許　璐，辛　巧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000)

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圖上具有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破

許璐，辛巧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000)

[摘要]本文利用能量方法，討論帶有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破性質(zhì)，并給出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

[關(guān)鍵詞]波動(dòng)方程；爆破；變指數(shù)；反應(yīng)項(xiàng)

偏微分方程解的爆破現(xiàn)象及其解的漸近行為是偏微分方程研究的重要內(nèi)容，而其爆破行為存在于非常多類型的偏微分方程，如Schr?dinger方程、半線性熱傳導(dǎo)方程、多孔介質(zhì)方程、Ginzburg-Landau方程和波動(dòng)方程[1-3].圖上的偏微分方程可以看作連續(xù)型的偏微分方程的數(shù)值模擬，應(yīng)用于圖像處理、分子擾動(dòng)和動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域[4-5]，對(duì)其解的漸近行為的研究已得到了國內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注[6-10].本文主要討論如下圖上具有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破行為和爆破時(shí)間的上界估計(jì).

(1)

其中，初值條件u1(x),u2(x)≥0，并且不恒等于零.

在文獻(xiàn)[11]中，作者引入了圖上微積分，并討論其上的調(diào)和方程的性質(zhì)及其反傳導(dǎo)問題.設(shè)G表示一個(gè)有限、簡單、連通圖，其中V=S∪?S表示圖G頂點(diǎn)的集合，S和?S是頂點(diǎn)集V的兩個(gè)不相交的子集，分別稱為V的內(nèi)部和邊界；E表示圖G的邊集；ω∶V×V→[0,+∞)表示定義在圖G邊上的權(quán)重函數(shù)，且滿足：(a)對(duì)于任意的x∈V，有ω(x,x)=0；(b)對(duì)于任意的x,y∈V，若x～y，則有ω(x,y)=ω(y,x)>0；(c)邊(x,y)?E，則有ω(x,y)=0.其中x～y表示圖G的頂點(diǎn)x,y存在一條邊，也可表示為(x,y)∈E.

本文中關(guān)于圖上的函數(shù)的積分和ω-Laplacian算子的定義和符號(hào)主要參考文獻(xiàn)[10].

下面討論解的爆破性質(zhì)，在此之前，先給出兩個(gè)引理.

證明設(shè)η(t)=∫x∈Suφ，由格林公式可得

η″(t)=∫x∈Suttφ=∫x∈SφΔωu+∫x∈Sφup(x)=-λ1η+∫x∈Sφup(x).

(2)

下面討論上述等式的第二項(xiàng)∫x∈Sφup(x).

對(duì)于任意固定的t>0，設(shè)Su≥1={x|x∈S,u(x,t)≥1} ，Su<1={x|x∈S,u(x,t)<1}，則有

∫x∈Sφup(x)=∫Su≥1φup(x)+∫Su<1φup(x)≥∫Su≥1φup-

=∫Su≥1φup-+∫Su<1φup--∫Su<1φup-

(3)

=∫Sφup--∫Su<1φup-≥∫Sφup--N.

此外，由Jensen不等式，可知

(4)

聯(lián)合不等式(2)、(3)、(4)可知

η″(t)≥-λ1η+cηp--N.

(5)

其中，c是正常數(shù)，N=|S|表示圖G內(nèi)部頂點(diǎn)的個(gè)數(shù).

因?yàn)棣?0)=∫x∈Su1φ>0,η′(0)=∫x∈Su2φ>0.此外，由于p->1,當(dāng)η(0)足夠大時(shí)，可使-λ1η(0)+cηp-(0)-N>0.如果再假設(shè)函數(shù)h(s)=-λ1s+csp--N,容易驗(yàn)證，當(dāng)s≥η(0)時(shí)，h(s)單調(diào)遞增，即知s≥η(0),有h(s)>0.綜上可知，微分不等式(5)滿足引理2的條件，由引理2可知η′(t)>0，且t≤

另一方面，還有η(t)=∫x∈Suφ≤‖u(x,t)‖∞∫x∈Sφ=‖u(x,t)‖∞,所以u(píng)(x,t)在有限時(shí)間爆破.

綜上所述，本文討論了圖上的帶有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破行為，得到了解的爆破時(shí)間的上界估計(jì).事實(shí)上，本文的方法還可以用于帶有非局部項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破研究.

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[12]Chung F R K.Spectral graph theory[M].Providence:American Mathematical Society,1997.

Blow-up of the Wave Equation with Variable Source on Finite Graphs

XU Lu, XIN Qiao

(College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang 835000, China)

Abstract:By the energy method, we mainly discuss the blow-up of the wave equation with variable source, and also give the upper bound of the blow-up time.

Key words:wave equation; blow-up; variable exponent; reaction term

[收稿日期]2016-03-07

[基金項(xiàng)目]新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金項(xiàng)目“圖上的偏微分方程解的性質(zhì)研究”(201442137-30)。

[作者簡介]許璐(1986- )，女，助教，碩士，從事偏微分方程理論研究。

[通訊作者]辛巧(1981- )，男，副教授，博士，從事偏微分方程及其應(yīng)用研究。

[中圖分類號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)06-0006-03