郭　磊， 張春紅， 胡　鋼

(1電子科技大學 中山學院， 廣東 中山 528402； 2西安理工大學 理學院， 陜西 西安 710048)

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基于CE-Bézier曲面的拖拉機造型設計

郭磊1， 張春紅1， 胡鋼2

(1電子科技大學 中山學院， 廣東 中山 528402； 2西安理工大學 理學院， 陜西 西安 710048)

摘要：【目的】用多張含有形狀參數(shù)的CE-Bézier曲面光滑拼接進行拖拉機造型曲面的表示,解決拖拉機造型設計中復雜曲面無法用單一曲面進行描述的問題?！痉椒ā繕嫿ǘ鄰圕E-Bézier曲面，對這些曲面進行光滑拼接，并在調(diào)整各曲面公共邊界的位置及其形狀參數(shù)的情況下，形成不同的拖拉機造型方案?！窘Y(jié)果】快速得到多個拖拉機機身造型方案。【結(jié)論】該方法高效、易于操作，具有良好的應用前景。

關鍵詞：CE-Bézier曲面； 拖拉機； 造型設計； CAD

隨著時代的發(fā)展，用戶對產(chǎn)品的關注不再只停留于產(chǎn)品的性能和結(jié)構方面，優(yōu)秀的造型設計也成為用戶購買產(chǎn)品的重要指標，農(nóng)業(yè)機械產(chǎn)品也不例外。作為農(nóng)業(yè)機械的重要組成部分，拖拉機在我國農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化和機械化進程中有著重要的意義。自拖拉機發(fā)明以來，其造型經(jīng)歷了長方體型、曲長方體型、梯形體型和曲梯形體型4個階段[1]，可以看出，隨著人們物質(zhì)文化生活水平提高，審美情趣也在發(fā)生改變，對農(nóng)機產(chǎn)品的造型要求也越來越高[2]。早期拖拉機造型設計中，設計師多從人機工程角度入手，更多考慮用戶在操作拖拉機時的生理協(xié)調(diào)性與舒適性等方面[3]。隨著時代發(fā)展，在拖拉機產(chǎn)品功能嚴重同質(zhì)化的情況下，用戶心理方面的因素成為設計師研究的重要內(nèi)容，這就要求對農(nóng)機具的造型展開研究[4]。我國大多數(shù)農(nóng)機具生產(chǎn)企業(yè)仍以功能作為產(chǎn)品開發(fā)的唯一目標，導致農(nóng)機產(chǎn)品的附加值非常低，無法為企業(yè)帶來更大的利益，這嚴重影響了農(nóng)機產(chǎn)品的發(fā)展。目前國際上拖拉機的造型設計正向著系列化、大型化、個性化的方向發(fā)展，總體配置緊湊、整體線條流暢、機罩等覆蓋件平整光滑、造型美觀等都成為評價一輛拖拉機設計是否優(yōu)秀的重要標準[5]。無論從安全還是美觀角度，當前拖拉機的設計中，機體整體基本上由機罩包覆，連以往較為常用的外露照明燈也改為隱藏在機罩內(nèi)，因此機罩成為了拖拉機造型設計中的重點對象。

