沈敬偉，周廷剛，朱曉波

西南大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院，重慶 400715

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面向帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系描述模型

沈敬偉，周廷剛，朱曉波

西南大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院，重慶 400715

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China(No. 41301417)；The Basic and Frontier Project of Chongqing(No. cstc2014jcyjA20017)；The Fundamental Research Funds for the Central Universities(No. XDJK2015B022)

摘要：為研究帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系，提出了一種25IM(25交集模型)。以點(diǎn)集拓?fù)淅碚摓榛A(chǔ)，對帶洞面狀區(qū)域的內(nèi)部、邊界和外部進(jìn)行定義。分析了9IM(9交集模型)在表達(dá)帶洞面狀對象間拓?fù)潢P(guān)系方面存在的問題，將帶洞面狀對象分為內(nèi)部、外邊界、內(nèi)邊界、外邊界外部、內(nèi)邊界外部共5部分，提出了一種5×5的矩陣模型，即25IM?；邳c(diǎn)集拓?fù)淅碚?，定義了8條規(guī)則來排除不符合邏輯的拓?fù)潢P(guān)系?；?5IM，對8種基本拓?fù)潢P(guān)系：相離、相接、重疊、覆蓋、包含、相等、被覆蓋和被包含，進(jìn)行細(xì)分描述。結(jié)果表明，本文提出的25IM能夠更為詳細(xì)地表達(dá)帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系。

關(guān)鍵詞：帶洞面狀對象；拓?fù)潢P(guān)系；25交集模型

拓?fù)潢P(guān)系是指拓?fù)渥儞Q下的拓?fù)洳蛔兞?，對于空間數(shù)據(jù)處理和空間分析具有重要的意義。拓?fù)潢P(guān)系描述方法一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。目前，拓?fù)潢P(guān)系描述主要有基于邏輯的公理化拓?fù)淅碚摵蛡鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)拓?fù)鋬纱箢惙椒?，其中最有代表性的是RCC(區(qū)域連接演算)形式化模型[1-2]和4IM(四交集模型)/9IM(九交集模型)[3-4]，另外還有許多學(xué)者提出的改進(jìn)方法[5-7]。其中，點(diǎn)集拓?fù)浞ń⒃邳c(diǎn)集拓?fù)淅碚摶A(chǔ)之上，具有簡潔和完備的特點(diǎn)，并且具有維度無關(guān)性，廣泛應(yīng)用于拓?fù)潢P(guān)系描述。

空間帶洞面狀對象是一類常見的空間對象，其拓?fù)潢P(guān)系描述方法也有一些成果。4IM/9IM區(qū)分了8種面/面拓?fù)潢P(guān)系[3-4]，基于Voronoi圖的拓?fù)潢P(guān)系描述模型區(qū)分了18種面/面拓?fù)潢P(guān)系[7]，雖然上述3種拓?fù)潢P(guān)系模型能夠區(qū)分一些拓?fù)潢P(guān)系，但是對帶洞拓?fù)潢P(guān)系的描述仍不夠詳細(xì)，基于Voronoi圖的拓?fù)潢P(guān)系描述模型還存在計(jì)算相對復(fù)雜的問題。文獻(xiàn)[8]將空間帶洞對象A和B的拓?fù)潢P(guān)系描述為：A的整體和B的整體、A的整體和B的每一個洞、A的每一個洞和B的整體、A的每一個洞和B的每一個洞之間的拓?fù)潢P(guān)系，然而，對于具有多個空洞的對象，該方法較為復(fù)雜。此外，簡單面目標(biāo)與帶孔洞面目標(biāo)間的拓?fù)潢P(guān)系[9-12]、帶雙洞區(qū)域與簡單區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系[13-14]、凹形區(qū)域和帶單洞區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系的拓?fù)潢P(guān)系[15]、雙嵌套區(qū)域與簡單區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系[16]、互相包含洞的區(qū)域與簡單區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系[17]，也有一些研究進(jìn)展。然而，上述研究限制了洞的個數(shù)，并沒有針對帶任意多個洞的面狀對象。文獻(xiàn)[18]提出了一種擴(kuò)充矩陣的維數(shù)，研究內(nèi)部帶有空洞的復(fù)雜不確定區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系，但是并沒有證明拓?fù)潢P(guān)系完備性。文獻(xiàn)[19—20]提出了D9交集模型，研究帶洞面狀對象之間拓?fù)潢P(guān)系，然而，D9交集模型需要反復(fù)編碼和解碼，較為復(fù)雜。

