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        圖上具有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破

        2016-07-15 02:53:45璐,辛
        關(guān)鍵詞:爆破

        許 璐,辛 巧

        (伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆伊寧 835000)

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        圖上具有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破

        許璐,辛巧

        (伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆伊寧 835000)

        [摘要]本文利用能量方法,討論帶有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破性質(zhì),并給出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

        [關(guān)鍵詞]波動(dòng)方程;爆破;變指數(shù);反應(yīng)項(xiàng)

        偏微分方程解的爆破現(xiàn)象及其解的漸近行為是偏微分方程研究的重要內(nèi)容,而其爆破行為存在于非常多類型的偏微分方程,如Schr?dinger方程、半線性熱傳導(dǎo)方程、多孔介質(zhì)方程、Ginzburg-Landau方程和波動(dòng)方程[1-3].圖上的偏微分方程可以看作連續(xù)型的偏微分方程的數(shù)值模擬,應(yīng)用于圖像處理、分子擾動(dòng)和動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域[4-5],對(duì)其解的漸近行為的研究已得到了國內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注[6-10].本文主要討論如下圖上具有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破行為和爆破時(shí)間的上界估計(jì).

        (1)

        其中,初值條件u1(x),u2(x)≥0,并且不恒等于零.

        在文獻(xiàn)[11]中,作者引入了圖上微積分,并討論其上的調(diào)和方程的性質(zhì)及其反傳導(dǎo)問題.設(shè)G表示一個(gè)有限、簡單、連通圖,其中V=S∪?S表示圖G頂點(diǎn)的集合,S和?S是頂點(diǎn)集V的兩個(gè)不相交的子集,分別稱為V的內(nèi)部和邊界;E表示圖G的邊集;ω∶V×V→[0,+∞)表示定義在圖G邊上的權(quán)重函數(shù),且滿足:(a)對(duì)于任意的x∈V,有ω(x,x)=0;(b)對(duì)于任意的x,y∈V,若x~y,則有ω(x,y)=ω(y,x)>0;(c)邊(x,y)?E,則有ω(x,y)=0.其中x~y表示圖G的頂點(diǎn)x,y存在一條邊,也可表示為(x,y)∈E.

        本文中關(guān)于圖上的函數(shù)的積分和ω-Laplacian算子的定義和符號(hào)主要參考文獻(xiàn)[10].

        下面討論解的爆破性質(zhì),在此之前,先給出兩個(gè)引理.

        證明設(shè)η(t)=∫x∈Suφ,由格林公式可得

        η″(t)=∫x∈Suttφ=∫x∈SφΔωu+∫x∈Sφup(x)=-λ1η+∫x∈Sφup(x).

        (2)

        下面討論上述等式的第二項(xiàng)∫x∈Sφup(x).

        對(duì)于任意固定的t>0,設(shè)Su≥1={x|x∈S,u(x,t)≥1} ,Su<1={x|x∈S,u(x,t)<1},則有

        ∫x∈Sφup(x)=∫Su≥1φup(x)+∫Su<1φup(x)≥∫Su≥1φup-

        =∫Su≥1φup-+∫Su<1φup--∫Su<1φup-

        (3)

        =∫Sφup--∫Su<1φup-≥∫Sφup--N.

        此外,由Jensen不等式,可知

        (4)

        聯(lián)合不等式(2)、(3)、(4)可知

        η″(t)≥-λ1η+cηp--N.

        (5)

        其中,c是正常數(shù),N=|S|表示圖G內(nèi)部頂點(diǎn)的個(gè)數(shù).

        因?yàn)棣?0)=∫x∈Su1φ>0,η′(0)=∫x∈Su2φ>0.此外,由于p->1,當(dāng)η(0)足夠大時(shí),可使-λ1η(0)+cηp-(0)-N>0.如果再假設(shè)函數(shù)h(s)=-λ1s+csp--N,容易驗(yàn)證,當(dāng)s≥η(0)時(shí),h(s)單調(diào)遞增,即知s≥η(0),有h(s)>0.綜上可知,微分不等式(5)滿足引理2的條件,由引理2可知η′(t)>0,且t≤

        另一方面,還有η(t)=∫x∈Suφ≤‖u(x,t)‖∞∫x∈Sφ=‖u(x,t)‖∞,所以u(píng)(x,t)在有限時(shí)間爆破.

        綜上所述,本文討論了圖上的帶有可變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破行為,得到了解的爆破時(shí)間的上界估計(jì).事實(shí)上,本文的方法還可以用于帶有非局部項(xiàng)的波動(dòng)方程解的爆破研究.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]Hu B.Blow-up Theories for semilinear Parabolic Equations[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,2011.

        [2]Llanos M P, Rossi J D. Blow-up for a non-local diffusion problem with Neumann boundary conditions and a reaction term [J].Nonlinear Analysis:ATM,2009,70(4):1629-1640.

        [3]Pinasco J P. Blow-up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents[J].Nonlinear Anal:ATM, 2009,71(3-4):1094-1099.

        [4]Chung S Y,Chung Y S,Kim J H.Diffusion and elastic equations on networks[J].Publ Res Inst Math Sci,2007, 43(3):699-725.

        [5]Trinajstic N,Babic D,Nikoli S.The Laplacian matrix in chemistry[J].J Chem Inf Comput Sci,1994,34(2):368-376.

        [6]Zakrzewski W J.Laplacians on lattices[J].J Nonlinear Math Phys,2005,12(4):530-538.

        [7]Elmoataz A,Lezoray O,Bougleux S.Nonlocal discrete regularization on weighted graphs:a framework for image and manifold processing[J].IEEE Tans Image Process,2008,17(7):1047-1060.

        [8]Xin Q,Xu L,Mu C L.Blow-up for the ω-heat equation with dirichlet boundary conditions and a reaction term on graphs[J].Appl Anal,2013,93(8):1691-1701.

        [9]Chung S Y. Critical blow-up and global existence for discrete nonlinear p-Laplacian parabolic equations[J]. Disc Dyna Nat Soc,2014:1-10.

        [10]Zhou W C,Chen M M,Liu W J.Critical exponent and blow-up rate for the ω-diffusion equations on graphs with dirichlet boundary conditions[J].Elec J Diff Equa 2014:1-13.

        [11]Chung S Y,Berenstein C A.ω-Harmonic function and inverse conductivity problems on networks[J].SIAM J Appl Math,2005,56(4):1200-1226.

        [12]Chung F R K.Spectral graph theory[M].Providence:American Mathematical Society,1997.

        Blow-up of the Wave Equation with Variable Source on Finite Graphs

        XU Lu, XIN Qiao

        (College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang 835000, China)

        Abstract:By the energy method, we mainly discuss the blow-up of the wave equation with variable source, and also give the upper bound of the blow-up time.

        Key words:wave equation; blow-up; variable exponent; reaction term

        [收稿日期]2016-03-07

        [基金項(xiàng)目]新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金項(xiàng)目“圖上的偏微分方程解的性質(zhì)研究”(201442137-30)。

        [作者簡介]許璐(1986- ),女,助教,碩士,從事偏微分方程理論研究。

        [通訊作者]辛巧(1981- ),男,副教授,博士,從事偏微分方程及其應(yīng)用研究。

        [中圖分類號(hào)]O175

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

        [文章編號(hào)]2095-7602(2016)06-0006-03

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