從造型設計的角度而言，拖拉機機身可以看做是由若干組曲面拼接而成，且每組曲面需光滑拼接形成完整一體的效果。通常在拖拉機概念設計階段，設計師會通過制作三維數(shù)字模型和真實油泥模型的方式，對機身曲面進行非常細致的調(diào)整。在計算機輔助設計系統(tǒng)中，傳統(tǒng)Bézier曲線是最早應用于造型設計的工具之一，其具有直觀、結(jié)構簡單、對稱、凸包性等優(yōu)秀屬性。然而，傳統(tǒng)Bézier曲線的形狀僅能依據(jù)其控制頂點唯一確定，非均勻有理B樣條(NURBS)曲線逐步取代了傳統(tǒng)Bézier曲線成為目前設計師使用最廣的、用于描述產(chǎn)品造型的數(shù)學工具。NURBS是一種專門為計算機三維建模建立的數(shù)學描述，可以生成復雜的三維曲線曲面，在工業(yè)界使用廣泛。但由于NURBS本身將有理式引入了參數(shù)曲線，其計算復雜、求積分不方便、求導次數(shù)增加等特點又導致其運算量巨大，遠遠超過代數(shù)多項式，且對于一些復雜拓撲結(jié)構的形態(tài)編輯困難，伴隨著CAGD領域中大量新的數(shù)學工具出現(xiàn)，圖形學領域的學者們提出了帶參Bézier[6]、C-Bézier[7- 8]、q-Bézier[9]、擬三次Bézier[10]及H-Bézier[11-12]、T-Bézier[13]等各種數(shù)學工具。本文以拖拉機造型中最具代表性的機罩為例，提出一種基于CE-Bézier曲面光滑連續(xù)拼接的拖拉機造型的設計方法，以期快速產(chǎn)生不同的曲面拼接方式，從而獲得大量機罩造型方案。

1拖拉機機罩造型分析

從造型角度分析，由于車輪在拖拉機整體視覺效果上占據(jù)較大比例，且屬于拖拉機整體造型中的不可變因素，因此在拖拉機機身上的機罩(發(fā)動機罩殼)和后輪擋泥板等覆蓋件則成為最能體現(xiàn)拖拉機整體造型的部分。以拖拉機機罩造型為例，機罩既可視為一個獨立的曲面，又可看做是由多張復雜曲面光滑拼接而成的曲面組，而每張復雜曲面又可以理解為由多個簡單曲面拼接組合而成。在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，不同的曲面部件單獨加工，然后通過裝配形成完整的機罩部件。

本文采用CE-Bézier曲面描述拖拉機機罩上的各組曲面或組成復雜曲面的單張曲面片，通過拖拉機機罩曲面組的光滑拼接，將多個單張CE-Bézier曲面組合形成完整的機罩曲面，最后還可以結(jié)合文獻[14]中的方法，將照明燈、散熱孔等位置的形狀通過投影裁剪的方式生成，最終獲得完整的機罩造型方案。該方法基于CE-Bézier曲面及其拼接技術，可以通過調(diào)整曲面的形狀參數(shù)迅速編輯修改機罩曲面形狀和光滑拼接形式，從而快速獲得大量拖拉機機罩的造型方案。

2CE-Bézier曲面

本文采用的CE-Bézier曲面不但具有傳統(tǒng)Bézier曲面的變差縮減性、凸包性和仿射不變性等幾何性質(zhì)，且由于其屬于代數(shù)多項式曲面，其運算量也遠遠低于其他數(shù)學工具，最重要的是其具有優(yōu)良的形狀可調(diào)性。

2.1CE-Bézier曲面的定義

CE-Bézier曲面由CE-Bézier曲線構建而成，首先需要對CE-Bézier曲線進行定義。給定4個控制頂點Pi∈Rn(n=2,3;i=0,1,2,3)，對t∈[0,1]定義曲線:

(1)

式中所定義的三次多項式曲線即為含有形狀參數(shù)α,ω的3次擴展 Bézier 曲線，簡稱為CE-Bézier曲線[10]。式中，三次多項式基函數(shù)bi,3(t)(i=0,1,2,3)的定義如下:

(2)

式中，α,ω∈[-2,1]，稱為形狀形狀控制參數(shù)，用以控制曲線線形的細微變化。當α=ω=1時，公式(1)便退化為傳統(tǒng)的三次Bézier曲線。

給定4×4個控制網(wǎng)格頂點Pi,j(i,j=0,1, 2,3)，則CE-Bézier曲線對應的張量積曲面為：

(3)

