段　汕，謝英華，方自成，婁聯(lián)堂

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

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一種基于骨架的形狀比較投影算子

段汕，謝英華，方自成，婁聯(lián)堂

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

摘要研究了一種可用于形狀比較的投影算子．該算子以骨架作為算子構(gòu)成的基本要素，通過結(jié)構(gòu)半徑函數(shù)獲得目標(biāo)圖像在已知骨架上的投影，以實(shí)現(xiàn)圖像間形狀和模式的比較.動(dòng)態(tài)參數(shù)的引入使算子具有平移不變的功能，以克服算子對(duì)骨架位置的依賴.在此基礎(chǔ)上相關(guān)系數(shù)的建立則可用于度量圖像形狀間的相似程度．

關(guān)鍵詞骨架；投影算子；相關(guān)系數(shù); 半徑函數(shù)

骨架在Serra的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[1](MM)中是對(duì)圖像幾何結(jié)構(gòu)一種類似于基底的重要描述，是對(duì)圖像充分細(xì)化所產(chǎn)生的架狀結(jié)構(gòu)信息，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的分解、重構(gòu)、以及最優(yōu)變換描述．基于MM的骨架提取方法充分體現(xiàn)了MM中形態(tài)算子對(duì)幾何形狀探測(cè)和描述的強(qiáng)大作用．

空間結(jié)構(gòu)上，MM中的結(jié)構(gòu)元素或結(jié)構(gòu)元素序列類似于各類空間的基底，可以起到對(duì)其內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述和提取的作用．Pyt′ev的形態(tài)圖像分析[2](PM)采用投影算子作為其分析的重要工具，與泛函分析的理論密切相關(guān)，是對(duì)圖像進(jìn)行分析、比較、配準(zhǔn)的重要基礎(chǔ)，它通過投影算子實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的特征分解或形狀描述，以起到對(duì)圖像分析及綜合的目的．可以說(shuō)PM中投影算子的作用類似于MM中的腐蝕和膨脹的復(fù)合所產(chǎn)生的開、閉算子所起到的對(duì)圖像的近似描述和結(jié)構(gòu)分析的作用．

本文在文獻(xiàn)[3-6]的基礎(chǔ)上，研究了一種帶動(dòng)態(tài)參數(shù)的形態(tài)比較投影算子．該算子以骨架作為算子構(gòu)成的基本要素，將通過結(jié)構(gòu)半徑函數(shù)獲得的目標(biāo)圖像在已知骨架上的投影作為目標(biāo)圖像的近似，以實(shí)現(xiàn)圖像間形狀和模式的比較．該算子克服了對(duì)骨架位置的依賴，可以通過相關(guān)系數(shù)的建立計(jì)算圖像的相似程度．

1骨架的形式化描述方法

骨架是圖像幾何形態(tài)的一種重要拓?fù)涿枋觯眠@種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像內(nèi)在結(jié)構(gòu)的探究是一個(gè)重要的研究方向．在討論二值圖像骨架的形式化描述方法前，首先引入一些基本的符號(hào)說(shuō)明．

n維歐氏空間E=Rn的冪集P(Rn)在集合的包含關(guān)系“?”下構(gòu)成一個(gè)完備的布爾格[7]L={P(Rn),?}，將L作為二值圖像的模型空間，則任何二值圖像及其空間域可以分別由一個(gè)二值圖像B(p)和一個(gè)模式集合B表示：

B(p):E→{0,1};B={p∈E|B(p)=1};

p=(xp,…，yp)∈E.

顯然，模式集合B是二值圖像B(p)的等價(jià)表示．

在L中引入?yún)?shù)化的模式集合[3]G(R)，其中R=R-∪{0}∪R+是一個(gè)擴(kuò)展的實(shí)數(shù)集合，R-=(-∞,0),R+=(0,+∞)：

G(R)={G(r)∈L|r∈R},G(R)?L.

(1)

其滿足條件：①?r∈R-,G(r)=? (空集)；G(0)=(0,0,…，0)=o；G(+∞)=E;②?r,t∈R,r0,G(0)?G(r)．稱G(r)為結(jié)構(gòu)函數(shù)[1]，它們均包含空間的原點(diǎn)．

將結(jié)構(gòu)函數(shù)G(r)關(guān)于向量p=(xp,…,yp)∈E方向的平移變換記為：

G(r)(p)={(xr+xp,…，yr+yp)|(xr,…,yr)∈

G(r)}=G(p,r).

顯然G(p,0)={p}，G(o,r)=G(r)，p∈G(p,r),?r≥0；G(p,r)=?,?r<0．由此產(chǎn)生一個(gè)G(R)基于平移變換的結(jié)構(gòu)函數(shù)序列G(E,R)={G(p，r)|p∈E,r∈R}它構(gòu)成L上的一個(gè)完備形態(tài)分解基[6]．

性質(zhì)1二值圖像模型空間L中的任一圖像A∈L均可以表示成為：

(2)

特別地，(2)式中若取r=0時(shí)，則得出圖像A的點(diǎn)表示形式：

若將平移向量p取為零向量o，則圖像A表現(xiàn)為G結(jié)構(gòu)函數(shù)：

其中rA=sup{r|G(r)?A}．(2)式稱為圖像A的基于結(jié)構(gòu)函數(shù)序列G(E,R)的形態(tài)分解，或圖像A的G結(jié)構(gòu)形態(tài)分解，顯然這一分解式具有較大的冗余．為此，引入最大結(jié)構(gòu)基元的概念．

