楊吉新,周興宇,劉前瑞

(1.武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢　430063; 2.中國市政工程中南設計研究總院有限公司，浙江 杭州　310009)

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基于改進高斯-牛頓迭代法的吊桿參數(shù)識別

楊吉新1,周興宇1,劉前瑞2

(1.武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢430063; 2.中國市政工程中南設計研究總院有限公司，浙江 杭州310009)

摘要：文章針對目前振動頻率法在系桿拱橋吊桿索力測試中存在的不足，依據(jù)吊桿兩端簡支并考慮其抗彎剛度的模型，以計算長度、抗彎剛度、吊桿索力為參數(shù)進行參數(shù)靈敏度分析，利用改進的高斯-牛頓迭代法對抗彎剛度及計算長度進行迭代識別，以梅山南路橋施工監(jiān)控為背景，將識別得到的吊桿索力值與有限元模型計算所得的理論值比較。結果表明，該迭代算法在吊桿參數(shù)識別中收斂速度快、精度高，修正了由于簡化復雜邊界條件給兩端簡支模型帶來的誤差，滿足系桿拱橋在施工和運營期間索力測試的精度要求。

關鍵詞：吊桿；靈敏度；迭代法；參數(shù)識別

0引言

吊桿是鋼管混凝土系桿拱橋重要的傳力構件,工程中常用的吊桿索力測定方法主要有千斤頂法、壓力傳感器法和振動頻率法[1]。

千斤頂法適用于張拉過程中的索力測量,其值可通過油壓表讀數(shù)經過標定公式換算得到;壓力傳感器法須在錨墊板下安裝壓力環(huán),且不可拆卸,因而費用較為昂貴;振動頻率法所采用設備體積小、測量過程簡單及頻率測量精度高,可以對已張拉完成的吊桿進行復測[2]。

因而,振動頻率法在目前工程實踐中得到廣泛應用。在鋼管混凝土拱橋中,吊桿邊界條件比較復雜,選取不同的簡化模型利用振動頻率法將得到不同的索力值。

文獻[3]假設理想的弦兩端固定,不計吊桿的抗彎剛度,則關系式為

(1)

其中,T為吊桿索力;m為吊桿單位長度質量;fn為振動頻率,n為振動階次;l為吊桿計算長度。

文獻[4]基于(1)式,并計入抗彎剛度得到關系式為

(2)

其中,EI為吊桿的抗彎剛度。

文獻[5]將吊桿兩端的邊界條件視為固結,同時考慮吊桿抗彎剛度的影響,得到一個超越方程,利用數(shù)值分析擬合出經驗公式。文獻[6]考慮復雜邊界條件,如減震器的影響等,通過理論分析得到同時包含頻率、索力的隱式表達式。

實際工程中,上述4種算法均存在不足之處。第1種方法未考慮抗彎剛度的影響,當?shù)鯒U振動階次較高時,計算所得的索力存在較大的誤差[7];第2、第3種方法雖然考慮抗彎剛度的影響,但由于吊桿中鋼絲之間結合程度未知,在實際工程中很難得到抗彎剛度的準確數(shù)值[8];第4種方法全面地考慮吊桿邊界條件,但其包含邊界條件較多,對各影響邊界條件的參數(shù)精度要求較高。

筆者在六安市梅山南路橋施工監(jiān)控期間發(fā)現(xiàn),由于吊桿安裝過程中會存在一定的位置偏差,導致張拉過后,吊桿會偏向預埋件邊緣而擠壓減震器,因而,無法確定減震器各項實際參數(shù)。

鑒于上述原因,結合實際監(jiān)控項目,若要利用振動頻率法準確測得吊桿索力,必須找到對實測頻率影響較大的參數(shù),然后對其進行有效地識別,從而提高實際測試精度。

1吊桿參數(shù)靈敏度分析

1.1吊桿靈敏度分析方法

考慮吊桿的抗彎剛度,由結構動力學基本原理,建立吊桿自由振動方程[9]為

其中,y(x,t)為吊桿在橫向振動的位移。

該式求解復雜,根據(jù)文獻[10]得到

(4)

