楊吉新,周興宇,劉前瑞

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢　430063; 2.中國(guó)市政工程中南設(shè)計(jì)研究總院有限公司，浙江 杭州　310009)

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基于改進(jìn)高斯-牛頓迭代法的吊桿參數(shù)識(shí)別

楊吉新1,周興宇1,劉前瑞2

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢430063; 2.中國(guó)市政工程中南設(shè)計(jì)研究總院有限公司，浙江 杭州310009)

摘要：文章針對(duì)目前振動(dòng)頻率法在系桿拱橋吊桿索力測(cè)試中存在的不足，依據(jù)吊桿兩端簡(jiǎn)支并考慮其抗彎剛度的模型，以計(jì)算長(zhǎng)度、抗彎剛度、吊桿索力為參數(shù)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，利用改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法對(duì)抗彎剛度及計(jì)算長(zhǎng)度進(jìn)行迭代識(shí)別，以梅山南路橋施工監(jiān)控為背景，將識(shí)別得到的吊桿索力值與有限元模型計(jì)算所得的理論值比較。結(jié)果表明，該迭代算法在吊桿參數(shù)識(shí)別中收斂速度快、精度高，修正了由于簡(jiǎn)化復(fù)雜邊界條件給兩端簡(jiǎn)支模型帶來(lái)的誤差，滿足系桿拱橋在施工和運(yùn)營(yíng)期間索力測(cè)試的精度要求。

關(guān)鍵詞：吊桿；靈敏度；迭代法；參數(shù)識(shí)別

0引言

吊桿是鋼管混凝土系桿拱橋重要的傳力構(gòu)件,工程中常用的吊桿索力測(cè)定方法主要有千斤頂法、壓力傳感器法和振動(dòng)頻率法[1]。

千斤頂法適用于張拉過(guò)程中的索力測(cè)量,其值可通過(guò)油壓表讀數(shù)經(jīng)過(guò)標(biāo)定公式換算得到;壓力傳感器法須在錨墊板下安裝壓力環(huán),且不可拆卸,因而費(fèi)用較為昂貴;振動(dòng)頻率法所采用設(shè)備體積小、測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單及頻率測(cè)量精度高,可以對(duì)已張拉完成的吊桿進(jìn)行復(fù)測(cè)[2]。

因而,振動(dòng)頻率法在目前工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。在鋼管混凝土拱橋中,吊桿邊界條件比較復(fù)雜,選取不同的簡(jiǎn)化模型利用振動(dòng)頻率法將得到不同的索力值。

文獻(xiàn)[3]假設(shè)理想的弦兩端固定,不計(jì)吊桿的抗彎剛度,則關(guān)系式為

(1)

其中,T為吊桿索力;m為吊桿單位長(zhǎng)度質(zhì)量;fn為振動(dòng)頻率,n為振動(dòng)階次;l為吊桿計(jì)算長(zhǎng)度。

文獻(xiàn)[4]基于(1)式,并計(jì)入抗彎剛度得到關(guān)系式為

(2)

其中,EI為吊桿的抗彎剛度。

文獻(xiàn)[5]將吊桿兩端的邊界條件視為固結(jié),同時(shí)考慮吊桿抗彎剛度的影響,得到一個(gè)超越方程,利用數(shù)值分析擬合出經(jīng)驗(yàn)公式。文獻(xiàn)[6]考慮復(fù)雜邊界條件,如減震器的影響等,通過(guò)理論分析得到同時(shí)包含頻率、索力的隱式表達(dá)式。

實(shí)際工程中,上述4種算法均存在不足之處。第1種方法未考慮抗彎剛度的影響,當(dāng)?shù)鯒U振動(dòng)階次較高時(shí),計(jì)算所得的索力存在較大的誤差[7];第2、第3種方法雖然考慮抗彎剛度的影響,但由于吊桿中鋼絲之間結(jié)合程度未知,在實(shí)際工程中很難得到抗彎剛度的準(zhǔn)確數(shù)值[8];第4種方法全面地考慮吊桿邊界條件,但其包含邊界條件較多,對(duì)各影響邊界條件的參數(shù)精度要求較高。

