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        算子Dunkl-Williams型不等式

        2016-07-15 02:54:13阮杰昌胡志軍
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2016年6期

        阮杰昌,胡志軍

        (1.宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川宜賓 644003;2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西桂林 541004)

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        算子Dunkl-Williams型不等式

        阮杰昌1,胡志軍2

        (1.宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川宜賓 644003;2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣西桂林 541004)

        [摘要]本文的目的在于討論和經(jīng)典Dunkl-Williams型不等式相類似的算子不等式,經(jīng)過分析我們得到了幾個算子Dunkl-Williams型不等式,并將其與現(xiàn)有的不等式進(jìn)行了比較,所得結(jié)果是前期結(jié)果的推廣和改進(jìn)。

        [關(guān)鍵詞]Dunkl-Williams不等式;算子不等式;算子絕對值

        1算子Dunkl-Williams簡介

        (1.1)

        |A|A|p-1-B|B|p-1|2≤|A|p-1(r|A-B|2+s(|B|p|A|1-p-|B|)2)|A|p-1.

        (1.2)

        不等式(1.2)是下面算子不等式的推廣:

        |A|A|-1-B|B|-1|2≤|A|-1(p|A-B|2+q(|A|-|B|)2)|A|-1.

        首先給出不等式(1.2)的一個改進(jìn),同時,也得到了算子p-角距離|A|A|p-1-B|B|p-1|2的一些下界估計.

        2主要結(jié)果

        首先給出不等式(1.2)的一個改進(jìn).

        定理2.1設(shè)A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆,λ∈[0,1].若1

        (2.1)

        若r>2,則

        (2.2)

        證明由文獻(xiàn)[7]中的定理2.1可知,當(dāng)λ∈[0,1]時,若1

        |A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2.

        (2.3)

        注意到

        將不等式(2.3)作用到算子(A-B)|A|p-1和B(|A|p-1-|B|p-1)上,可得

        =r|A|p-1|A-B|2|A|p-1+s(|B|p-1-|A|p-1)|B|2(|B|p-1-|A|p-1)

        =|A|p-1(r|A-B|2)|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

        =|A|p-1(r|A-B|2|A|p-1+s(|A|1-p|B|p-|B|)(|B|p|A|1-p-|B|))|A|p-1

        同時,由文獻(xiàn)[7]中的定理2.1可知,當(dāng)λ∈[0,1]時,若r>2,則對于任意的A,B∈B(H),有

        |A-B|2≤r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2.

        (2.4)

        將不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上,可得

        注2.1在不等式(2.1)中,若令λ=1,則有

        這顯然是不等式(1.2)的一個改進(jìn).同樣地,在不等式(2.2)中,若令λ=0,則有

        同時,這也是不等式(1.2)的一個改進(jìn).

        定理2.2設(shè)A,B∈B(H)且|A|,|B|可逆,λ∈[0,1].若1

        (2.5)

        若r>2,則

        (2.6)

        證明由文獻(xiàn)[7]中的定理2.1可知,當(dāng)λ∈[0,1]時,若1

        r|A|2+s|B|2-((r-1)λ+1-λ)|A-(1-s)B|2≤|A-B|2.

        (2.7)

        將不等式(2.7)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上,可得

        同時,由文獻(xiàn)[7]中的定理2.1可知,當(dāng)λ∈[0,1]時,若r>2,則對于任意的A,B∈B(H),有

        r|A|2+s|B|2-((s-1)(1-λ)+λ)|(1-r)A-B|2≤|A-B|2.

        (2.8)

        將不等式(2.4)作用到(A-B)|A|p-1和B(|B|p-1-|A|p-1)上,可得

        注2.2在不等式(2.5)中,若令λ=0,則有

        同樣地,在不等式(2.6)中,若令λ=1,則有

        注2.3由注2.1和2.2,有如下雙向不等式:

        若1

        若r>2,則

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]C.F.Dunkl,K.S.Williams.A simple norm inequality[J].Amer.Math.Monthly,1964(71):53-54.

        [2]L.Maligranda.Simple norm inequalities[J].Amer.Math.Monthly,2006(113):256-260.

        [4]F.Dadipour,M.S.Moslehian.Dunkl-Williams inequality for operators associated with p-angular distance[J].Nihonkai Math.J.,2010(21):11-20.

        [5]F.Dadipour,M.S.Moslehian.An approach to operator Dunkl-Williams inequalities Publ[J].Math.Debrecen, 2011(79):109-118.

        [7]L.Zou,C.He.On operator Bohr type inequalities[J].Math.Inequal,2014(17):1161-1169.

        Dunkl-Williams Type Inequalities for Operators

        RUAN Jie-chang1,HU Zhi-jun2

        (1.Basic Education Department,Yibin Vocational and Technical College,Yibin Sichuan 644003,China;2.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin Guangxi 541004,China)

        Abstract:The purpose of this paper is to discuss inequalities related to operator versions of theclassical Dunkl-Williams inequality. We obtain some Dunkl-Williams type inequalities for operator. Our results are generalizations and refinements of some existing ones.

        Key words:Dunkl-Williams inequality; operator inequality; operator absolute value

        [收稿日期]2016-04-07

        [作者簡介]阮杰昌(1982- ),男,講師,碩士研究生,從事計算數(shù)學(xué)研究。

        [中圖分類號]O178;O177.1

        [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

        [文章編號]2095-7602(2016)06-0026-03

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