(3)

圖像A的以上表示形式包含著豐富的G結(jié)構(gòu)信息，它表明可以利用圖像的G骨架信息實(shí)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)分解和重構(gòu)．

若將G(r)設(shè)置為圓心在原點(diǎn)o、半徑為r的圓盤D(r)，D(r)(p)=D(p,r)是圓心在點(diǎn)p、半徑為r的圓盤，D(R)={D(p,r)|p∈E,r∈R}構(gòu)成一個(gè)完備的圓盤分解基，由此可產(chǎn)生基于圓盤結(jié)構(gòu)函數(shù)的Serra骨架理論[1]．

2基于骨架的形態(tài)投影算子

投影算子的理論在空間分解及特征描述和提取中具有重要的意義和作用，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)空間的唯一劃分或元素的唯一表示．投影算子的一個(gè)重要特征是具有等冪性，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)對(duì)象在投影空間的近似描述．將骨架作為基本的投影框架，可引入圖像間的投影算子，作為圖像的一種近似表示．

在表達(dá)式(3)中將二值圖像B的G骨架植入圖像A[3]，定義：

(4)

性質(zhì)2的證明如下：

圖1　投影算子(A)(?A)對(duì)B骨架位置的依賴性Fig.1　Dependence of the projection operator(A)(?A)to B skeleton position

3基于骨架的動(dòng)態(tài)投影算子

(5)

引理2①如果B?C，則Bh?Ch；②τh(SG(B))=SG(Bh)．

證明結(jié)論①是顯然的，只須證明結(jié)論②．注意到，τh(G(p,r))=G(p+h,r)，有：

由此可知，(5)式還可以表示為：

(6)

4模式集合與動(dòng)態(tài)投影算子

ΩB(∑,h)={ΩB(σ,h)|σ∈∑},

(7)

p∈SG(Bh)}.

(8)

則由上面的討論知，下面的性質(zhì)6是成立的.

圖2　投影算子?A∩BFig.2　Projection operator(A,h)?A∩B

Bh⊕G(bA)=τh(B⊕G(bA))．

表現(xiàn)為Serra在G結(jié)構(gòu)函數(shù)意義下關(guān)于Bh的膨脹[7]，見圖3．

圖3　具有膨脹功能的投影算子Fig.3　Projection operator with the function of dilation

表現(xiàn)為Serra在G結(jié)構(gòu)函數(shù)意義下關(guān)于Bh的腐蝕[7]，見圖2．

P(A,ΩB(∑,h)).

(9)

由此可見，Serra在G結(jié)構(gòu)函數(shù)意義下的腐蝕和膨脹均為B模式的σ集．這也說(shuō)明基于投影意義下的PM投影算子與Serra的MM形態(tài)算子是具有相關(guān)性的算子，盡管它們是從不同的角度、背景、基于不同的數(shù)學(xué)理論提出來(lái)的．

利用以上的討論，依據(jù)(7)式和(9)式，算子(4)可以修正為：

5一個(gè)特例

在以上討論的基于結(jié)構(gòu)函數(shù)序列G(E，R)的G骨架SG(A)以及相關(guān)的投影算子(4)的問題中，如果將G(r)取為R2中以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓盤，記為D(r)，則D(R)={D(r)|r∈R}構(gòu)成一個(gè)圓盤結(jié)構(gòu)函數(shù)序列．D(r)(p)=D(p,r)則表現(xiàn)為中心在點(diǎn)p、半徑為r的圓盤．此時(shí)，基于平移變換的結(jié)構(gòu)函數(shù)序列：

D(E,R)={D(p,r)|p∈E,r∈R}．

是一個(gè)完備的圓盤分解基，其骨架表現(xiàn)為Serra意義下的最大圓盤骨架(圖4)．若將關(guān)于集合的標(biāo)量積運(yùn)算記為aA={ap|p∈A,a∈R+}，可以證明下面的幾個(gè)性質(zhì)．

圖4　最大圓盤骨架Fig.4　Maximal disk skeleton

性質(zhì)7對(duì)于a≥0,①aD(r)=D(ar);②aD(p,r)=D(ap,ar);③D(ap,ar)?aA?D(p,r)?A．

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[7]HeijmansH.Morphologicalimageoperator[M].Boston:AcademicPress,1994：17-96.

AnMorphologicalShapeComparisonProjectionOperatorBasedonSkeleton

Duan Shan,Xie Yinghua,Fang Zicheng,Lou Liantang

(CollegeofMathematicsandStatistics,South-CentralUniversityforNationalities,Wuhan430074,China)

AbstractInthispaper,theprojectionoperatorusedformorphologicalshapecomparisonisdiscussed.Skeletonisthebasicelementtoconstitutetheoperator.Withthestructureradiusfunction,theoperatorcanobtaintheprojectionoftargetimageontheknownskeletoninordertocompareshapeandpatternbetweenimages.Theoperatorwithdynamicparameterhasthefunctionoftranslationinvariant,whichcanovercomeitsdependenceonthepositionofskeleton.Basedontheseresults,thecorrelationcoefficientcanbeusedtomeasurethesimilarityofimages.

Keywordsskeleton;projectionoperator;correlationcoefficient;radiusfunction

收稿日期2016-03-14

作者簡(jiǎn)介段汕(1962-),女,教授,博士,研究方向:數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理,E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

基金項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085；11301552)

中圖分類號(hào)O144.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1672-4321(2016)02-0141-05