龔海晏，劉宏申，阮　越，劉　恒，潘　祥

(安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽馬鞍山 243002)

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Ambrosio-Tortorelli模型的相關(guān)改進(jìn)

龔海晏，劉宏申，阮越，劉恒，潘祥

(安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽馬鞍山 243002)

[摘要]Mumford-Shah(M-S)模型對(duì)于圖像分割有重要的研究意義，卻在實(shí)際使用中存在很大困難，故而產(chǎn)生了Ambrosio-Tortorelli(A-T)模型的近似方法。本文介紹了Ambrosio-Tortorelli模型泛函，以及其拐角效應(yīng)在圖像分割中的缺陷，針對(duì)此缺陷，改進(jìn)了其幾何項(xiàng)的橢圓逼近項(xiàng)，隨后對(duì)本文模型進(jìn)行離散化計(jì)算得到最終的分割迭代方程。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以證明本文方法的可行性。

[關(guān)鍵詞]圖像分割；Mumford-shah模型；Ambrosio-Tortorelli模型；拐角效應(yīng)

1989年，Mumford和Shah提出的圖像分割泛函M-S模型對(duì)于之后的能量泛函模型的研究具有重要的影響[1]，目前眾多的能量分割模型是基于此模型進(jìn)行研究和改進(jìn)的。1997年，Chan和Vese提出的C-V模型是對(duì)原始的M-S模型進(jìn)行的簡(jiǎn)化，且結(jié)合了水平集方法的基于區(qū)域的分割模型，該模型的提出在學(xué)術(shù)研究中一度成為研究的熱點(diǎn)，得到學(xué)者們的認(rèn)可[2]。Chan和Vese之所以對(duì)原始M-S模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，是由于原始M-S模型泛函的復(fù)雜性導(dǎo)致，對(duì)其弱形式表達(dá)的研究是完全有必要的，同時(shí)需要對(duì)弱化模型進(jìn)行近似逼近的研究。1990年，Ambrosio和Tortorelli通過(guò)橢圓函數(shù)進(jìn)行逼近得到A-T模型[3]，接著使用歐拉方程和有限差分法進(jìn)行求解。A-T模型對(duì)于圖像噪聲具有很好的抑制作用，同時(shí)可以很好地得到圖像的光滑和不連續(xù)點(diǎn)集的部分。雖然如此，該模型也存在著一些自身難以克服的缺點(diǎn)，如有梯度效應(yīng)(gradient effect)和拐角效應(yīng)(rounding effect)的問(wèn)題[4]。

拐角效應(yīng)是M-S模型中較明顯，且為學(xué)者熟知的一個(gè)缺點(diǎn)。該影響主要來(lái)源于M-S模型中控制幾何項(xiàng)的參數(shù)，隨著該參數(shù)的增大，會(huì)逼迫不連續(xù)點(diǎn)的長(zhǎng)度不斷縮小。Mumford和Shah表示通過(guò)歐拉-拉格朗日方程的計(jì)算，幾何項(xiàng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)控制不連續(xù)點(diǎn)集的曲率式。由此可見(jiàn)，在曲線長(zhǎng)度的最小化會(huì)受模型分割過(guò)程中曲線曲率的影響：曲率越大，對(duì)曲線長(zhǎng)度的縮短作用就越大，這樣便會(huì)導(dǎo)致拐角效應(yīng)，會(huì)對(duì)高曲率的曲線產(chǎn)生較大的影響。1997年，March和Dozio提出一個(gè)M-S的拓展模型，引進(jìn)一個(gè)新的項(xiàng)來(lái)控制不連續(xù)點(diǎn)曲線的曲率[5]。雖然新增的曲率項(xiàng)可以減少拐角效應(yīng)的影響，但是不能根本地去解決保護(hù)邊緣角弱化的問(wèn)題。2006年，Braides和March進(jìn)一步地對(duì)M-S模型進(jìn)行拓展[6]，除了長(zhǎng)度和不連續(xù)點(diǎn)集的曲率項(xiàng)外，另增加了一個(gè)控制曲線點(diǎn)數(shù)目的項(xiàng)，這樣會(huì)導(dǎo)致模型泛函的繁雜性，對(duì)其進(jìn)行求解增加了難度。該模型的主要目的是恢復(fù)角點(diǎn)和不連續(xù)點(diǎn)曲線的連接處，這樣可以避免原M-S泛函的幾何項(xiàng)對(duì)不連續(xù)點(diǎn)集的影響。