即[0,1]×[0,1]上的CE-Bézier曲面，式(3)中，α,ω,β,μ∈[-2,1]，bi,3(u)，bi,3(v)則為式(2)中所定義的基函數(shù)。

2.2CE-Bézier曲面的 G1連續(xù)拼接條件

在產(chǎn)品造型設計中，曲面的光滑性是曲面質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標。優(yōu)秀的曲線曲面不僅能夠使人產(chǎn)生舒適的視覺效果，在實際加工中對于零部件的成型也具有重要作用，因此有必要對曲線曲面的光滑拼接進行分析。實際工程中難以用1張單獨的CE-Bézier曲面來表示復雜產(chǎn)品，這就需要采用拼接多張曲面的方法來解決。而且，在制造工程中，曲面間的拼接需達到G1連續(xù)才能達到工程制造要求，即需拼接的2張曲面在公共邊界處應具有相同的切平面或曲面法線[15-16]。

本文以2張CE-Bézier曲面拼接為例進行闡述。假設需進行拼接的2張CE-Bézier曲面分別為S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)與T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)，兩曲面的控制網(wǎng)格頂點分別為si,j(i,j=0,1,2,3)和ti,j(i,j=0,1,2,3)，由于CE-Bézier曲面具有u、v 2個方向，因此2張CE-Bézier曲面存在3種方式的拼接：即u-u方向拼接、u-v方向拼接以及v-v方向拼接。本文以u-u方向為例進行闡述。

當2張相鄰的CE-Bézier曲面S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)與T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)滿足以下條件且同時成立時:

此時S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)與T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)在公共邊界處達到u-u方向的G1連續(xù)拼接。式中，f為大于0的常數(shù)。

兩曲面在u-v方向以及v-v方向G1連續(xù)拼接條件可同理推出。

2.3 CE-Bézier曲面的拼接步驟

以CE-Bézier曲面u-u方向的G1拼接為例進行拼接步驟的說明，另外2種方向的拼接方式可同理推出。2張CE-Bézier曲面u方向與u方向G1連續(xù)拼接的步驟如下:

步驟1:任意給定一個初始曲面S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)的各形狀參數(shù)α1,ω1,β1,μ1和控制網(wǎng)格頂點si,j。

步驟2: 令t0,0=s0,3及t3,0=s3,3，任意給定形狀參數(shù)α2和ω2，并根據(jù)(4)式中第3與第4等式計算得出t1,0和t2,0，此時曲面S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)與T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)擁有一條相同的公共邊界。

步驟3：任意給定形狀參數(shù)β2和常數(shù)f>0，然后在步驟2的基礎上根據(jù)(4)式第5至第8等式分別計算出曲面T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)的第2排控制網(wǎng)格頂點t0,1，t1,1，t2,1和t3,1。

步驟4：任意給定曲面T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)的剩余2排控制網(wǎng)格頂點ti,2和ti,3(i=0,1,2,3)，形狀參數(shù)可任意給出，此時，曲面S(u,v;α1,ω1,β1,μ1)與T(u,v;α2,ω2,β2,μ2)已在公共邊界處實現(xiàn)G1連續(xù)光滑拼接。

在曲面較為復雜的產(chǎn)品造型中，2張曲面的拼接一般無法達到要求，這時，可以反復利用上述步驟進行多張CE-Bézier曲面的光滑拼接。圖1中2張曲面邊界處曲面的銜接變化過程和結(jié)果可以看出，2張CE-Bézier曲面在公共邊界處獲得了光滑的過渡效果。

圖1　CE-Bézier曲面的G1光滑拼接

另外，由于2張CE-Bézier曲面的形狀參數(shù)α,ω,β,μ均可任意修改，可在不影響拼接曲面光滑程度的情況下微調(diào)曲面形狀，十分方便。

通過上述多張CE-Bézier曲面的光滑拼接方式可以看出，進行復雜曲面設計時，設計師可以自由定義初始曲面的形狀、多張CE-Bézier曲面拼接時的邊界曲線形狀與位置，還可以通過改變各曲面形狀參數(shù)快速獲得不同的曲面起伏和拼接結(jié)果。因此基于多張CE-Bézier曲面光滑拼接的設計方法具有運算速度快、便于調(diào)節(jié)形狀、能生成大量方案等優(yōu)點，適合進行各種以曲面為主的產(chǎn)品造型設計。