綜上所述，空間帶洞面狀對象之間的拓?fù)潢P(guān)系描述已經(jīng)有一些研究成果，但是仍存在拓?fù)潢P(guān)系描述不夠詳細(xì)、拓?fù)潢P(guān)系描述和計(jì)算復(fù)雜度較高等諸多問題。為此，本研究針對帶任意多個洞的面狀對象之間的拓?fù)潢P(guān)系描述問題展開論述。

1基于點(diǎn)集拓?fù)淅碚摰膸Ф疵鏍顚ο竺枋?/p>

1.1集合的內(nèi)部、邊界和外部定義

基于點(diǎn)集拓?fù)淅碚?，給出拓?fù)淇臻g給定集合的內(nèi)部、外部和邊界的定義[21]。

定義1：設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A?X。如果A是點(diǎn)x∈X的一個鄰域，即存在X中的一個開集V使得x∈V?A，則稱點(diǎn)x是集合A的一個內(nèi)點(diǎn)。集合A的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合A的內(nèi)部，記為Ao。

定義2：設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A?X。點(diǎn)x∈X，如果滿足條件：在x的任何一個鄰域U中，U∩A=φ，則稱x是集合A的一個外部點(diǎn)。集合A的全體外部點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合A的外部，記為A-。

定義3：設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A?X。點(diǎn)x∈X，如果滿足條件：在x的任何一個鄰域U中既有A中的點(diǎn)又有A-中的點(diǎn)，即既有U∩A≠φ又有U∩A-≠φ，則稱x是集合A的一個邊界點(diǎn)。集合A的全體邊界點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合A的邊界，記為?A。

1.2帶洞面狀對象定義及性質(zhì)

帶洞面狀對象為二維空間中的平面，有1個外邊界、0到多個內(nèi)邊界組成，每個內(nèi)邊界形成面上的空洞，組成面的任何兩個邊界都不相交。邊界用環(huán)來表達(dá)，其中，外邊界稱為外環(huán)，內(nèi)邊界稱為內(nèi)環(huán)?；邳c(diǎn)集拓?fù)淅碚摚枋隽藥Ф疵鏍顚ο蟮膬?nèi)部、邊界和外部(圖1)。

圖1　帶洞面狀對象的內(nèi)部、邊界和外部Fig.1　Interior, boundary and exterior of region with holes

本研究涉及的帶洞面狀對象可以包含多個洞，且滿足以下性質(zhì)。

性質(zhì)1：帶洞面狀對象是一個二維連通閉子集，其內(nèi)部為內(nèi)邊界和外邊界之間的區(qū)域。

性質(zhì)2：帶洞面狀對象的內(nèi)環(huán)嚴(yán)格在外環(huán)的內(nèi)部，即內(nèi)環(huán)的邊界與外環(huán)的邊界不能出現(xiàn)相交、相切或者包含等情況。

性質(zhì)3：帶洞面狀對象的內(nèi)環(huán)之間不相交。

圖2中顯示了3種無效的帶洞的面狀對象，其中，圖2(a)中空間對象內(nèi)部不連通，不滿足性質(zhì)1；圖2(b)中內(nèi)環(huán)與外環(huán)相切，不滿足性質(zhì)2；圖2(c)中內(nèi)環(huán)與內(nèi)環(huán)相交，不滿足性質(zhì)3。

圖2　無效的帶洞面狀對象Fig.2　Invalid regions with holes

2帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系模型

2.1簡單面狀對象拓?fù)潢P(guān)系描述

9IM是基于點(diǎn)集拓?fù)淅碚摚瑥V泛應(yīng)用于拓?fù)潢P(guān)系描述的一種模型。如果空間對象A和B的內(nèi)部、邊界和外部分別用Ao、?A、A-和Bo、?B、B-表示，則9IM的表現(xiàn)形式如式(1)所示

(1)

式中，元素的取值可以為{0，1}，分別表示{空集，非空集}。簡單面/面之間存在8種拓?fù)潢P(guān)系：{相離, 相接, 重疊, 覆蓋, 包含, 相等, 被覆蓋, 被包含}。圖3描述了簡單面/面之間的8種拓?fù)潢P(guān)系，并給出了相應(yīng)的9IM矩陣。

