徐衛(wèi)敏，雷　霆

(1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 311231；2.上海容承企業(yè)管理有限公司，上海 210052)

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基于三次B樣條多項式逼近的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度概率評估方法

徐衛(wèi)敏1，雷霆2

(1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 311231；2.上海容承企業(yè)管理有限公司，上海 210052)

確定混凝土表面裂縫寬度及其影響因素對海洋環(huán)境中的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評估和設(shè)計非常關(guān)鍵，可作為沿海鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)使用壽命的測度。在此提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評估的概率方法。將混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度達(dá)到容許值的時間定義為失效時間，基于三次B樣條多項式逼近方法獲得了與各隨機變量相對應(yīng)的失效時間的均值和變異系數(shù)。結(jié)果表明，當(dāng)鋼筋直徑和銹蝕電流密度均服從正態(tài)分布時，失效時間分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布；保護(hù)層厚度、混凝土抗拉強度和彈性模量的變異性對失效時間幾乎沒有影響。最后，定量評價了鋼筋直徑和銹蝕電流密度對失效時間的影響。

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)；表面裂縫寬度；評估；概率方法

沿海地區(qū)的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)長期處于氯離子含量較高的環(huán)境中，氯離子侵蝕引起鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的嚴(yán)重銹蝕，主要表現(xiàn)為混凝土結(jié)構(gòu)表面出現(xiàn)大量裂縫并伴隨著部分保護(hù)層剝落，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)性能不斷退化[1]。結(jié)構(gòu)加固和維修不僅費用昂貴，而且給公眾帶來諸多不便[2]。在實際工程中，正常使用極限狀態(tài)下以混凝土保護(hù)層的銹脹開裂作為鋼筋混凝土構(gòu)件壽命終結(jié)的標(biāo)志，通常將混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度作為結(jié)構(gòu)加固和維修的依據(jù)。因此，需對氯離子侵蝕導(dǎo)致結(jié)構(gòu)開裂的過程進(jìn)行研究，觀測裂縫的發(fā)展并確定裂縫寬度，分析其主要影響因素，這對于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化維修策略的制訂起著重要的作用。

國內(nèi)外學(xué)者針對氯離子侵蝕引發(fā)混凝土結(jié)構(gòu)表面開裂方面展開了大量的研究，理論分析大多基于有限法確定銹脹力并預(yù)測開裂后的混凝土性能，Molina等人將混凝土模擬成線性材料，研究混凝土中裂縫的擴(kuò)展[3]。鄭建軍等人考慮混凝土的軟化特性，導(dǎo)出了混凝土保護(hù)層銹脹開裂的解析解[4]。Li等人進(jìn)一步提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度的計算模型[5]。王海龍等人基于鋼筋均勻銹蝕時混凝土的開裂試驗現(xiàn)象建立了混凝土保護(hù)層開裂的計算模型，考慮了混凝土和鋼筋的實際變形情況以及混凝土界面中的原始裂紋與缺陷，裂紋在鋼筋銹蝕膨脹作用下的起裂、擴(kuò)展情況，利用斷裂力學(xué)和彈性力學(xué)得到了混凝土保護(hù)層開裂時鋼筋的膨脹力和均勻銹蝕率的理論預(yù)測模型[6]。實驗研究中，為了在較短的時間內(nèi)獲得實驗數(shù)據(jù)，大多采用各種方法加速鋼筋銹蝕[7-8]。如Andrade等利用電流密度加速法測得混凝土表面裂縫寬度值隨時間的發(fā)展，并確定鋼筋截面的減少量與裂縫寬度間的關(guān)系[1]。以上這些研究均基于確定性方法，沒有考慮混凝土材料性能和外界環(huán)境因素的變異性。程功等人利用Monte-Carlo方法提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評估的概率方法。計算表明，為了達(dá)到穩(wěn)定的計算結(jié)果，需要進(jìn)行大量次數(shù)的模擬[9]。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)各變量的統(tǒng)計特征，利用三次樣條函數(shù)對裂縫寬度進(jìn)行擬合，提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度概率評估方法。

1　混凝土表面裂縫寬度計算

為了方便起見，在分析混凝土保護(hù)層受力特性時，通常將它簡化成如圖1所示由鋼筋和混凝土保護(hù)層所組成的厚壁圓筒[4,10]。圖1中，D表示鋼筋直徑，C表示混凝土保護(hù)層厚度，該圓筒內(nèi)外半徑分別為a=D/2和b=D/2+C。當(dāng)混凝土中的鋼筋銹蝕后，鐵銹厚度ds(t)是時間、鋼筋直徑和銹蝕電流密度的函數(shù)，可通過實驗和理論分析來確定[7]。根據(jù)程功等人的理論推導(dǎo)[9]，混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度為