本文針對(duì)A-T模型中拐角效應(yīng)的影響進(jìn)行改進(jìn)。首先提出了模型對(duì)角點(diǎn)區(qū)域弱演化概念，從而降低模型對(duì)高曲率處的影響，同時(shí)能夠?qū)ζ溥M(jìn)行不錯(cuò)的分割；另對(duì)A-T模型中幾何項(xiàng)的橢圓式進(jìn)行改進(jìn)，在保證橢圓逼近的同時(shí)，能夠改善好曲率對(duì)角點(diǎn)處的影響。對(duì)橢圓式的修改主要是在歐拉-拉格朗日計(jì)算過(guò)程中避免產(chǎn)生曲率式。

1Ambrosio-Tortorelli模型

Ambrosio-Tortorelli模型是對(duì)Mumford-Shah模型的近似逼近。Mumford-Shah泛函是眾多著名的分割模型中比較著名的一個(gè)，它是由David Muford和Jayant Shah在1989年提出的。通過(guò)該泛函式可以將圖像分割的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為泛函極值的問(wèn)題，然后通過(guò)數(shù)學(xué)工具方法對(duì)該模型進(jìn)行最小化求解。

(1)

其中，C表示圖像g中不連續(xù)的點(diǎn)集，即圖像的邊界，C將圖像分割成許多的同質(zhì)區(qū)域，u為除了C之外的分段光滑的圖像。H1表示不連續(xù)點(diǎn)集的一維Haudorff度量，即圖像邊界的長(zhǎng)度。參數(shù)α和參數(shù)λ為權(quán)值。M-S泛函就是尋找最優(yōu)的(C0,u)，使得C成為真正的圖像邊界C0，并且滿(mǎn)足分割圖像u與輸入圖像g的誤差最小。第一項(xiàng)為保真項(xiàng)，保證分割圖像u接近輸入圖像g，以避免之間有較大的差距；第二項(xiàng)為平滑項(xiàng)，保證分割圖像u除了不連續(xù)點(diǎn)外都盡量保持平滑。第一項(xiàng)為約束項(xiàng)，保證邊界C長(zhǎng)度盡可能的短；第三項(xiàng)為幾何項(xiàng)，保證邊界長(zhǎng)度盡量的短。

對(duì)圖像分割問(wèn)題而言，C和u是未知的，且?guī)缀雾?xiàng)的復(fù)雜性，導(dǎo)致M-S泛函難求其解。故需要對(duì)其進(jìn)行弱化表達(dá)，在SBV空間基礎(chǔ)上的M-S模型的弱形式：

(2)

比較式(2)與式(1)有兩個(gè)不同點(diǎn)：一是后兩項(xiàng)積分區(qū)域一致了；二是幾何項(xiàng)由原來(lái)的長(zhǎng)度項(xiàng)換成了H1(Su)，它是集合的1維Hausdorff距離，該項(xiàng)把原來(lái)長(zhǎng)度的概念擴(kuò)展到非光滑的曲線，而且上式各項(xiàng)在處理中的約束作用沒(méi)有改變。但該模型的數(shù)值計(jì)算還是比較困難的，因?yàn)樾枰獙?duì)未知的邊緣長(zhǎng)度項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，無(wú)法由Euler-Lagrange方程獲得最小化解。

Ambrosio和Tortorelli為了克服該問(wèn)題，提出了使用一個(gè)輔助函數(shù)Mε(v)來(lái)逼近邊緣長(zhǎng)度項(xiàng)H1(Su)0,Mε(v)函數(shù)如下：

(3)

經(jīng)過(guò)上述近似處理后，Mumford-Shah模型變?yōu)椋?/p>

(4)

上述模型除了要求解分割圖像u外，與M-S模型不同之處是不再求解不連續(xù)邊緣C而是求解不連續(xù)的二維函數(shù)v了。這個(gè)v實(shí)際上就類(lèi)似于圖像g的邊緣圖像。本文稱(chēng)該模型為Ambrosio-Tortorelli模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為A-T模型。

2Ambrosio-Tortorelli模型的改進(jìn)

本文對(duì)A-T模型泛函的研究主要是針對(duì)橢圓逼近式(3)進(jìn)行修改。拐角效應(yīng)的現(xiàn)象可以從圖像的像素點(diǎn)值的變化方面理解，角點(diǎn)的弱化即像素點(diǎn)值的變化為0→1(255)。在保留Ambrosio-Tortorelli提出的橢圓逼近項(xiàng)的本質(zhì)Г-近似含義的情況下，對(duì)其進(jìn)行稍微的改進(jìn)，使其最后在角點(diǎn)邊界處產(chǎn)生的像素點(diǎn)值不是很大，這樣可以使模型很難產(chǎn)生拐角效應(yīng)，同時(shí)在求解歐拉方程的過(guò)程中，也不會(huì)產(chǎn)生絕對(duì)的曲率控制項(xiàng)，具體如式(5)所示：

(5)

這樣可以得到新的A-T模型：

(6)

然后，計(jì)算(6)的歐拉方程：

(7)

最后，使用與A-T模型同樣的離散化方法對(duì)(7)進(jìn)行離散。這樣便得到了改進(jìn)模型的迭代演化方程：

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

|.