圖3　簡單面/面空間拓?fù)潢P(guān)系描述Fig.3　Representation of spatial topological relationship between simple regions

雖然9IM模型能夠較好地描述簡單對象間的拓?fù)潢P(guān)系，但是對于復(fù)雜對象間的拓?fù)潢P(guān)系，9IM模型的區(qū)分能力則比較有限。圖4中列出了兩種拓?fù)潢P(guān)系，但是9IM都描述為相離關(guān)系。由于描述能力的限制，9IM無法區(qū)分圖4(a)和圖4(b)的拓?fù)潢P(guān)系。

圖4　9IM無法區(qū)分的兩種相離關(guān)系Fig.4　Two disjoint topological relations that cannot be distinguished by 9IM

2.225交集模型及其性質(zhì)

由于9IM無法細(xì)致地描述帶洞面狀對象之間的拓?fù)潢P(guān)系，究其原因主要是9IM模型主要面向簡單空間對象，而帶空洞面狀對象遠(yuǎn)比簡單對象復(fù)雜。為了研究帶洞面狀對象的拓?fù)潢P(guān)系，有必要對帶洞面狀對象進(jìn)一步細(xì)分。與簡單面狀對象相比， 帶洞面狀對象外部分為相互獨(dú)立的兩部

分：外邊界之外的部分和內(nèi)邊界之內(nèi)的部分；帶洞面狀對象邊界也可以分為相互獨(dú)立的兩部分：外邊界和內(nèi)邊界。因此，筆者將帶洞面狀對象分為5部分：內(nèi)部、外邊界、內(nèi)邊界、外邊界外部、內(nèi)邊界外部(圖5)。

圖5　帶洞面狀對象的空間剖分Fig.5　Identification of region with holes using point set topology

(2)

式中，元素的取值為{0，1}，分別表示{空集，非空集}。如果元素的值即可以取0，也可以取1，則標(biāo)記為“*”。

25IM能夠細(xì)致地表達(dá)帶洞面狀對象之間的拓?fù)潢P(guān)系，理論上能夠區(qū)分225種拓?fù)潢P(guān)系，但并不是所有的拓?fù)潢P(guān)系都有意義。為此，定義了一些規(guī)則來排除不符合邏輯的拓?fù)潢P(guān)系。

規(guī)則1：帶洞面狀對象A與B的外邊界外部一定相交，如式(3)所示

(3)

規(guī)則2：帶洞面狀對象A的內(nèi)部、外邊界、內(nèi)邊界、外邊界外部、內(nèi)邊界外部，至少與B的內(nèi)部、外邊界、內(nèi)邊界、外邊界外部、內(nèi)邊界外部的一部分相交，反之亦然，如式(4)所示

(4)

規(guī)則3：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的外邊界外部相交，則A的外邊界和B的外邊界外部相交；反之亦然。同理，如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)邊界外部相交，則A的外邊界與B的內(nèi)邊界外部相交；反之亦然，如式(5)所示

(5)

規(guī)則4：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)部不相交，則A的內(nèi)/外邊界和B的內(nèi)部不相交；反之亦然(證明過程類似于規(guī)則3的證明),如式(6)所示

(6)

規(guī)則5：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的外邊界相交，則A的內(nèi)部與B的外邊界外部相交；反之亦然。同理，如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)邊界相交，則A的內(nèi)部與B的內(nèi)邊界外部相交；反之亦然(證明過程類似于規(guī)則3的證明)，如式(7)所示

(7)

規(guī)則6：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)部、外邊界外部相交，則A的內(nèi)部與B的外邊界相交；反之亦然。同理，如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)部、內(nèi)邊界外部相交，則A的內(nèi)部與B的內(nèi)邊界相交；反之亦然，如式(8)所示

(8)

規(guī)則7：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)/外邊界與B的內(nèi)/外邊界均不相交，則至少存在A的內(nèi)/外邊界與B的內(nèi)/外邊界外部相交或者A的內(nèi)/外邊界外部與B的內(nèi)/外邊界相交；反之亦然，如式(9)所示

(9)