(1)

圖1　混凝土保護(hù)層計算模型

2　三次B樣條函數(shù)基本理論

設(shè)[a,b]為給定三次樣條函數(shù)逼近區(qū)間，且對區(qū)間[a,b]有剖分等距Δ：a=x0

(2)

節(jié)點xk上的B樣條基函數(shù)Bk(x)可以由B0(x)向右移動k個節(jié)點確定，即Bk(x)=B0(x-kh+x0)?；瘮?shù)Bk-1(x)、Bk(x)、Bk+1(x)以及Bk+2(x)如圖2所示。值得指出是，這4個基函數(shù)在區(qū)間[xk,xk+1]上均不為零。

圖2　三次B樣條函數(shù)基函數(shù)

節(jié)點x0上的樣條函數(shù)基函數(shù)B0(x)的二階導(dǎo)數(shù)B″0(x)可以表示為：

(3)

同樣地，節(jié)點xk上的B樣條基函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)B″k(x)可以由B″0(x)向右移動k個節(jié)點確定。

區(qū)間[x0,xn]上的函數(shù)三次樣條函數(shù)S(x)可以表示為B樣條基函數(shù)的線性組合，即

(4)

由于基函數(shù)B-1(x)在區(qū)間[x0，x1]、基函數(shù)Bn+1(x)在區(qū)間[xn-1,xn]不為零，因此式(4)求和考慮了B-1(x)與Bn+1(x)對樣條函數(shù)S(x)的影響。

對于隨機變量X概率密度函數(shù)fx(x)，如果區(qū)間[a,b]取得足夠大，可以假定區(qū)間[a,b]外的函數(shù)值為0。因此，根據(jù)連續(xù)性要求，區(qū)間[a,b]兩端樣條函數(shù)S(x)假設(shè)滿足以下條件：

(5)

根據(jù)B樣條基函數(shù)特點，在節(jié)點x0處，S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+C1B1(x0)。B-1(x0)、B1(x0)可由基函數(shù)B0(x)計算得到，即

(6)

這樣就得到

0=S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+

(7)

整理得，

C-1+4C0+C1=0

(8)

同理有，

Cn-1+4Cn+Cn+1=0

(9)

節(jié)點x0上樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)S″(x0)=C-1B″-1(x0)+C0B″0(x0)+C1B″1(x0)，B″-1(x0)、B″1(x0)可由基函數(shù)B″0(x)計算得到，即

(10)

這樣就得到

0=S(x0)=C-1B-1(x0)+C0B0(x0)+

C1B1(x0)=h(c-1-2C0+C1)

(11)

整理得，

C-1-2C0+C1=0

(12)

同理有，

Cn-1-2Cn+Cn+1=0

(13)

方程(8)、(9)和方程(12)、(13)共建立4個條件，剩余的n+3-(4)=n-1個條件可由隨機變量X的前(n-1)階矩確定。由于高階矩在數(shù)值上存在不穩(wěn)定性，本文在計算中采用前四階矩。

隨機變量X的k次矩μk定義為：

(14)

利用樣條函數(shù)S(x)近似逼近概率密度函數(shù)fx(x)，則μk可以表達(dá)為

(15)

3　失效時間的統(tǒng)計特征和擬合

本文將表面裂縫寬度達(dá)到該容許值所對應(yīng)的時間定義為失效時間tf。當(dāng)混凝土保護(hù)層完全開裂后，表面裂縫成為氯離子擴(kuò)散的新通道，加速鋼筋銹蝕，導(dǎo)致表面裂縫寬度進(jìn)一步增大?；谶@一點，建筑規(guī)范中通常規(guī)定混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度的容許值wa作為結(jié)構(gòu)加固和維修的依據(jù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式和環(huán)境條件，wa值一般在0.1～0.4mm之間，而美國ACI規(guī)范規(guī)定該值為0.3mm[1]。因此，本文在下面分析中，wa一律取為0.3mm。

由上述理論分析可知，影響tf的主要因素包括保護(hù)層厚度、鋼筋直徑、銹蝕電流密度、混凝土彈性模量和抗拉強度，在實際工程中他們往往具有一定的變異性。我們發(fā)現(xiàn)保護(hù)層厚度、混凝土抗拉強度和彈性模量變異性對tf幾乎沒有影響，在下面的分析中一律將它們看成是常數(shù)。因此本文僅對主要影響因素保護(hù)層厚度、鋼筋直徑和銹蝕電流密度進(jìn)行分析，且均假設(shè)它們服從正態(tài)分布，其均值和變異系數(shù)見表1。在該表中，N()指變量服從正態(tài)分布，LN()指變量服從對數(shù)正態(tài)分布。

