采樣頻率，并根據(jù)采樣頻率設定信號截斷長度(2-1)接近4個額定工頻周期；生成點Hanning窗，之后計算其2-1點自卷積窗；

(2) 用采樣頻率s對發(fā)電機電壓和電網(wǎng)電壓連續(xù)采樣形成兩個電壓采樣序列g()，s()；

(3) 當前采樣點數(shù)大于2-1后，從當前采樣序列g()中取最新采樣點開始向前的連續(xù)2-1個采樣點構(gòu)成序列g1()，并將數(shù)據(jù)窗口前移1個間隔再取構(gòu)成序列g2()，對g1()、g2()進行Hanning窗雙窗apFFT，在20~80 Hz之間搜索幅值最大譜線，根據(jù)文中相位差校正法計算發(fā)電機電壓的頻率、幅值、相位參數(shù)；

(4) 根據(jù)(3)中同樣的方法對計算電網(wǎng)電壓的頻率、幅值、相位參數(shù)；

(5) 計算發(fā)電機電壓與系統(tǒng)電壓的頻率差、幅值差及相角差，并判斷是否滿足相位差、頻率差和幅值差并列條件；進一步計算滑差、滑差變化率、恒定越前時間，以捕捉同期點，并進行并列控制。

仿真中，采樣頻率選取為1 600 Hz，Hanning窗長度取64，卷積窗長度為127，信號采樣長度為127，近似為4個額定工頻周期。

4.2 頻率波動對測量結(jié)果的影響

發(fā)電機并列操作時，發(fā)電機側(cè)電壓頻率會在較大范圍內(nèi)發(fā)生波動，因此要求算法也能在較大頻率范圍內(nèi)獲得較高精度。設電壓信號仿真模型時域表達式為

設置頻率0變化范圍分別為40~60 Hz、48~52 Hz，其余參量保持不變，算法頻率、相位、幅值計算結(jié)果誤差如圖3所示，為對比起見，圖3中也給出了文獻[2]中算法的誤差曲線。

從圖3 可以看出，在頻率偏離50 Hz較多時，采樣不同步程度較大，文獻[2]的算法誤差較大，這是因為Bartlett窗旁瓣峰值較高(-30 dB)，對負頻分量產(chǎn)生的長程譜泄露抑制作用有限；而本文算法由于hanning卷積窗旁瓣峰值低，抑制泄露能力強，保持了較高精度，在40~60 Hz的頻率范圍內(nèi)，其頻率誤差小于0.03 Hz，幅值誤差小于0.06%，相位誤差小于0.004o。在48~52 Hz之間時[2](并列裝置投入運行時，發(fā)電機機端電壓頻率一般處于48~52 Hz之間[2])，兩種算法計算精度均較高，其中本文算法頻率誤差小于0.000?5 Hz、幅值誤差小于0.000?4?%、相位誤差小于0.000?2o，一般仍優(yōu)于文獻[2]的算法。

圖 3 頻率變化對測量結(jié)果的影響

4.3 諧波對測量結(jié)果的影響

由于非同步采樣產(chǎn)生的頻譜泄露，諧波會對基波的計算結(jié)果產(chǎn)生影響，諧波含量大小直接影響到準同期參量的測量結(jié)果，考慮到電力系統(tǒng)對電能質(zhì)量的要求，一般并網(wǎng)發(fā)電機要滿足諧波要求[20]，因此設置2~5次諧波注入比例分別占基波0.5%、5%、0.5%和5%，忽略更高次諧波的影響，當基波頻率范圍為40~60 Hz，基于本文方法的準同期參量測量結(jié)果如圖4 所示。

由圖4可知，在考慮諧波的情況下，本文算法計算準同期參量仍然保持了較高精度，且一般仍優(yōu)于文獻[2]中的算法。在40~60 Hz的頻率范圍內(nèi)，本文算法頻率誤差小于0.03 Hz，幅值誤差小于0.05%，相位誤差小于0.04o；在48~52 Hz時，本文算法計算結(jié)果頻率誤差小于0.0005 Hz、幅值誤差小于0.0004%、相位誤差小于0.0006o。測量精度與不考慮諧波時的精度基本相當，表明了算法良好的泄露抑制能力。由此可見，本文算法能有效克服諧波對測量結(jié)果精度的影響。

4.4 噪聲對測量結(jié)果的影響

準同期參量測量現(xiàn)場不可避免的會存在著各種各樣的環(huán)境噪聲，為分析噪聲對準同期參量計算結(jié)果的影響，對4.3節(jié)中的諧波信號模型加入信噪比為30~100 dB的高斯白噪聲，基波頻率為48~52 Hz 時，對準同期參量進行仿真計算，其結(jié)果見圖5。

圖 5 白噪聲對測量結(jié)果的影響

從圖5中可以看出，噪聲對測量結(jié)果有一定影響，當信噪比小于40 dB時，誤差較大，隨著信噪比的增大，誤差逐漸減小，當信噪比大于60 dB時，頻率、幅值、相位測量誤差分別小于0.002 Hz、0.02%、0.01o，能較準確測量準同期并列參量。當然在實際應用中采用一定的軟硬件抗噪聲措施、選擇低噪聲的元器件有利于提高參數(shù)測量精度。