規(guī)則8：如果帶洞面狀對象A的內(nèi)部與B的內(nèi)部不相交，則至少存在A的內(nèi)/外邊界與B的內(nèi)/外邊界外部相交或者A的內(nèi)/外邊界外部和B的內(nèi)/外邊界相交；反之亦然(證明過程類似于規(guī)則7的證明)，如式(10)所示

(10)

2.3基于25IM的拓?fù)潢P(guān)系表示

基于25IM，可以細(xì)致地描述帶洞空間對象之間的拓?fù)潢P(guān)系。在圖6至圖13中，帶洞面狀對象A和B分別用顏色和網(wǎng)紋進(jìn)行填充。相離、相接、重疊、覆蓋、包含、相等、被覆蓋和被包含關(guān)系分別表示如下：

2.3.1相離關(guān)系

相離關(guān)系表示空間對象A與B在空間上是相離的，相離關(guān)系的定義為式(11)?；?5IM，可以區(qū)分3種不同類型的相離關(guān)系(圖6)

(11)

圖6　帶洞面狀對象間相離關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.6　The representation form of the disjoint relation between regions with holes

2.3.2相接關(guān)系

相接關(guān)系表示空間對象A與B在空間上相接，相接關(guān)系的定義為式(12)?；?5IM，可以區(qū)分3種不同類型的相接關(guān)系(圖7)

(12)

圖7　帶洞面狀對象間相接關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.7　The representation form of the meet relation between regions with holes

2.3.3重疊關(guān)系

重疊關(guān)系表示空間對象A和B的內(nèi)部相交，并且相交產(chǎn)生的結(jié)果不等同于空間對象A或者B。重疊關(guān)系的定義為式(13)?；?5IM，可以區(qū)分多種不同類型的重疊關(guān)系。圖8中列出了4種典型的重疊關(guān)系及其25IM的表示形式

(13)

圖8　帶洞面狀對象間重疊關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.8　The representation form of the overlaps relation between regions with holes

2.3.4覆蓋關(guān)系

覆蓋關(guān)系表示空間對象A的內(nèi)部包含空間對象B的內(nèi)部，并且A的邊界與B的邊界相交，但A與B不相等。覆蓋關(guān)系的定義為式(14)?；?5IM，可以區(qū)分多種不同類型的覆蓋關(guān)系。圖9中列出了4種典型的覆蓋關(guān)系及其25IM的表示形式。

圖9　帶洞面狀對象間覆蓋關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.9　The representation form of the covers relation between regions with holes

(?BE∪?BI)≠φ)

(14)

2.3.5包含關(guān)系

包含關(guān)系表示空間對象A完全包含空間對象B，包含與被包含是相對的。包含關(guān)系的定義為式(15)?；?5IM，可以區(qū)分3種不同類型的包含關(guān)系(圖10)

(15)

圖10　帶洞面狀對象間包含關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.10　The representation form of the contains relation between regions with holes

2.3.6相等關(guān)系

相等關(guān)系表示空間對象A與空間對象B完全相等。相等關(guān)系的定義為式(16)。基于25IM，可以定義相等關(guān)系(圖11)

(16)

圖11　帶洞面狀對象間相等關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.11　The representation form of the equal relation between regions with holes

2.3.7被覆蓋關(guān)系

被覆蓋關(guān)系表示空間對象A的內(nèi)部完全在空間對象B的內(nèi)部，并且A的邊界與B的邊界相交，但A與B不相等，覆蓋與被覆蓋是相對的，被覆蓋關(guān)系的定義為式(17)

?AI)∩(?BE∪?BI)≠φ)

(17)

基于25IM，可以區(qū)分多種不同類型的被覆蓋關(guān)系。圖12中列出了4種典型的被覆蓋關(guān)系及其25IM的表示形式。

圖12　帶洞面狀對象間被覆蓋關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.12　The representation form of the coveredby relation between regions with holes

2.3.8被包含關(guān)系

被包含關(guān)系表示空間對象A完全在空間對象B的內(nèi)部。被包含關(guān)系的定義為式(18)。基于25IM，可以區(qū)分3種不同類型的被包含關(guān)系(圖13)

(18)

圖13　帶洞面狀對象間被包含關(guān)系的25IM表現(xiàn)形式Fig.13　The representation form of the inside relation between regions with holes

