●陳　磊

(惠貞書院　浙江寧波　315016)

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向最值更深處漫溯*

●陳磊

(惠貞書院浙江寧波315016)

摘要：文章研究了初等數(shù)學(xué)中一類最值與條件最值問題的解法.以高考真題和模擬題為載體,分析了處理這類問題的幾種方法并給出評注.此外,根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇了較為簡便的方法進(jìn)行闡述.

關(guān)鍵詞：最值;條件最值;通性通法

在高三的復(fù)習(xí)迎考階段,學(xué)生經(jīng)常會碰到一類最值與條件最值問題[1]，這類問題是各地高考、模擬考的熱點(diǎn)問題,其特點(diǎn)在于題干簡潔明了,要求學(xué)生從中找到某字母或者表達(dá)式的取值范圍.在實(shí)際的教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn),學(xué)生并不能靈活地處理這種題型.只因隔著廬山云霧,學(xué)生總認(rèn)不清最值與條件最值的真面目.基于此,筆者將擇要選取常見的幾種通法進(jìn)行闡述.

(浙江省寧波市2016屆十校聯(lián)考試題)

解法1由題意b=1-a，從而

其中a>0.令t=a+1,則

a=t-1,且t∈(1,+∞),

ta2-(t+1)a+t-1=0.

由關(guān)于a的方程有根知

Δ=-3t2+6t+1≥0,

故

點(diǎn)評本題前2種解法均采用化單變量求最值法,其特征為2個(gè)變量之間存在等量關(guān)系.解法1直接通過消元化成單變量.解法2先通過“1”的代換將分式齊次化,然后換元化成單變量,最后結(jié)合基本不等式可輕松求出該代數(shù)式的最值.解法3通過換元得到關(guān)于a,t的等式,將其視作關(guān)于a的方程,利用方程有根求出t的最值[2].解法4利用不等式結(jié)合待定系數(shù)法求得最大值.其中前3種解法較為簡單,解法4則需要一定的技巧和計(jì)算能力.

證明略.

例2設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是______.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

解法1令2x+y=t,則

y=t-2x,

代入4x2+y2+xy=1，得

6x2-3tx+t2-1=0.

由Δ=9t2-24t2+24≥0知

解法2由題意可得

解得

解法3令m=2x+y,n=2x-y,則

由幾何意義知:點(diǎn)(m,n)的軌跡為橢圓,易得

解法4易知4x2+y2+xy=1的圖像為橢圓,令2x+y=t,將其視為直線，由線性規(guī)劃知識可知:當(dāng)直線與橢圓相切時(shí),t取到最值.聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得

6x2-3tx+t2-1=0,

故

點(diǎn)評解法1通過換元得到關(guān)于x,t的等式,將它看作關(guān)于x的方程,利用Δ≥0可解得2x+y的范圍;解法2與解法5為不等式法,分別利用均值不等式與柯西不等式巧妙地解得2x+y的最大值,方法較為便捷,要求學(xué)生具備一定的系數(shù)配湊能力;解法3通過換元尋找?guī)缀我饬x,2x+y的范圍立刻顯現(xiàn);解法4從線性規(guī)劃的角度求得目標(biāo)函數(shù)t=2x+y的最大值,凸顯了幾何意義在解題中的作用.本題中由于方程的特點(diǎn),不推薦利用“化單變量法”求解最值.

拓展2設(shè)x,y為實(shí)數(shù),且滿足a1x2+a2y2+a3xy+a4x+a5y+a6=0,求a7x+a8y(其中ai∈R,1≤i≤8,且i∈N)的最大值.

參考例2的解法1.

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

解法1令2a+b=t,則

b=t-2a,

代入4a2-2ab+4b2-c=0，得

24a2-18ta+4t2-c=0.

由關(guān)于a的方程有實(shí)根知

Δ=182t2-96(4t2-c)≥0,

解法2由題設(shè)知

此時(shí)c=10b2,后同解法1.

解法3由題設(shè)知

由柯西不等式得

即

后同解法1.

由基本不等式得

及

以上2個(gè)式子相加得

即

后同解法1.

例4設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足

則a的取值范圍為______.(2014年浙江省金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考試題)

解法1由方程組可得

利用b2+c2≥2|bc|可得

解上述不等式組可得a∈[1,9].

解法2由方程組可得

則b,c為方程x2±(a-1)x+a2-8a+7=0的2個(gè)根,由Δ=(a-1)2-4(a2-8a+7)≥0可得a∈[1,9].

點(diǎn)評本題為試卷填空題的最后一題,學(xué)生拿到這樣的問題容易慌了手腳,不知從何入手.通過觀察可知：b2+c2與bc這2個(gè)整體都容易只用字母a來表示,從而根據(jù)b2+c2≥2|bc|可得到只關(guān)于字母a的不等式,解出a的范圍即可(即解法1).解法2從方程有根的角度求出參數(shù)a的范圍;解法3雖與解法1類似,但視角不同,在幾何意義下,利用圖像有公共點(diǎn),解法更加直觀,但需注意分類討論.本題化單變量較繁雜,此處不作展開.

例5若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

解法1由幾何意義易知|6-x-3y|=6-x-3y,令z=|2x+y-2|+|6-x-3y|.

圖1

綜上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3.

解法2|2x+y-2|+|6-x-3y|≥

|(2x+y-2)-(6-x-3y)|=

|3x+4y-8|=5d,

(1)

故

|3x+4y-8|≥3,

點(diǎn)評解法1通過分類討論去絕對值,利用幾何意義處理?xiàng)l件最值,從而轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題;解法2利用不等式和幾何意義相結(jié)合的方式求最值,需注意取等條件是否滿足,綜合性較強(qiáng),對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高的要求.

(浙江省紹興市第一中學(xué)2015屆高三回頭考試題)

解先將θ看成常數(shù)，即

不妨設(shè)a>0,sinθ-cosθ>0,則

記t(θ)=t,整理得

結(jié)語解決最值與條件最值的主要方法有:化單變量求最值、看作方程有實(shí)根、由不等式巧計(jì)算、幾何意義顯范圍、主元思想悟通法等.在平時(shí)的教學(xué)中,教師要對這類問題進(jìn)行深度剖析,分析其普遍性與特殊性[3],讓學(xué)生面對它們時(shí)不再“霧里看花、水中望月”,并讓他們體驗(yàn)針對具體題型用哪種方法較為簡便,養(yǎng)成勤于探究的好習(xí)慣.與此同時(shí),學(xué)生可以從中發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)的簡潔美,找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,也許有一天,他們會感覺,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真的好似撐一支長篙,向青草更深處漫溯……

參考文獻(xiàn)

[1]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]李寧,蘇凡文.例析判別式法在解題中的應(yīng)用[J].教學(xué)考試,2015(4):22-24.

[3]曹鳳山.解題教學(xué)——想說愛你不容易[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2013(9):11-14.

修訂日期：*收文日期：2016-04-13；2016-05-20

作者簡介：陳磊(1987-),男,浙江寧波人,中學(xué)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-11-04