周　超，王躍科，喬純捷，戴衛(wèi)華

(國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙　410073)

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高動(dòng)態(tài)GNSS信號(hào)多普勒模擬任意階直接數(shù)字合成器設(shè)計(jì)*

周超，王躍科，喬純捷，戴衛(wèi)華

(國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙410073)

摘要：為高精度模擬高動(dòng)態(tài)條件下GNSS信號(hào)的多普勒特性，提出一種任意階直接數(shù)字合成信號(hào)合成器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)任意階直接數(shù)字合成信號(hào)合成器的結(jié)構(gòu)；通過理論分析，推導(dǎo)各級(jí)累加器相位初值的計(jì)算公式；給出字長(zhǎng)選擇方法。經(jīng)仿真驗(yàn)證，該方法能精確模擬GNSS信號(hào)的多普勒特性。此外，提出的直接數(shù)字合成器設(shè)計(jì)方法不受階數(shù)的限制，可普遍應(yīng)用于各類信號(hào)模擬器的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：高動(dòng)態(tài)；GNSS信號(hào)；多普勒；任意階直接數(shù)字合成

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS) 的應(yīng)用越來越廣泛，幾乎涉及各行各業(yè)和生活中的各個(gè)領(lǐng)域[1-2]。GNSS信號(hào)模擬器可根據(jù)接收機(jī)載體與衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，模擬產(chǎn)生接收機(jī)接收到的GNSS信號(hào)，用于接收機(jī)的功能測(cè)試、測(cè)量精度鑒定等[3-4]，為接收機(jī)的研發(fā)、生產(chǎn)和測(cè)試提供低成本而有效的手段[5-6]。在高動(dòng)態(tài)使用條件下的導(dǎo)航過程中，例如高速飛行器導(dǎo)航、低軌衛(wèi)星定位等，衛(wèi)星與接收機(jī)載體間高速、復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)使得接收信號(hào)產(chǎn)生明顯的多普勒效應(yīng)[7]。接收信號(hào)相對(duì)于發(fā)射信號(hào)往往存在多普勒頻偏、多普勒加速度及更高階的多普勒特征，是影響導(dǎo)航接收機(jī)性能的關(guān)鍵要素之一。因此，為了測(cè)試和評(píng)估導(dǎo)航接收機(jī)對(duì)高動(dòng)態(tài)條件下接收信號(hào)多普勒特性的處理能力，需要利用信號(hào)模擬器精確仿真GNSS信號(hào)的多普勒特性，以模擬真實(shí)的高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)環(huán)境。

目前，信號(hào)合成通常采用傳統(tǒng)直接數(shù)字合成(Direct Digital Synthesis, DDS)的一階合成方法[8-9]。由于每個(gè)控制周期內(nèi)的信號(hào)頻率被看作是固定值，所以它只能模擬衛(wèi)星信號(hào)多普勒頻移量，無法滿足高動(dòng)態(tài)環(huán)境下的應(yīng)用要求。為了模擬多普勒特性更高階的特征，提高信號(hào)模擬精度，齊巍等[10]采用了二階DDS結(jié)構(gòu)，劉芊岑等[11]和Zhang等[12]采用了三階DDS結(jié)構(gòu)。然而，這些研究工作都是在特定的階數(shù)下討論DDS合成器的設(shè)計(jì)方法，并無文獻(xiàn)考慮普遍問題，展開對(duì)任意階數(shù)下DDS信號(hào)合成器設(shè)計(jì)方法的研究。

1高動(dòng)態(tài)GNSS信號(hào)模型

不考慮引入的噪聲，GNSS信號(hào)模型通?？?/p>

表示為：

(1)

式中，c表示信號(hào)傳播速度，Ω0表示載波頻率，A(t)表示信號(hào)幅度，PN(t)表示調(diào)制的偽隨機(jī)碼，D(t)表示信號(hào)中調(diào)制的電文比特，d(t)表示接收機(jī)與衛(wèi)星間的徑向距離。GNSS信號(hào)多普勒模擬最為關(guān)鍵的就是載波相位φ(t) =-Ω0d(t)/c的高精度實(shí)時(shí)計(jì)算與合成。在高動(dòng)態(tài)條件下，徑向距離d(t)的函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，通常用多項(xiàng)式模型進(jìn)行逼近，表示為：

d(t)=p0+p1t+p2t2+…+pNtN

(2)

式中，多項(xiàng)式系數(shù)pn(n= 0, 1, 2, …,N)具有實(shí)際物理意義，分別代表接收機(jī)與衛(wèi)星間運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的各階特征量，例如：p0等價(jià)于初始距離，p1等價(jià)于速度，p2等價(jià)于加速度的二分之一等。由此，載波相位φ(t)也可用如式(3)所示的多項(xiàng)式模型進(jìn)行表示：