2.4實(shí)例分析

帶洞空間對象廣泛存在于自然和社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，以河北省南部的邯鄲縣、磁縣和馬頭鎮(zhèn)(圖14)的拓?fù)潢P(guān)系描述為例進(jìn)行說明。在圖14中，可以發(fā)現(xiàn)邯鄲縣和磁縣均為帶洞面狀對象，馬頭鎮(zhèn)為非帶洞面狀對象(馬頭鎮(zhèn)可以視為特殊的帶洞面狀對象，即：內(nèi)邊界、內(nèi)邊界外部為空)。假設(shè)邯鄲縣、磁縣和馬頭鎮(zhèn)分別用A、B和C進(jìn)行表示，A與B、B與C的拓?fù)潢P(guān)系的9IM表現(xiàn)形式為式(19)，A與B、B與C的拓?fù)潢P(guān)系的25IM表現(xiàn)形式分別為式(20)、式(21)。

圖14　帶洞面狀對象的拓?fù)潢P(guān)系描述實(shí)例Fig.14　Example of the topological relation representation form between regions with holes

(19)

(20)

(21)

式(19)、式(20)和式(21)的對比分析可知：式(19)雖然能夠判斷上述A與B、B與C的拓?fù)潢P(guān)系為相接關(guān)系，但是無法進(jìn)一步區(qū)分A與B、B與C之間相接關(guān)系的差異，而在很多情況下，則需要對這種差異進(jìn)行描述和認(rèn)知；相對于9IM，使用25IM的式(20)、式(21)更為詳細(xì)地表達(dá)了A與B、B與C之間的相接關(guān)系，其中，A與B屬于外部邊界相接，B與C屬于B的內(nèi)部邊界與C的外部邊界相接。

3結(jié)論和展望

本文基于點(diǎn)集拓?fù)淅碚?，提出了一種25IM，對帶洞面狀對象的拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行描述。研究結(jié)果表明：①相對于9IM，25IM模型能夠區(qū)分更多的拓?fù)潢P(guān)系類型；②提出的8種拓?fù)潢P(guān)系規(guī)則，能夠用于排除不符合邏輯的拓?fù)潢P(guān)系；③基于25IM，對8種基本拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行細(xì)分描述，進(jìn)一步驗(yàn)證了25IM的描述能力。

本文研究的下一步工作是將25IM應(yīng)用于帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系查詢、計(jì)算、推理等方面，進(jìn)一步驗(yàn)證和改進(jìn)25IM模型。此外，基于25IM研究帶洞體狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系也是下一步的工作重點(diǎn)。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2016-01-06

First author： SHEN Jingwei(1984—), male, PhD, associate professor, master supervisor, majors in spatial relation theory,spatial data mining.

E-mail： jingweigis@163.com

Topological Relation Representation Model between Regions with Holes

SHEN Jingwei, ZHOU Tinggang, ZHU Xiaobo

School of Geographical Sciences, Southwest University, Chongqing 400715, China

Abstract：In order to study the topological relation between regions with holes, a topological relation representation model named 25IM(25 intersection model) is proposed. Based on point set theory, interior, boundary and exterior of spatial object are defined. The shortcoming of 9IM(9 intersection model) between regions with holes is analyzed. A region with holes can be separated into five parts including interior, outer boundary, inner boundary, exterior outside the outer boundary, and exterior within the inner boundary. Then, 5×5 matrix model named 25IM between two regions with holes are defined. Eight rules are defined to exclude the illogical topological relations. Eight basic topological relations, including disjoint, meet, overlaps, covers, contains, equal, coveredby and Inside, are described in detail by using 25IM. It can be concluded that the proposed 25IM can express the topological relation between regions with holes in more detail.

Key words：region with holes; topological relation; 25IM(25intersection model)

中圖分類號：P208

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)06-0722-09

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(41301417)；重慶市基礎(chǔ)與前沿計(jì)劃(cstc2014jcyjA20017)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(XDJK2015B022)

收稿日期：2015-07-06

第一作者簡介：沈敬偉(1984—)，男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榭臻g關(guān)系理論、空間數(shù)據(jù)挖掘等。

引文格式：沈敬偉，周廷剛，朱曉波.面向帶洞面狀對象間的拓?fù)潢P(guān)系描述模型[J].測繪學(xué)報，2016,45(6)：722-730. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150352.

SHEN Jingwei, ZHOU Tinggang, ZHU Xiaobo.Topological Relation Representation Model between Regions with Holes[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(6):722-730. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150352.