根據(jù)(4)式進行靈敏度分析,討論吊桿固有頻率對各參數(shù)的靈敏程度。

(4)式可簡單地表示為

(5)

對于(5)式這類顯式表達式,可對其求導得到各參數(shù)靈敏度表達式,即

(6)

其中,i取值為1,2,3。

對(4)式求導,可以得到fn對T、EI、l的靈敏度表達式,即

(7)

1.2吊桿參數(shù)靈敏度分析工程實例

六安市梅山南路橋是一座斜靠式鋼管混凝土拱橋,其計算跨徑為92 m,橋面寬為51 m。全橋共有60根吊桿,其中主拱、斜拱分別設置15對吊桿,吊桿順橋向間距均為5 m,具體布置如圖1所示,該橋吊桿共分2次張拉。

圖1　梅山南路橋主拱吊桿布置圖

選取8根長度不同的吊桿,分別命名為S1～S8,結合S7進行靈敏度分析。

經計算，其吊桿第1次張拉力為1 434 kN,單位長度質量為35.28 kg/m,抗彎剛度為273.7 kN·m2(取同等直徑下鋼柱的抗彎剛度),吊桿兩端錨墊板之間的距離為21.647 m。將相關數(shù)據(jù)代入(4)、(7)式,結果如圖2、圖3、圖4所示。

圖2　頻率階次對吊桿索力的靈敏度

圖3　頻率階次對吊桿抗彎剛度的靈敏度

圖4　頻率階次對吊桿長度的靈敏度

由圖2、圖3、圖4可以看出:

(1) 當固有頻率的階數(shù)比較低時,頻率對吊桿索力的靈敏度隨階數(shù)的增加而增加,當固有頻率的階數(shù)較高時,其靈敏度值隨階數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定。

(2) 頻率對吊桿抗彎剛度的靈敏度隨著頻率階數(shù)的增加而增加。此外,當階數(shù)較高時,其靈敏度值增加更迅速,表明利用頻率法間接測量索力時,若主振動頻率的階數(shù)較高時,抗彎剛度對索力的貢獻將會變大。

(3) 頻率對吊桿長度的靈敏度隨著頻率階數(shù)的增加而增加,但其靈敏度值為負,當階數(shù)較高時,其值增加更迅速,吊桿的計算長度對吊桿索力的影響也就越大。

(4) 對于索力,頻率對吊桿抗彎剛度以及吊桿長度的靈敏度較高。同一振動階次時,頻率對吊桿長度的靈敏度最大。鑒于此,為保證測量精度,有必要對吊桿抗彎剛度及吊桿長度這2個重要參數(shù)進行識別。

在2次張拉過程中,實際測得的頻率階次具有偶然性,這增加了參數(shù)識別的難度以及工作量。為解決這一問題,可利用改進高斯-牛頓迭代法進行計算。

2基于改進迭代法的吊桿參數(shù)識別原理

對于某根吊桿,單位長度質量為已知量,抗彎剛度、吊桿計算長度為待識別參數(shù),固有頻率為自變量,其值用動測儀測得,索力為因變量。則吊桿張力T與EI、 l、f之間的關系可用函數(shù)關系表示為

(8)

其中,f是單個變量,a=(a1,a2)=(EI, l)。

由動測儀讀數(shù)可以測得不同吊桿索力下的吊桿固有振動頻率f1、f2,由千斤頂油表讀數(shù)可以測得2次張拉過程中的張拉力T1、T2。根據(jù)2現(xiàn)場實際觀測值(fk,Tk)(k=1,2),可以利用迭代法識別出EI、l參數(shù)。改進的高斯-牛頓迭代法[11]迭代步驟如下:

(9)

(10)

(11)

由(11)式可以得到

(12)

(13)

(2) 求迭代矩陣,即

(14)

其中,n1為第1次張拉測得固有頻率對應的階數(shù)；n2為第2次張拉測得固有頻率對應的階數(shù)。

考慮到JTJ可能會出現(xiàn)病態(tài),即通過JTJ迭代可能會導致迭代過程無法收斂,現(xiàn)引入阻尼因子λ,求出JTJ+λI。

(15)

(3) 求εi,即

(16)