(3)

式(3)是DDS合成器模擬合成載波相位的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，多項(xiàng)式階數(shù)N即為DDS的階數(shù)。給定時(shí)間區(qū)間，采用分段多項(xiàng)式對(duì)載波相位φ(t)進(jìn)行逼近，其中多項(xiàng)式的分段時(shí)間間隔稱為DDS合成器的控制周期。

載波相位的高精度模擬有兩種方式：一種是保持較小控制周期，增大DDS的階數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)是信號(hào)參數(shù)只需進(jìn)行少量的計(jì)算和更新，但過高的階數(shù)會(huì)急劇增大DDS合成器的硬件規(guī)模；另一種是保持較低的階數(shù)，縮小DDS的控制周期，其優(yōu)點(diǎn)是硬件規(guī)模相對(duì)較小，但要求硬件必須具備較高的計(jì)算能力，對(duì)各控制周期的信號(hào)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算和更新。

因此，DDS階數(shù)及控制周期的確定需要綜合考慮信號(hào)模擬精度和硬件資源情況兩個(gè)方面的因素。一種可行的方案是：首先根據(jù)信號(hào)模擬器硬件的參數(shù)實(shí)時(shí)計(jì)算能力和參數(shù)配置接口的帶寬，確定可接受的最小控制周期，即多項(xiàng)式逼近的分段時(shí)間間隔；然后根據(jù)給定的信號(hào)模擬精度要求(等同于多項(xiàng)式逼近的容許誤差)，取滿足精度要求的多項(xiàng)式階數(shù)最小值作為最終的DDS階數(shù)。

2任意階DDS信號(hào)合成器

給定DDS階數(shù)N，設(shè)計(jì)的DDS信號(hào)合成器結(jié)構(gòu)如圖1所示，共包含N+1級(jí)相位累加器(ACCumlator, ACC)。向量Φ(0)=[φ(0)(0),φ(1)(0), …,φ(N)(0)]T表示各級(jí)累加器的相位初值，在各控制周期的初始時(shí)刻，需要對(duì)Φ(0)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。在時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)下，各級(jí)累加器開始工作，Φ(k) = [φ(0)(k),φ(1)(k), …,φ(N)(k)]T表示第k個(gè)時(shí)鐘周期各級(jí)累加器的相位狀態(tài)值，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可由式(4)進(jìn)行表示。

圖1　N階DDS合成器結(jié)構(gòu)圖Fig.1　Structure of N-order DDS synthesizer

(4)

當(dāng)一個(gè)時(shí)鐘周期結(jié)束時(shí)，除了最后一級(jí)累加器狀態(tài)始終不變外，即φ(N)(k)≡φ(N)(0)，其余各級(jí)累加器的相位狀態(tài)都會(huì)發(fā)生變化，并且相位狀態(tài)值由前一個(gè)時(shí)刻此累加器與前一級(jí)累加器的相位狀態(tài)值求和得到。φ(0)(k)是DDS信號(hào)合成器的相位輸出，其作為正弦表的查表輸入導(dǎo)出信號(hào)波形值。

3相位初值的計(jì)算

如圖1所示的DDS信號(hào)合成器設(shè)計(jì)，首先要討論的是各級(jí)相位累加器初值Φ(0)的計(jì)算問題。

定理對(duì)N級(jí)DDS信號(hào)合成器，第k個(gè)時(shí)鐘周期的相位輸出與各級(jí)累加器的相位初值滿足如式(5)所示關(guān)系：

(5)

并且當(dāng)N給定時(shí)，式中的系數(shù)是確定的，可通過簡(jiǎn)單計(jì)算得到。

證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明定理。首先，由式(4)可導(dǎo)出DDS各級(jí)相位狀態(tài)的計(jì)算公式：

(6)

當(dāng)給定階數(shù)N，由式(6)最后一行逐次代入前一行即可得到相位輸出φ(0)(k)的表達(dá)式。

顯然，對(duì)1階DDS有相位輸出：

φ(0)(k)=φ(0)(0)+kφ(1)(0)

(7)

假設(shè)對(duì)N階DDS有式(5)成立，則對(duì)N+1階DDS，第2級(jí)相位狀態(tài)φ(1)(k)可表示為：

(8)

結(jié)合式(6)可得：

(9)

根據(jù)Bernoulli自然數(shù)求冪和公式[13]：

(10)

聯(lián)合式(9)和式(10)可導(dǎo)出N+1階DDS的相位輸出可表示為：

(11)

至此，定理證明完畢。

假設(shè)驅(qū)動(dòng)DDS合成器的時(shí)鐘周期為TS，由式(3)可知，在一個(gè)控制周期內(nèi)，要模擬的載波相位φ(k)為：

(12)

