王彥飛，代彩紅，吳志峰，陳斌華, 2

1. 中國計(jì)量科學(xué)研究院，光學(xué)與激光計(jì)量科學(xué)研究所，北京 100029 2. 北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京 100081

光譜儀測量窄帶寬光源光譜分布的七點(diǎn)修正法

王彥飛1，代彩紅1，吳志峰1，陳斌華1, 2

1. 中國計(jì)量科學(xué)研究院，光學(xué)與激光計(jì)量科學(xué)研究所，北京 100029 2. 北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京 100081

針對(duì)光譜儀在測量窄帶寬光源的光譜分布時(shí)出現(xiàn)的光譜變形現(xiàn)象，提出了一種帶寬修正方法—七點(diǎn)修正方法。首先，利用泰勒級(jí)數(shù)和相關(guān)的導(dǎo)數(shù)公式，得到了七點(diǎn)修正公式的數(shù)學(xué)解析式； 其次，用光譜線型為正弦函數(shù)的模擬光譜對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行驗(yàn)證，采用正弦函數(shù)來模擬真實(shí)光譜，通過光譜儀的帶寬函數(shù)計(jì)算出測量值，然后應(yīng)用七點(diǎn)修正公式，對(duì)測量值進(jìn)行修正； 最后利用中心波長為365 nm的LED光源對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，用雙光柵單色儀來測量LED光源的光譜輻射照度，光譜儀帶寬分別選為5與0.5 nm，將七點(diǎn)修正公式應(yīng)用于測量值，得到修正值。模擬結(jié)果表明： 在選定的模擬條件下，修正后得到的中心波長處的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的99%以上； 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明： 修正后中心波長處的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的95%以上。由模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，七點(diǎn)修正法與三點(diǎn)修正法和五點(diǎn)修正法相比，修正效果有明顯提升，這種帶寬修正方法可以廣泛應(yīng)用在光譜測量領(lǐng)域。

光譜儀； 帶寬函數(shù)； 七點(diǎn)修正法； 光譜分布

引 言

光譜測量在輻射度學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-3]。而如何將窄帶寬的光譜測量準(zhǔn)確一直是一個(gè)難題。通過原子濾光器，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了帶寬接近于自然線寬的超窄線寬光譜[4-5]。可以通過使用帶寬足夠窄的掃描式光譜儀將窄帶寬光源的光譜測量準(zhǔn)確，掃描式光譜儀是通過改變?nèi)肷洫M縫和出射狹縫的寬度來改變光譜儀帶寬的，然而光譜儀的帶寬是有限的，并不能任意窄，這是因?yàn)楠M縫寬度越窄，信號(hào)越小，信噪比也越小，當(dāng)信號(hào)已經(jīng)足夠小時(shí)，此時(shí)若進(jìn)一步減小狹縫寬度，信噪比將不能滿足測量要求[6]。有限帶寬的光譜儀測量窄帶寬光源的光譜時(shí)，常會(huì)有嚴(yán)重的變形，因此，如何將測量結(jié)果通過數(shù)學(xué)修正得到真實(shí)值的近似值也顯得尤為重要。

