●張愛萍

(鑒湖中學(xué)　浙江紹興　312000)

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注重課堂“四問”引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)*

●張愛萍

(鑒湖中學(xué)浙江紹興312000)

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，問題伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.要學(xué)得知識，就要發(fā)問，就要善問，只有這樣，才能取得事半功倍的效果.數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視“設(shè)疑啟問”“善思多問”“深思慎問”“不恥下問”.

關(guān)鍵詞：啟問;多問;慎問;下問

善于提出問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.不能提出問題，就難以獲得知識.那么，怎樣提問，提出什么樣的問題才能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)呢？筆者在教學(xué)中采用如下4種提問方式，收到了良好的教學(xué)效果.現(xiàn)與同行分享.

1設(shè)疑啟問

設(shè)疑啟問可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生的求知欲望和思維動機(jī).據(jù)“題”設(shè)疑，因“題”啟問，不斷地提出“為什么”，開啟智力、獲得真知.

圖1

(新課標(biāo)A版《數(shù)學(xué)(選修1-1)》第52頁)

師：斜率之積是任意正數(shù)呢？

生2：斜率之積是任意正數(shù)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡也是雙曲線.

師：與課本中第2.1節(jié)的例3比較，你有何發(fā)現(xiàn)？

生3：比較后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線AM，BM的斜率之積為正數(shù)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線；當(dāng)直線AM，BM的斜率之積為負(fù)數(shù)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.

生4：當(dāng)直線AM，BM的斜率之積為正數(shù)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為實(shí)軸端點(diǎn)的雙曲線(除去點(diǎn)A，B)；當(dāng)直線AM，BM的斜率之積為負(fù)數(shù)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為長軸端點(diǎn)的橢圓(除去點(diǎn)A，B).

師：哪位同學(xué)還有不同的意見？

(全體學(xué)生愕然.)

師：拿起筆來，看下面的問題：

例2已知A，B是平面上的2個(gè)定點(diǎn),M是動點(diǎn)，直線AM，BM的斜率之積為常數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程并指明曲線形狀.

生5：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-a,0)，(a,0)(其中a>0),點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y)，因此直線AM的斜率為

同理可得，直線BM的斜率為

由已知有

整理得mx2-y2=ma2.

(1)

當(dāng)m=0時(shí)，方程(1)可化為

y=0(其中x≠±a),

曲線是x軸除去點(diǎn)A，B；當(dāng)m=-1時(shí)，方程(1)可化為

x2+y2=a2(其中x≠±a)，

曲線是圓除去點(diǎn)A，B；當(dāng)m<0且m≠-1時(shí)，方程(1)可化為

曲線是橢圓除去點(diǎn)A，B；當(dāng)m>0時(shí)，方程(1)可化為

曲線是雙曲線除去點(diǎn)A，B.

生6：由此得到結(jié)論：平面上與2個(gè)定點(diǎn)連線的斜率乘積為非零常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡是一條有心二次曲線(除去這2個(gè)定點(diǎn)).

當(dāng)常數(shù)為正數(shù)時(shí)，曲線是雙曲線(這2個(gè)定點(diǎn)是雙曲線實(shí)軸端點(diǎn))；當(dāng)常數(shù)為-1時(shí)，曲線是圓(這2個(gè)定點(diǎn)是圓的一條直徑的2個(gè)端點(diǎn))；當(dāng)常數(shù)為不等于-1的負(fù)數(shù)時(shí)，曲線是橢圓(當(dāng)常數(shù)大于-1小于0時(shí)，這2個(gè)定點(diǎn)是橢圓長軸的2個(gè)端點(diǎn)；當(dāng)常數(shù)小于-1時(shí)，這2個(gè)定點(diǎn)是橢圓短軸的2個(gè)端點(diǎn)).

因此，教學(xué)中教師通過設(shè)疑啟問，給學(xué)生提供一個(gè)陌生新穎的問題情境，可充分調(diào)動學(xué)生的積極性，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入探究.探究出來的結(jié)論本身可能并不重要，重要的是探究過程所折射出的思想.

2善思多問

學(xué)生的進(jìn)步在于“善思多問”.愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.”因此，在教學(xué)過程中教師要培養(yǎng)學(xué)生“善思多問”的習(xí)慣.

課后有學(xué)生對例1提出思考：反過來想，如果點(diǎn)A，B分別是圓的同一直徑的2個(gè)端點(diǎn)，M是圓上除A，B外的任意一點(diǎn)，則直線AM，BM的斜率之積又如何呢？于是，筆者把這個(gè)問題帶到了課堂.

生1：當(dāng)AB是圓的一條直徑時(shí)，直線AM，BM的斜率之積是常數(shù)-1.

(此時(shí)學(xué)生的情緒充分調(diào)動起來了.)

生3：經(jīng)過演算：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y)(其中x≠±a)，則直線AM,BM的斜率之積為

生5：也為定值.