由于定理中的式(5)成立，所以通過待定系數(shù)法可建立如式(13)所示的線性方程組：

B·Φ(0)=P

(13)

式中，矩陣B和向量P均確定已知，

(14)

由此可得如圖1所示DDS結(jié)構(gòu)的各級(jí)累加器相位初值的計(jì)算公式為：

Φ(0)=B-1·P

(15)

4字長(zhǎng)選取方法

DDS合成器以二進(jìn)制定點(diǎn)數(shù)表示各階相位狀態(tài)量，字長(zhǎng)選擇是DDS設(shè)計(jì)的又一重要問題，其包括兩個(gè)方面：一是各級(jí)相位初值量化字長(zhǎng)；二是各級(jí)累加器字長(zhǎng)。前者用于DDS啟動(dòng)前對(duì)式(15)計(jì)算得到的相位初值Φ(0)進(jìn)行量化，其長(zhǎng)度取決于GNSS信號(hào)各階特征量的仿真精度要求；后者用于DDS啟動(dòng)后存儲(chǔ)各級(jí)累加器的相位狀態(tài)值。在選定量化字長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，累加器字長(zhǎng)取決于各相位狀態(tài)值的動(dòng)態(tài)范圍。

相位初值量化字長(zhǎng)的選擇等價(jià)于初始相位量化誤差的確定問題。假設(shè)W1=[W10,W11, …,W1N]T表示各級(jí)相位初值的量化字長(zhǎng)，則對(duì)應(yīng)的各級(jí)量化誤差e=[e0,e1, …,eN]T與W1應(yīng)滿足：

(16)

量化誤差e直接影響了GNSS信號(hào)各階特征量的仿真精度，因此e的確定取決于設(shè)計(jì)者對(duì)各階特征量的仿真精度要求。若給定式(2)中各階特征量精度要求ε=[ε0,ε1, …,εN]T，則由式(13)可知，量化誤差必須滿足不等式：

(17)

考慮最低要求，量化誤差正好滿足仿真精度約束，則此時(shí)相位初值量化字長(zhǎng)的選擇方法可表述為：由e=B-1ξ計(jì)算各級(jí)量化誤差，導(dǎo)出量化字長(zhǎng)的最低要求W1=ceil{log2(2π/e)}；為簡(jiǎn)化硬件實(shí)現(xiàn)過程，各級(jí)統(tǒng)一采用W1中的最大值max{W1}作為量化字長(zhǎng)。

DDS各級(jí)累加器的作用是存儲(chǔ)信號(hào)合成過程中各級(jí)相位的狀態(tài)值，累加器字長(zhǎng)的大小決定了各級(jí)累加器開辟的存儲(chǔ)空間容量。而當(dāng)量化字長(zhǎng)選定后，存儲(chǔ)空間的容量直接影響各級(jí)相位狀態(tài)的動(dòng)態(tài)范圍，累加器存儲(chǔ)空間越大，能承受的相位動(dòng)態(tài)范圍也就越大。因此，累加器字長(zhǎng)的選擇完全取決于各級(jí)相位狀態(tài)的動(dòng)態(tài)范圍要求。在一個(gè)控制周期內(nèi)，若給定動(dòng)態(tài)范圍區(qū)間長(zhǎng)度ΦL，則累加器字長(zhǎng)W2= [W20,W21, …,W2N]T由式(18)進(jìn)行計(jì)算：

第一級(jí)累加器的相位狀態(tài)就是DDS合成器的相位輸出，其累加器字長(zhǎng)W20就等于選擇的量化字長(zhǎng)。

現(xiàn)將提出的任意階DDS合成器的設(shè)計(jì)步驟總結(jié)如下：

1)設(shè)計(jì)者根據(jù)要模擬的多普勒特性需求確定相位多項(xiàng)式的分段間隔、階數(shù)，以及各段區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式；

2)計(jì)算各級(jí)DDS累加器的相位初值；

3)根據(jù)各階特征量的模擬精度要求確定各級(jí)相位初值的量化字長(zhǎng)；

4)根據(jù)各級(jí)相位狀態(tài)的動(dòng)態(tài)范圍確定各級(jí)DDS累加器字長(zhǎng)。

5仿真與驗(yàn)證

在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下，載體接收機(jī)與導(dǎo)航衛(wèi)星之間存在復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。在一個(gè)控制周期內(nèi)，假設(shè)用3階多項(xiàng)式描述其徑向距離的變化：

(19)

式中：d0，v，α，α′分別表示初始時(shí)刻載體接收機(jī)與衛(wèi)星間的徑向距離、速度、加速度、加加速度。若從零時(shí)刻開始，則接收到的GNSS信號(hào)的載波相位表示為：

(20)