如何準(zhǔn)確測量窄帶寬光源光譜分布一直是光學(xué)計(jì)量領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題。早在1956年，美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的科研人員就指出，在測量線狀光譜特性時(shí)，有限帶寬的光譜儀會(huì)帶來光譜的變形，這一影響必須要考慮[7]。為了滿足行業(yè)上對(duì)光譜儀帶寬修正的需求，國際照明委員會(huì)(CIE)專門成立了技術(shù)委員會(huì)(TC2-60)，負(fù)責(zé)對(duì)此類問題進(jìn)行研究和指導(dǎo)。有幾種修正方法已經(jīng)被提出[8-13]，最常用的就是S-S方法[8]，這種方法是在1988年由Stearns EI和Stearns RE共同提出的，此方法適用于帶寬函數(shù)是三角型函數(shù)并且采樣間隔等于帶寬的情況，一般來說，掃描式單色儀屬于這種情況。S-S方法最終得到五點(diǎn)修正公式及三點(diǎn)修正公式，五點(diǎn)修正公式是通過該點(diǎn)測量值及左右相鄰各兩點(diǎn)的測量值加權(quán)平均得到真實(shí)值，三點(diǎn)修正公式是通過該點(diǎn)測量值及左右相鄰各一點(diǎn)的測量值加權(quán)平均得到真實(shí)值。然而，S-S方法僅適用于帶寬函數(shù)是三角型函數(shù)并且采樣間隔等于帶寬的情況，對(duì)于不滿足這兩點(diǎn)的測量結(jié)果是無法使用S-S方法修正的。英國國家物理實(shí)驗(yàn)室(NPL)的科研人員Woolliams等提出了一種新的修正方法，得到了五點(diǎn)修正公式和三點(diǎn)修正公式，這種方法無帶寬函數(shù)和測量步長的要求，文章還對(duì)這種修正方法進(jìn)行了模擬驗(yàn)證[11]。德國聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(PTB)的科研人員提出了對(duì)光譜儀帶寬函數(shù)以及雜散光同時(shí)進(jìn)行修正的方法[12]。PTB的科研人員又將Richardson-Lucy方法應(yīng)用到光譜儀帶寬修正中[13]。

本文基于微分求積法提出了光譜儀帶寬函數(shù)的七點(diǎn)修正法，七點(diǎn)修正法是指利用該點(diǎn)測量值和左右相鄰各三點(diǎn)測量值加權(quán)得到該點(diǎn)真實(shí)值的近似值的一種修正方法。利用泰勒級(jí)數(shù)展開和相關(guān)的導(dǎo)數(shù)公式，得到了七點(diǎn)修正公式的數(shù)學(xué)解析式，用光譜線型為正弦函數(shù)的模擬光譜對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行驗(yàn)證； 最后利用中心波長為365 nm的LED光源對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 理論推導(dǎo)

帶寬修正的目的是通過測量值得到真實(shí)的光譜，所謂真實(shí)光譜是指使用無噪聲并且?guī)挓o限窄的光譜儀所測得的光譜。七點(diǎn)修正公式的推導(dǎo)是基于微分求積法得出的[11, 14-17]。真實(shí)光譜與測量光譜分別使用S(λ)與M(λ)表示，光譜儀的帶寬函數(shù)用b(λ)表示，則測量值與真實(shí)值的關(guān)系為

(1)

其中M(λ0)表示λ=λ0處的測量值。真實(shí)值S(λ)可以在λ=λ0處用泰勒級(jí)數(shù)展開的形式表示如下

(2)

其中，S(n)(λ)表示S(λ)的n階導(dǎo)數(shù)。為了便于書寫，使用以下記號(hào)

(3)

測量值可以寫為

(4)

利用以上公式可以得到

(5)

其中，M(λ0)的各階導(dǎo)數(shù)可以通過導(dǎo)數(shù)理論推導(dǎo)得出[14]，系數(shù)A可以表示為

(6)

將式(6)與M(λ0)的各階導(dǎo)數(shù)帶入表達(dá)式(5)，并且將M(λ0)的七階及以上的高階導(dǎo)數(shù)省略，即可得到七點(diǎn)修正公式，如下所示

(7)

式中，cn為各點(diǎn)測量值Mn的系數(shù)，h為測量步長。

2 模擬驗(yàn)證

為了驗(yàn)證七點(diǎn)修正公式，在本節(jié)我們將采用正弦函數(shù)來模擬真實(shí)光譜，通過光譜儀的帶寬函數(shù)可以計(jì)算出測量值，然后應(yīng)用七點(diǎn)修正公式，對(duì)測量值進(jìn)行修正。為了簡便起見，在數(shù)值模擬驗(yàn)證和下一節(jié)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中將噪聲的影響忽略。