生6：是何定值呢？

生8：總的來說，可以得到下面一些結(jié)論：

1)A，B是圓直徑的2個(gè)端點(diǎn)，M是圓上除A，B外的任意一點(diǎn)，則直線AM，BM的斜率之積為定值-1；

政府購買服務(wù)模式適用于內(nèi)河碼頭。這些區(qū)域船舶規(guī)模小、船員環(huán)保意識差，在現(xiàn)階段需要由政府提供船舶污染物接收處置的公共服務(wù)，而政府出資簽約民營單位提供公共服務(wù)的做法符合我國政府改革的方向。通常政府購買服務(wù)模式的地區(qū)實(shí)行船舶污染物免費(fèi)接收的政策。

(學(xué)生的思維又活躍起來了，有的說是，有的說否，莫衷一是，眾說紛紜).

生11：由此，得到如下結(jié)論：A，B是有心二次曲線同一直徑的2個(gè)端點(diǎn)，M是二次曲線上任意一點(diǎn)，若直線AM，BM的斜率都存在，則直線AM，BM的斜率之積為定值.

生12：能證明一下嗎？

教學(xué)中，對于學(xué)生提出的見解要用欣賞的眼光去看待，好的見解要鼓勵(lì)其深入挖掘，不惜調(diào)整教學(xué)進(jìn)度；對學(xué)生提出的不成熟想法要指出其問題所在，不能鄙視.這樣，才能張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，培養(yǎng)其發(fā)散和創(chuàng)新思維能力.

3深思慎問

如果說“善思多問”是強(qiáng)調(diào)對學(xué)問的態(tài)度和問的全面性的話，那么，“深思慎問”則是在強(qiáng)調(diào)“態(tài)度”的同時(shí)，還關(guān)照到問的方式.慎，小心謹(jǐn)慎；深，深思熟慮.深思慎問，就是要謹(jǐn)慎小心地思考求證，詳盡細(xì)致地探究追問[1].

生1：對于中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法求解，即設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),并代入橢圓C的方程得

即

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以

x1+x2=2，y1+y2=2，

師：非常好！如果我們將此問題的條件推廣到一般形式，還能得到什么樣的結(jié)論？

師：能否給出證明？

2個(gè)式子相減除以2，整理得

從而

師：那么對于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓是否存在相同的結(jié)論呢？

師：利用此結(jié)論，例3就可以快速求解.

師：請同學(xué)們課后思考：如果將曲線改為雙曲線或拋物線，是否存在類似的結(jié)論？注意拋物線焦點(diǎn)的位置有4種不同的情況.

教學(xué)中對于本例的處理，并沒有因問題得到解答而終止.教師通過深思慎問，將條件拓展到一般情況，并將結(jié)論推廣到不同的曲線方程式，既豐富了課堂探究活動內(nèi)容，又促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展.

4不恥下問

圖2

唐代大文學(xué)家韓愈說：“人非生而知之者，孰能無惑？”可見，任何人都不可能生而知之、洞察一切，必然會存在疑問.有疑問，向老師、向行家請教從而解決問題，這只是一般意義上的“問”；較難做到的是，不僅要向比自己強(qiáng)的人問，還要放下架子向不如自己的人請教.

()

A.2B.3C.4D.5

在此題的講解中筆者采用解析法，即設(shè)直線AB方程為

與拋物線方程y2=2px聯(lián)立，消去y得含有x的一元二次方程，結(jié)合判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線的定義

得出了最終的結(jié)論，但運(yùn)算過程較為繁瑣.

(筆者發(fā)現(xiàn)生1躍躍欲試，但欲言又止.)

師：生1，你對此題有什么好的解法，給我們講一講！

生1：我用平面幾何方法求解，如圖2，過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線AC,BD，過點(diǎn)B作AC的垂線BE.由拋物線的定義知

|AC|=|AF|，|BF|=|BD|，

又|AE|=|AC|-|CE|，|CE|=|BD|，從而

|AE|=|AF|-|BF|.

在△ABE中，因?yàn)椤螦Fx=60°,所以

故

對于學(xué)生的解法，筆者給出了“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”的肯定評價(jià).解析幾何問題的常規(guī)處理方法是解析法，但并沒有脫離其平面幾何性質(zhì).此視角不僅提高了學(xué)生的解題能力，也使筆者對相關(guān)題目的求解有了更深刻的認(rèn)識.利用此法，學(xué)生順利完成了以下例5的解答.

例5在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與該拋物線相交于點(diǎn)A,B,其中點(diǎn)A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°,則△OAF的面積為______.

筆者經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生要“不恥下問”：一是鼓勵(lì)優(yōu)等生向比自己差的同學(xué)問，只要有一次問題解決了，學(xué)習(xí)“差生”就會自信，就會敢于面對問題與解決問題，久而久之，學(xué)習(xí)“差生”就會向?qū)W習(xí)優(yōu)等生轉(zhuǎn)化.孔子就曾師“郯子、萇弘、師襄、老聃”，盡管這些人“賢不如孔子”，但孔子仍“敏而好學(xué)，不恥下問”.二是鼓勵(lì)學(xué)習(xí)“差生”向?qū)W習(xí)優(yōu)等生“問”，只有“問”，才能提高自己，迎頭趕上.

參考文獻(xiàn)

[1]張凱．初中數(shù)學(xué)教學(xué)要“三問”[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2009(4)：29．

[2]劉會彪．圓錐曲線綜合題破障的通法及應(yīng)對策略[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016(1)：43-45．

修訂日期：*收文日期：2016-04-10；2016-05-10

作者簡介：張愛萍(1981-)，女，浙江紹興人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-18-04