筆者在六安市梅山南路橋施工監(jiān)控期間發(fā)現(xiàn),由于吊桿安裝過(guò)程中會(huì)存在一定的位置偏差,導(dǎo)致張拉過(guò)后,吊桿會(huì)偏向預(yù)埋件邊緣而擠壓減震器,因而,無(wú)法確定減震器各項(xiàng)實(shí)際參數(shù)。

鑒于上述原因,結(jié)合實(shí)際監(jiān)控項(xiàng)目,若要利用振動(dòng)頻率法準(zhǔn)確測(cè)得吊桿索力,必須找到對(duì)實(shí)測(cè)頻率影響較大的參數(shù),然后對(duì)其進(jìn)行有效地識(shí)別,從而提高實(shí)際測(cè)試精度。

1吊桿參數(shù)靈敏度分析

1.1吊桿靈敏度分析方法

考慮吊桿的抗彎剛度,由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理,建立吊桿自由振動(dòng)方程[9]為

其中,y(x,t)為吊桿在橫向振動(dòng)的位移。

該式求解復(fù)雜,根據(jù)文獻(xiàn)[10]得到

(4)

根據(jù)(4)式進(jìn)行靈敏度分析,討論吊桿固有頻率對(duì)各參數(shù)的靈敏程度。

(4)式可簡(jiǎn)單地表示為

(5)

對(duì)于(5)式這類顯式表達(dá)式,可對(duì)其求導(dǎo)得到各參數(shù)靈敏度表達(dá)式,即

(6)

其中,i取值為1,2,3。

對(duì)(4)式求導(dǎo),可以得到fn對(duì)T、EI、l的靈敏度表達(dá)式,即

(7)

1.2吊桿參數(shù)靈敏度分析工程實(shí)例

六安市梅山南路橋是一座斜靠式鋼管混凝土拱橋,其計(jì)算跨徑為92 m,橋面寬為51 m。全橋共有60根吊桿,其中主拱、斜拱分別設(shè)置15對(duì)吊桿,吊桿順橋向間距均為5 m,具體布置如圖1所示,該橋吊桿共分2次張拉。

圖1　梅山南路橋主拱吊桿布置圖

選取8根長(zhǎng)度不同的吊桿,分別命名為S1～S8,結(jié)合S7進(jìn)行靈敏度分析。

經(jīng)計(jì)算，其吊桿第1次張拉力為1 434 kN,單位長(zhǎng)度質(zhì)量為35.28 kg/m,抗彎剛度為273.7 kN·m2(取同等直徑下鋼柱的抗彎剛度),吊桿兩端錨墊板之間的距離為21.647 m。將相關(guān)數(shù)據(jù)代入(4)、(7)式,結(jié)果如圖2、圖3、圖4所示。

圖2　頻率階次對(duì)吊桿索力的靈敏度

圖3　頻率階次對(duì)吊桿抗彎剛度的靈敏度

圖4　頻率階次對(duì)吊桿長(zhǎng)度的靈敏度

由圖2、圖3、圖4可以看出:

(1) 當(dāng)固有頻率的階數(shù)比較低時(shí),頻率對(duì)吊桿索力的靈敏度隨階數(shù)的增加而增加,當(dāng)固有頻率的階數(shù)較高時(shí),其靈敏度值隨階數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定。

(2) 頻率對(duì)吊桿抗彎剛度的靈敏度隨著頻率階數(shù)的增加而增加。此外,當(dāng)階數(shù)較高時(shí),其靈敏度值增加更迅速,表明利用頻率法間接測(cè)量索力時(shí),若主振動(dòng)頻率的階數(shù)較高時(shí),抗彎剛度對(duì)索力的貢獻(xiàn)將會(huì)變大。