本節(jié)模擬驗(yàn)證中的光譜儀，我們選擇帶寬函數(shù)為三角型函數(shù)的掃描式單色儀。圖1所示為帶寬為5 nm的標(biāo)準(zhǔn)三角型帶寬函數(shù)，已求和歸一化。接下來將采用正弦函數(shù)來模擬真實(shí)光譜，正弦函數(shù)的表達(dá)式為

(8)

其中λ表示波長，函數(shù)的周期是10 nm。

圖1 一種標(biāo)準(zhǔn)三角型帶寬函數(shù)

圖2所示為真實(shí)光譜是正弦函數(shù)的模擬測量和修正。為了方便看出三點(diǎn)、五點(diǎn)、七點(diǎn)修正公式的修正效果，選取光譜儀帶寬函數(shù)的帶寬為B=5，測量步長為h=0.1。峰值最高的曲線為真實(shí)光譜，是由式(8)得到的。通過式(1)可以得到模擬測量光譜，如圖2中峰值最低的曲線所示。將三點(diǎn)修正公式、五點(diǎn)修正公式[11, 15-17]以及式(7)所示的七點(diǎn)修正公式分別作用于測量光譜，可以得到修正后的曲線，如圖2中間三條曲線所示。從圖2可以看出，由于光譜儀的帶寬與測量光譜帶寬接近，測量光譜發(fā)生了嚴(yán)重的變形，中心波長處的峰值是真實(shí)值的40.5%，而經(jīng)過三點(diǎn)修正公式、五點(diǎn)修正公式和七點(diǎn)修正公式修正后的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的73.9%，90.3%以及96.7%。因此，七點(diǎn)修正公式的修正效果相比三點(diǎn)與五點(diǎn)修正公式有明顯提升。

圖2 真實(shí)光譜為正弦函數(shù)的模擬測量 和修正，帶寬函數(shù)的帶寬B=5

Fig.2 The simulated measurement and correction for sine function. The bandwidth of the bandpass function isB=5

光譜儀的帶寬對(duì)修正方法的修正效果有顯著地影響。其他條件不變的情況下，僅改變帶寬函數(shù)的帶寬，使其為B=4，七點(diǎn)修正公式的修正效果如圖3所示。與上面討論類似，真實(shí)光譜是由式(8)得到的。通過式(1)得到模擬測量光譜，如圖3中峰值最低的曲線所示。將式(7)所示的七點(diǎn)修正公式作用于測量光譜，可以得到修正后的曲線，如圖3虛線所示，修正后的光譜與真實(shí)光譜基本重合。從圖3可以看出，測量光譜中心波長處的峰值是真實(shí)值的57.3%，而經(jīng)過七點(diǎn)修正公式修正后的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的99.3%。隨著光譜儀帶寬的減小，測量光譜與修正光譜逐漸接近真實(shí)光譜，在理想情況下，當(dāng)帶寬等于零時(shí)，測量光譜即為真實(shí)光譜。

圖3 真實(shí)光譜為正弦函數(shù)的模擬測量 和修正，帶寬函數(shù)的帶寬B=4

Fig.3 The simulated measurement and correction for sine function. The bandwidth of the bandpass function isB=4

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

上一節(jié)已經(jīng)通過模擬計(jì)算驗(yàn)證了七點(diǎn)修正公式的有效性，本節(jié)將通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證此修正方法。