(12)

以上對(duì)A-T模型的改進(jìn)雖然只是針對(duì)了幾何項(xiàng)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),對(duì)A-T模型的拐角效應(yīng)的缺陷的改善是比較明顯的。本文模型的改進(jìn)只是針對(duì)曲率較大的地方，而對(duì)于圖像的其它區(qū)域是沒(méi)有任何影響的，保持了原模型的分割特性。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出的模型對(duì)于原模型的缺陷是否有所改進(jìn)，對(duì)如圖1(a)分別使用原A-T模型、March-Dozio模型、本文提出的模型進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為64位win7下的VS2010。當(dāng)模型中參數(shù)α的值很大時(shí)，A-T模型的拐角效應(yīng)才會(huì)出現(xiàn)，本實(shí)驗(yàn)參數(shù)α和其它參數(shù)值的設(shè)置如表1所示。

表1　A-T模型參數(shù)設(shè)置

圖1(a)、(b)、(c)、(d)分別為實(shí)驗(yàn)256×256的實(shí)驗(yàn)圖像、A-T模型分割圖像、March-Dozio模型分割圖像、本文模型分割圖像。從圖1(b)可以明顯看出角點(diǎn)處的弱化現(xiàn)象，而March-Dozio模型雖然可以避免拐角效應(yīng)的產(chǎn)生，但角點(diǎn)處還是存在些點(diǎn)跡，且輪廓模糊。將圖1(d)與以上兩個(gè)模型分割對(duì)比可以看出，在角點(diǎn)和邊界有一定改進(jìn)。

圖1　模型分割實(shí)驗(yàn)對(duì)比

4結(jié)語(yǔ)

A-T模型對(duì)于圖像分割有一定的研究意義，對(duì)于普通圖像其分割速度和分割效果都是令人滿(mǎn)意的。本文針對(duì)該模型的拐角效應(yīng)的缺陷進(jìn)行改進(jìn)，主要在保證A-T模型泛函逼近M-S模型的同時(shí)，通過(guò)對(duì)模型泛函的橢圓逼近項(xiàng)的修改。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)可知，本文模型的分割圖像的角點(diǎn)處相對(duì)于原模型有明顯的進(jìn)步。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Mumford D,Shah J.Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problems [J].Communication on Pure and Applied. Mathmatics,1989,42(9):577-685.

[2]Chan T,Vese L.Active contour without edges[J].IEEE Transactions on Image Processing,2001,10(2):266-277.

[3]Ambrosio,L,Tortorelli,V.Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via C-convergence[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,1990,43(8):999-1036.

[4]Alfonso Vitti.The Mumford-Shah variational model for image segmentation: An overview of the theory,implementation and use[J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2012(69):50-69.

[5]March R,Dozio M.A variational method for the recovery of smooth boundaries[J].Image & Vision Computing,1997, 15(9):705-712.

[6]Braides,A.March,R.Approximation by C-convergence of a curvature depending functional in visual reconstruction[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2006,59(1):71-121.

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[8]Ambrosio,L,Tortorelli,V.On the approximation of free discontinuity problems[J].Bollettino dell Unione Matematica Italiana,1992(B6):105-123.

[9]Alfonso Vitti.The Mumford-Shah variational model for image segmentation:An overview of the theory,implementation and use[J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2012(69):50-69.

Ambrosio-Tortorelli Model Improvement of the Model

GONG Hai-yan, LIU Hong-shen, RUAN Yue, LIU Heng, PAN Xiang

(School of Computer Science and Technology, Anhui University of Technology, Ma’anshan Anhui 243002, China)

Abstract:Mumford-Shah(M-S) model for image segmentation has important research significance, but there is a big difficulty in the practical use, thus Ambrosio - Tortorelli model and the effect of the corner of the defects in the image segmentation have been introduced in this paper, aiming at the defects, we improve its geometric ellipse approximation of the item.Then discretization model in this paper calculates the final segmentation iterative equation.Through the experiment proves this method is feasible.

Key words:image segmentation; Mumford-shah model; Ambrosio-Tortorelli model; rounding effect

[收稿日期]2016-03-08

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目“不可靠無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中自適應(yīng)稀疏壓縮采樣關(guān)鍵技術(shù)研究”(61402009)。

[作者簡(jiǎn)介]龔海晏(1990- )，男，碩士研究生，從事圖像處理研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)]TP391

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)06-0050-04