(3) 頻率對(duì)吊桿長(zhǎng)度的靈敏度隨著頻率階數(shù)的增加而增加,但其靈敏度值為負(fù),當(dāng)階數(shù)較高時(shí),其值增加更迅速,吊桿的計(jì)算長(zhǎng)度對(duì)吊桿索力的影響也就越大。

(4) 對(duì)于索力,頻率對(duì)吊桿抗彎剛度以及吊桿長(zhǎng)度的靈敏度較高。同一振動(dòng)階次時(shí),頻率對(duì)吊桿長(zhǎng)度的靈敏度最大。鑒于此,為保證測(cè)量精度,有必要對(duì)吊桿抗彎剛度及吊桿長(zhǎng)度這2個(gè)重要參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。

在2次張拉過(guò)程中,實(shí)際測(cè)得的頻率階次具有偶然性,這增加了參數(shù)識(shí)別的難度以及工作量。為解決這一問(wèn)題,可利用改進(jìn)高斯-牛頓迭代法進(jìn)行計(jì)算。

2基于改進(jìn)迭代法的吊桿參數(shù)識(shí)別原理

對(duì)于某根吊桿,單位長(zhǎng)度質(zhì)量為已知量,抗彎剛度、吊桿計(jì)算長(zhǎng)度為待識(shí)別參數(shù),固有頻率為自變量,其值用動(dòng)測(cè)儀測(cè)得,索力為因變量。則吊桿張力T與EI、 l、f之間的關(guān)系可用函數(shù)關(guān)系表示為

(8)

其中,f是單個(gè)變量,a=(a1,a2)=(EI, l)。

由動(dòng)測(cè)儀讀數(shù)可以測(cè)得不同吊桿索力下的吊桿固有振動(dòng)頻率f1、f2,由千斤頂油表讀數(shù)可以測(cè)得2次張拉過(guò)程中的張拉力T1、T2。根據(jù)2現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際觀測(cè)值(fk,Tk)(k=1,2),可以利用迭代法識(shí)別出EI、l參數(shù)。改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法[11]迭代步驟如下:

(9)

(10)

(11)

由(11)式可以得到

(12)

(13)

(2) 求迭代矩陣,即

(14)

其中,n1為第1次張拉測(cè)得固有頻率對(duì)應(yīng)的階數(shù)；n2為第2次張拉測(cè)得固有頻率對(duì)應(yīng)的階數(shù)。

考慮到JTJ可能會(huì)出現(xiàn)病態(tài),即通過(guò)JTJ迭代可能會(huì)導(dǎo)致迭代過(guò)程無(wú)法收斂,現(xiàn)引入阻尼因子λ,求出JTJ+λI。

(15)

(3) 求εi,即

(16)

繼而根據(jù)(9)式算出ai值。

(5) 在迭代過(guò)程中,若發(fā)現(xiàn)εi值趨向于下降時(shí),則適當(dāng)減小阻尼因子λ值。反之,在迭代過(guò)程中若發(fā)現(xiàn)εi值趨向于上升時(shí),則適當(dāng)增加阻尼因子λ值。

結(jié)合梅山南路橋施工監(jiān)控中現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),利用此法進(jìn)行迭代計(jì)算,驗(yàn)證此算法的可行性。

3改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法應(yīng)用

梅山南路橋吊桿張拉分2次進(jìn)行,采用JMM-268動(dòng)測(cè)儀測(cè)得2次張拉時(shí)的吊桿振動(dòng)頻率,并讀取千斤頂油壓表讀數(shù)。

選取3種不同長(zhǎng)度的吊桿(S2、S6、S8),利用改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法算法對(duì)其進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。2次張拉過(guò)程中,各吊桿實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1所列。

表1　吊桿實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表

本例中,對(duì)S2,EI0取140 kN·m2,l0取10 m,λ取0.001。將各初始數(shù)據(jù)輸入到Mat lab,經(jīng)過(guò)迭代后得到l、EI的識(shí)別值分別為11.148 m、190.9 kN·m2。S2、S6、S8各參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表2所列。