假設(shè)具體場(chǎng)景：載波頻率Ω0=2πf0，f0=1.555 GHz；控制周期為100 ms，時(shí)鐘周期為50 μs；運(yùn)動(dòng)模型初始參數(shù)d0,v,α,α′分別為1000 km, 2000 m/s, 1 m/s2, 60 m/s3；各特征量模擬精度要求分別為1 mm, 10 mm/s, 10 mm/s2, 100 mm/s3。為合成如式(20)所示的載波相位，按照所提出的設(shè)計(jì)方法可得DDS合成器的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1　DDS合成器的設(shè)計(jì)參數(shù)

圖2給出了所設(shè)計(jì)的3階DDS信號(hào)合成器的多普勒仿真誤差。由圖表明，設(shè)計(jì)的合成器可以精確模擬多普勒特性的變化，在一個(gè)控制周期內(nèi)，偏差不大于0.1 mHz。隨著時(shí)間的推移，多普勒仿真誤差呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，這是DDS累積誤差逐漸增大所致，但此累積誤差是受控的，在下一個(gè)控制周期參數(shù)更新后將被消除。

在高動(dòng)態(tài)條件下，DDS合成器的階數(shù)是GNSS信號(hào)多普勒模擬精度的決定性因素。式(19)是一個(gè)包含加加速度的運(yùn)動(dòng)模型，若用低于3階的DDS合成器進(jìn)行信號(hào)合成，多普勒仿真精度將會(huì)急劇下降，并且時(shí)間累積越長(zhǎng)，差異越明顯。如圖3所示，在一個(gè)控制周期內(nèi)，2階DDS的多普勒仿真誤差接近1.5 Hz，相對(duì)于3階DDS增大了近15 000倍；而1階DDS的多普勒仿真偏差接近2 Hz，相對(duì)3階DDS增大了近20 000倍。此外，由于采用低階DDS導(dǎo)致的多普勒仿真誤差還會(huì)隨著高階特征量的增大而增大。如圖4所示，當(dāng)加加速度的取值分別為20 m/s3, 60 m/s3, 100 m/s3時(shí)，2階DDS的多普勒仿真誤差隨著加加速度的增大而不斷增大，并且時(shí)間累積越長(zhǎng)，差異越明顯。

圖3　不同DDS階數(shù)下多普勒仿真誤差Fig.3　Doppler simulation error in different DDS orders

圖4　二階DDS在不同加加速度下多普勒仿真誤差Fig.4　Doppler simulation error based on 2-orderDDS in different acceleration rates

6結(jié)論

高動(dòng)態(tài)GNSS信號(hào)多普勒特性的精確模擬是信號(hào)模擬器必須要面臨的一個(gè)關(guān)鍵問題，故提出一種任意階DDS信號(hào)合成器的設(shè)計(jì)方法。基于相位多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了任意階DDS信號(hào)合成器的結(jié)構(gòu)；給出了各級(jí)累加器相位初值的計(jì)算公式；討論了各級(jí)相位初值量化字長(zhǎng)和各級(jí)累加器字長(zhǎng)的選取方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該設(shè)計(jì)方法能精確模擬GNSS信號(hào)的多普勒特性，在一個(gè)控制周期100 ms內(nèi)，多普勒偏移的仿真誤差不大于0.1 mHz。此外，提出的DDS設(shè)計(jì)方法不受階數(shù)的限制，可普遍應(yīng)用于各類信號(hào)模擬器的設(shè)計(jì)。

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Design of any-order direct digital synthesizer for high-dynamic GNSS signal Doppler simulation

ZHOU Chao, WANG Yueke, QIAO Chunjie, DAI Weihua

(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：In order to accurately simulate the Doppler characteristics of high dynamic GNSS signals, a method for designing any-order DDS (direct digital synthesis) signal synthesizer was proposed. An any-order DDS synthesizer structure was designed; a formula for calculating the initial phase of every accumulator in DDS synthesizer was derived by using theoretical analysis; a technique to determine the DDS word length was developed. Finally, the simulation accuracy of the proposed method for the Doppler characteristics of GNSS signals was validated through simulations. In addition, since the proposed method for designing DDS synthesizer has no order limitation, it can be widely used in different types of signal simulators.

Key words：high dynamic; GNSS signal; Doppler; any-order direct digital synthesis

doi:10.11887/j.cn.201603002

收稿日期：2016-01-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201031)

作者簡(jiǎn)介：周超(1988—)，男，貴州貴陽人，博士研究生，E-mail：zhouchaowhu@126.com； 王躍科(通信作者)，男，教授，博士,博士生導(dǎo)師，E-mail：wangyueke@139.com

中圖分類號(hào)：TN967.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2016)03-007-05

http://journal.nudt.edu.cn