3拖拉機機罩曲面的拼接實例

作為一種典型的農(nóng)用機械，拖拉機需適用于不同的使用環(huán)境，不同的環(huán)境中拖拉機的造型也應有所不同，如在旱地環(huán)境中，粘土與沙土土壤要求拖拉機機身各部分的比例不盡相同。平原、山區(qū)等環(huán)境下拖拉機機身的造型也應有所區(qū)別，如輪式和履帶式拖拉機因其重心較高大多為曲梯形體型設計，較高的駕駛室還可以保證操作者有寬闊的視野，而2種拖拉機的整體比例又不盡相同；扶手拖拉機則更適合曲長方體型和流線形設計。另外，在造型設計中一方面要使機身色彩與環(huán)境協(xié)調(diào)；一方面要考慮通過美觀的拖拉機造型減少操作者的生理、心理疲勞；還要考慮在機身造型上采用大曲面、小曲面等不同的組合方式構成拖拉機整體造型。拖拉機機身可以視為由多張曲面在不同方向拼接而成的復雜曲面，各曲面不同的拼接方式形成了機身的光滑表面或功能線、結(jié)構線和裝飾線等，如散熱罩和排氣口處的功能線、形成拖拉機輪廓的結(jié)構線和裝飾線。本文闡述的類型涵蓋各曲面的拼接方式。以拖拉機機罩造型為例，圖2為某拖拉機機罩的原始造型，可以看出右側(cè)部分的復雜曲面造型較為簡單，改良空間較大。

圖2　原始機罩曲面

圖3示意了機罩側(cè)面利用2張或多張CE-Bézier曲面進行拼接的基本策略，通過調(diào)整公共邊界曲線位置和參數(shù)，可以獲得不同的曲面拼接效果，從而獲得大量的機罩造型方案，該操作十分便捷，最終拖拉機機罩造型的多種方案結(jié)果如圖4所示。

圖3　曲面的拼接及方案

圖4　機罩造型方案

4結(jié)論

與現(xiàn)有CAD系統(tǒng)中的曲面造型工具相比，通過調(diào)整CE-Bézier曲面的控制頂點及邊界曲線位置與形狀參數(shù)，可迅速獲得大量不同曲面拼接效果，從而得到較多不同風格的拖拉機造型方案。對于拖拉機工業(yè)而言，這種方法可以提升拖拉機的造型設計能力，降低開發(fā)時間成本，且該方法還適用于以曲面為主的各類工業(yè)產(chǎn)品設計，具有很強的可拓展性，能進一步提升設計師的工作效率，具有較好的市場應用前景。

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【責任編輯霍歡】

Tractor form design based on CE-Bézier surfaces

GUO Lei1, ZHANG Chunhong1, HU Gang2

(1 Zhongshan Institute，University of Electronic and Technology，Zhongshan 528402，China；2 School of Sciences， Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China)

Abstract：【Objective】CE-Bézier surfaces with multiple shape parameters were blended to generate the tractor form surface, so as to solve the problem that complex surfaces could not be described by using one single surface in tractor form design.【Method】A group of CE-Bézier surfaces were constructed and blended. Based on this, different tractor shapes were designed by adjusting the surface boundary positions and the shape parameters.【Result】Multiple design solutions of tractor body shape were obtained quickly. 【Conclusion】This method is efficient, convenient, and can be widely used in modern design area.

Key words：CE-Bézier surface; tractor; form design; CAD

中圖分類號：S219.09;TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1001- 411X(2016)04- 0112 - 05