表2　吊桿參數(shù)識(shí)別表

由表2可知,利用該算法可以在考慮測(cè)量誤差的情況下,準(zhǔn)確地識(shí)別出利用(4)式計(jì)算系桿拱橋吊桿索力的吊桿計(jì)算長(zhǎng)度及抗彎剛度。同時(shí)可發(fā)現(xiàn),利用此法計(jì)算時(shí),隨著吊桿實(shí)際錨固長(zhǎng)度的增加,吊桿計(jì)算長(zhǎng)度逐漸接近于錨墊板之間的長(zhǎng)度,即隨著吊桿長(zhǎng)度的增加,邊界條件的變化對(duì)吊桿索力的測(cè)試影響越來(lái)越小。隨著吊桿長(zhǎng)度的增加,所識(shí)別出來(lái)的抗彎剛度逐漸變小,表明抗彎剛度的影響越來(lái)越小。

在施工階段2次張拉過(guò)程中,分別對(duì)其中16根吊桿(由于主拱、斜拱均為對(duì)稱結(jié)構(gòu),吊桿也對(duì)稱布置,故全橋共有16根長(zhǎng)度不同的吊桿)利用此法進(jìn)行計(jì)算長(zhǎng)度及抗彎剛度識(shí)別,將識(shí)別出的參數(shù)分別代入公式中,以便于在張拉完成之后成橋狀態(tài)下的索力測(cè)試工作。由于篇幅有限,本文僅列出半跨主拱共計(jì)8根吊桿的參數(shù)識(shí)別數(shù)據(jù)及實(shí)測(cè)索力等,結(jié)果見(jiàn)表3所列。

表3　各吊桿參數(shù)識(shí)別結(jié)果及實(shí)測(cè)索力

表3中,T為現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值,T0為成橋狀態(tài)下,即在第2次張拉完成、橋下落架之后的理論值,該值經(jīng)過(guò)建立有限元模型計(jì)算所得。

由表3可以看出,根據(jù)實(shí)測(cè)吊桿振動(dòng)頻率,利用此法得到的吊桿索力值與理論值誤差在±6%之內(nèi)。鑒于該橋工況較多、工藝復(fù)雜且存在一定的測(cè)量誤差,可以認(rèn)為其吻合度較好,能夠滿足工程精度要求。

4結(jié)論

針對(duì)目前振動(dòng)頻率法在鋼管混凝土拱橋索力測(cè)試中存在的問(wèn)題,本文對(duì)梅山南路橋吊桿進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析,然后利用改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法識(shí)別出吊桿計(jì)算長(zhǎng)度及抗彎剛度的2個(gè)主要參數(shù)。

(1) 對(duì)于鋼管混凝土拱橋中的吊桿,固有振動(dòng)頻率對(duì)吊桿計(jì)算長(zhǎng)度最為敏感,抗彎剛度次之。在工程實(shí)踐中,為保證得到較為精確的索力值,需要對(duì)吊桿計(jì)算長(zhǎng)度及抗彎剛度進(jìn)行識(shí)別。

(2) 利用改進(jìn)的高斯-牛頓迭代法進(jìn)行吊桿參數(shù)識(shí)別,通過(guò)引入阻尼因子參數(shù),能夠有效地避免迭代過(guò)程中不收斂情況的發(fā)生,極大地提高迭代效率。同時(shí),將迭代后識(shí)別出的抗彎剛度及吊桿計(jì)算長(zhǎng)度,利用(4) 式計(jì)算得到的索力與理論值吻合較好,修正了由于公式未考慮吊桿兩端邊界條件的復(fù)雜情況所帶來(lái)的誤差。

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收稿日期：2016-04-05；修改日期：2016-04-12

基金項(xiàng)目：安徽省高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(KJ2016A448)

作者簡(jiǎn)介：楊吉新(1964-)，男，湖南永州人，博士，武漢理工大學(xué)教授．

中圖分類號(hào)：U448.25

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-5781(2016)02-0145-04