繼而根據(jù)(9)式算出ai值。

(5) 在迭代過程中,若發(fā)現(xiàn)εi值趨向于下降時,則適當減小阻尼因子λ值。反之,在迭代過程中若發(fā)現(xiàn)εi值趨向于上升時,則適當增加阻尼因子λ值。

結合梅山南路橋施工監(jiān)控中現(xiàn)場實測數(shù)據(jù),利用此法進行迭代計算,驗證此算法的可行性。

3改進的高斯-牛頓迭代法應用

梅山南路橋吊桿張拉分2次進行,采用JMM-268動測儀測得2次張拉時的吊桿振動頻率,并讀取千斤頂油壓表讀數(shù)。

選取3種不同長度的吊桿(S2、S6、S8),利用改進的高斯-牛頓迭代法算法對其進行參數(shù)識別。2次張拉過程中,各吊桿實測數(shù)據(jù)見表1所列。

表1　吊桿實測數(shù)據(jù)表

本例中,對S2,EI0取140 kN·m2,l0取10 m,λ取0.001。將各初始數(shù)據(jù)輸入到Mat lab,經過迭代后得到l、EI的識別值分別為11.148 m、190.9 kN·m2。S2、S6、S8各參數(shù)識別結果見表2所列。

表2　吊桿參數(shù)識別表

由表2可知,利用該算法可以在考慮測量誤差的情況下,準確地識別出利用(4)式計算系桿拱橋吊桿索力的吊桿計算長度及抗彎剛度。同時可發(fā)現(xiàn),利用此法計算時,隨著吊桿實際錨固長度的增加,吊桿計算長度逐漸接近于錨墊板之間的長度,即隨著吊桿長度的增加,邊界條件的變化對吊桿索力的測試影響越來越小。隨著吊桿長度的增加,所識別出來的抗彎剛度逐漸變小,表明抗彎剛度的影響越來越小。

在施工階段2次張拉過程中,分別對其中16根吊桿(由于主拱、斜拱均為對稱結構,吊桿也對稱布置,故全橋共有16根長度不同的吊桿)利用此法進行計算長度及抗彎剛度識別,將識別出的參數(shù)分別代入公式中,以便于在張拉完成之后成橋狀態(tài)下的索力測試工作。由于篇幅有限,本文僅列出半跨主拱共計8根吊桿的參數(shù)識別數(shù)據(jù)及實測索力等,結果見表3所列。

表3　各吊桿參數(shù)識別結果及實測索力

表3中,T為現(xiàn)場實測值,T0為成橋狀態(tài)下,即在第2次張拉完成、橋下落架之后的理論值,該值經過建立有限元模型計算所得。

由表3可以看出,根據(jù)實測吊桿振動頻率,利用此法得到的吊桿索力值與理論值誤差在±6%之內。鑒于該橋工況較多、工藝復雜且存在一定的測量誤差,可以認為其吻合度較好,能夠滿足工程精度要求。

4結論

針對目前振動頻率法在鋼管混凝土拱橋索力測試中存在的問題,本文對梅山南路橋吊桿進行參數(shù)靈敏度分析,然后利用改進的高斯-牛頓迭代法識別出吊桿計算長度及抗彎剛度的2個主要參數(shù)。

(1) 對于鋼管混凝土拱橋中的吊桿,固有振動頻率對吊桿計算長度最為敏感,抗彎剛度次之。在工程實踐中,為保證得到較為精確的索力值,需要對吊桿計算長度及抗彎剛度進行識別。

(2) 利用改進的高斯-牛頓迭代法進行吊桿參數(shù)識別,通過引入阻尼因子參數(shù),能夠有效地避免迭代過程中不收斂情況的發(fā)生,極大地提高迭代效率。同時,將迭代后識別出的抗彎剛度及吊桿計算長度,利用(4) 式計算得到的索力與理論值吻合較好,修正了由于公式未考慮吊桿兩端邊界條件的復雜情況所帶來的誤差。

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收稿日期：2016-04-05；修改日期：2016-04-12

基金項目：安徽省高校自然科學研究資助項目(KJ2016A448)

作者簡介：楊吉新(1964-)，男，湖南永州人，博士，武漢理工大學教授．

中圖分類號：U448.25

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5781(2016)02-0145-04