表1　各物理參數(shù)和tf的均值和變異系數(shù)

基于三次B樣條函數(shù)逼近tf概率密度函數(shù)的計算步驟可歸納如下：

(1)根據(jù)基本隨機變量X的統(tǒng)計特征，對tf進(jìn)行抽樣；

(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，計算tf統(tǒng)計數(shù)字特征，即各階矩；

為了定量評價各參數(shù)對失效時間tf的影響，在下面的分析中，每次設(shè)其中一個參數(shù)服從正態(tài)分布，其余參數(shù)為定值，其數(shù)值等于它們各自的均值。

4　鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性的影響

應(yīng)用三次B樣條擬合算法可獲得由鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性引起的tf的概率密度函數(shù)P，其結(jié)果見圖3～6，相應(yīng)的均值和變異系數(shù)見表1。從這4張圖可以看出，tf近似服從對數(shù)正態(tài)分布。為了進(jìn)一步驗證這一結(jié)論，利用上述采樣所求得的均值和方差可獲得相應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布擬合，其結(jié)果見圖3～6，從而可以看出，證實tf確實近似服從對數(shù)正態(tài)分布。

圖3　由D的變異性引起的tf的概率密度函數(shù)

圖4　由D的變異性引起的tf的累積分布函數(shù)

圖5　由icorr變異性引起的tf的概率密度函數(shù)

圖6　由icorr變異性引起的tf的累積分布函數(shù)

5　鋼筋直徑和銹蝕電流密度變異性對失效時間的影響

在分析鋼筋直徑D的變異性對tf的影響時，先設(shè)D的變異系數(shù)δD=0.15，可得到tf的均值Mtf與D的均值MD之間的關(guān)系，其結(jié)果見圖7；再設(shè)MD=16 mm，同樣可得到δtf與δD之間的關(guān)系，其結(jié)果見圖8。從圖7和圖8可以看出，Mtf和δtf分別隨著MD和δD的增大而幾乎線性增大，一方面表明由于鐵銹厚度與鋼筋直徑成反比，增大鋼筋直徑可有效地延長失效時間；另一方面也表明在設(shè)計中可以通過減小D的變異性來控制tf的變異性。進(jìn)一步數(shù)值分析表明，當(dāng)鋼筋直徑的均值MD從8 mm增大到20 mm時，Mtf增大149%。

在分析銹蝕電流密度的變異性對tf的影響時，先設(shè)銹蝕電流密度的變異系數(shù)δi=0.15，可得到Mtf和銹蝕電流密度的均值Mi之間的關(guān)系，其結(jié)果見圖9；再設(shè)Mi=2.41 μA/cm2，同樣可得到δtf與δi之間的關(guān)系，結(jié)果見圖10。從圖9、圖10可以看出，由于鐵銹厚度隨銹蝕電流密度的增大而增大，Mtf隨著Mi的增大而減小，而δtf則隨著δi的增大而幾乎線性增大。進(jìn)一步的數(shù)值分析表明，當(dāng)銹蝕電流密度均值從1.79 μA/cm2增大到3.75 μA/cm2時，Mtf減小52%。

圖7　Mtf和MD的關(guān)系

圖8　δtf和δD的關(guān)系

圖9　Mtf和Mi的關(guān)系

圖10　δtf和δi的關(guān)系

6　結(jié)　語

本文通過研究得到如下主要結(jié)論：

1)基于混凝土開裂后的控制方程，提出了混凝土結(jié)構(gòu)表面裂縫寬度評估的概率方法。

2)數(shù)值模擬結(jié)果證實，當(dāng)鋼筋直徑和銹蝕電流密度均服從正態(tài)分布時，失效時間分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

3)當(dāng)鋼筋直徑的均值從8mm增大到20mm時，失效時間增大149%；當(dāng)銹蝕電流密度的均值從1.79μA/cm2增大到3.75μA/cm2時，失效時間減小52%。

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Appraisal Method of the Width Probability of Cracks on theSteel Reinforced Concrete Structure Surface Based on theApproximation of Triple B Spline Multinomial

XU Weimin1, LEI Ting2

2016-04-13

徐衛(wèi)敏(1982—)，女，浙江臺州人，工程師，從事建筑結(jié)構(gòu)教學(xué)工作。

TU375

A

1008-3707(2016)06-0005-05