我們使用雙光柵單色儀來測量LED光源的光譜輻射照度，中心波長為365 nm。LED光源的光譜帶寬約為10 nm，測量步長為1 nm。通過改變?nèi)肷洫M縫寬度和出射狹縫寬度來改變光譜儀帶寬，使其為B=5 nm與B=0.5 nm。在每種情況下，光譜儀均經(jīng)過校準(zhǔn)，并溯源至光譜輻射照度國家基準(zhǔn)，光譜輻射照度國家基準(zhǔn)基于高溫黑體BB3500M[18]。然后，在兩種不同帶寬的情況下測量LED光源的光譜分布。相對(duì)于LED光譜帶寬，0.5 nm帶寬足夠小，因此，我們將帶寬為0.5 nm時(shí)測量得到的LED光譜輻射照度作為真實(shí)值。然后，對(duì)光譜儀帶寬為5 nm時(shí)的測量值應(yīng)用七點(diǎn)修正方法，得到修正值，與真實(shí)值進(jìn)行比較，驗(yàn)證修正方法的有效性。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖4所示。帶寬為5 nm時(shí)的峰值為16.7 μW·cm-2，帶寬為0.5 nm時(shí)的峰值為19.7 μW·cm-2，兩者比例為84.8%。對(duì)帶寬為5 nm時(shí)的測量值進(jìn)行修正，得到修正后的峰值為18.9 μW·cm-2，是帶寬0.5 nm時(shí)測量峰值的95.9%。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了修正方法的有效性。

圖4 光譜輻射照度測量值及七點(diǎn)修正值

Fig.4 The measured spectral irradiance (B=5 nm andB=0.5 nm) and corrected spectral irradiance (B=5 nm) with seven point formula

4 結(jié) 論

針對(duì)光譜儀在測量窄帶寬光源的光譜分布時(shí)出現(xiàn)的光譜變形現(xiàn)象，提出了一種帶寬修正方法—七點(diǎn)修正方法。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了七點(diǎn)修正公式的數(shù)學(xué)解析式。利用光譜線型為正弦函數(shù)的模擬光譜對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行了模擬驗(yàn)證，模擬結(jié)果表明，在選定的模擬條件下，修正后得到的中心波長處的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的99%以上。最后利用中心波長為365nm的LED光源對(duì)七點(diǎn)修正法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，修正后中心波長處的峰值可以達(dá)到真實(shí)值的95%以上，這種修正方法不僅適用于中心波長為365 nm的LED，對(duì)于其他波長的窄帶寬光源同樣適用。

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(Received Mar. 31, 2015; accepted Aug. 2, 2015)

Seven-Point Correction Approach for Spectrum Measurement of Light Source with a Narrow Bandwidth

WANG Yan-fei1, DAI Cai-hong1, WU Zhi-feng1, CHEN Bin-hua1, 2

1. Division of Optics, National Institute of Metrology China, Beijing 100029, China 2. School of Optoelectronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China

The finite bandwidth of spectroradiometers always causes significant errors when the measured light source has a narrow bandwidth compared to that of spectroradiometers. In order to solve this problem, an improved correction approach which is called seven-point correction approach is proposed. Firstly, the seven-point correction formula is obtained with Taylor’s series and related derivative formula. Secondly, the effect of seven-point formula is validated through a simulated spectrum with a sine function shape. Considering the sine function as true spectrum, we calculate the measured spectrum with the bandpass function of spectroradiometers. We also correct the measured spectrum with the seven-point formula. At last, we validate the seven-point formula experimentally with a LED lamp whose center wavelength is 365 nm. Using a double grating monochromator, we measure the irradiance of LED lamp when the bandwidth of spectroradiometer is 5 and 0.5 nm. We also obtain the corrected spectrum by applying seven-point formula to measured spectrum. The simulated results show that, the corrected value at the center wavelength could be above 99% of the true value. The experimental results show that, the corrected value at the center wavelength could reach above 95% of the true value. Above all, the proposed seven-point approach has an improved correction effect compared with three-point and five point approach. This correction approach could be widely applied in the field of spectrum measurement.

Spectroradiometer; Bandwidth function; Seven-point correction approach; Spectrum distribution

2015-03-31，

2015-08-02

中國博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2014M550788)和國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41305140)資助

王彥飛，1985年生，中國計(jì)量科學(xué)研究院副研究員 e-mail: wangyf@nim.ac.cn

TH744

A

10.3964/j.issn.1000-0593(2016)06-1921-04