4.5 非穩(wěn)態(tài)信號模型的仿真分析

發(fā)電機并列操作時，機端電壓幅值及頻率均會在較大范圍內(nèi)發(fā)生波動，其電壓信號嚴格意義上來說是一個非穩(wěn)態(tài)信號，當發(fā)電機電壓信號為非穩(wěn)態(tài)信號時，對本文方法精度的影響效果如何是必須考慮的問題。設并列操作時，發(fā)電機機端電壓信號為

式中：=95+，即電壓幅值從95 V開始以1 V/s的速度上升，為時間(單位為s)；G=45+，即頻率從45 Hz 開始以1 Hz/s的速度上升。圖6為1~10 s時間段內(nèi)，運用本文方法的電壓頻率、相位以及幅值測量結(jié)果。

圖6 非穩(wěn)態(tài)信號時的測量結(jié)果

Fig. 6 Quasi synchronization parameter measurement results for non-stationary signal

由圖6可知，當電壓信號為非穩(wěn)態(tài)信號時，準同期參量計算精度會有一定程度的下降，這主要有兩個方面的原因：

(1) 發(fā)電機頻率偏離50 Hz導致不能同步采樣；

(2) 發(fā)電機頻率和幅值不斷變化, 信號不是嚴格的周期信號。

Hanning雙窗apFFT具有優(yōu)良的頻譜泄露抑制能力，原因1引起的誤差很小，因此原因2是產(chǎn)生誤差的主要因素。但從仿真結(jié)果看，在文中仿真模型下，算法頻率誤差小于0.002 Hz、幅值誤差小于0.008%、相位誤差小于0.02o，仍能較準確地實現(xiàn)準同期參數(shù)的測量。如果發(fā)電機幅值、頻率變化速率較小，原因 2 對計算結(jié)果精度的影響還會進一步減弱。

5 結(jié)論

(1) 雙窗全相位FFT與基于二階卷積窗的常規(guī)FFT具有相同的幅度譜表達式，不過二者離散化譜線的頻率間隔不同；另外二者均具有優(yōu)良的頻譜泄露抑制能力，尤其在接近同步采樣的情況下泄露抑制能力更為突出；全相位FFT在計算速度上具有優(yōu)勢，更適合對算法實時性要求較高的應用。

(2) 提出的基于全相位FFT改進相位差法的發(fā)電機準同期并列參量測量方法，基波頻率和幅值計算公式簡單，計算量小，實現(xiàn)方便。該方法能較好的克服頻率波動、諧波、噪聲等情況的影響，實現(xiàn)并列雙方電壓參數(shù)的高精度測量，即使在非穩(wěn)態(tài)信號情況下，算法也能達到較高精度，而且算法不要求對信號同步采樣，硬件要求低，且計算量小。

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(編輯 姜新麗)

Generator quasi synchronization parameter measurement method based on improved phase difference method of all-phase fast Flourier transform

ZHANG Hongbo1, CAI Xiaofeng2, LU Gaifeng1

(1.School of Electric Power, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450011, China;2. School of Mechanical Engineering, Henan University of Engineering, Xinzheng 451191, China)

It is the key task for automatic quasi synchronization parallel operation to estimatethe parameters of both generator voltage and power system voltage rapidly and precisely. However, due to the difference between the two voltage frequencies, it is difficult to perform the synchronous sampling of the two voltage signals simultaneously, so when measuring the parameter based on fast Flourier transform (FFT for short), the measurement result will have a great error because of spectrum leakage. Torestrain the spectrum leakage and improve the accuracy, the technology of all-phase spectrum analysis is introduced. The difference and connection between all-phase FFT (apFFT for short) and traditional convolution-window FFT is analyzed and the advantage of apFFT is pointed out. Based on it, the generator quasi synchronization parameter measurement method based on double-window apFFT is presented. To meet the needs of quasi synchronization parameter measurement better, the common apFFT phase-difference spectrum correction method is improved and a concise calculation method for fundamental frequency and amplitude is proposed. Simulation verify the excellent performance of the proposed method, which can overcome the impact of frequency fluctuation, harmonic, noise, non-stationary change and realize rapid and accurate parameter measurement of the two voltage signals of quasi synchronization.

quasi synchronization; all-phase; FFT; window functions;spectrum correction

10.7667/PSPC150692

2015-04-24；

2015-08-19

張鴻博(1980-)，男，碩士，講師，從事電力系統(tǒng)自動裝置方面的研究工作；Email: zhhbncwu@163.com

蔡曉峰(1981-)，女，講師，從事電力系統(tǒng)監(jiān)控方面的研究工作；Email: cxfzjy@126.com

魯改鳳(1965-)，女，本科，教授，從事電力系統(tǒng)繼電保護的方面的研究工作。