黃詠寧

摘要：已有的基于上市企業(yè)財(cái)務(wù)指標(biāo)的聚類研究往往無法反映出聚類過程的不確定性，其聚類結(jié)果也欠缺可解釋性。在核主成分的基礎(chǔ)上，引入了混合高斯模型聚類算法，不僅能較好地實(shí)現(xiàn)樣本聚類，更能提高聚類結(jié)果的可解釋性。實(shí)驗(yàn)證明以上方法的可行性及有效性。

關(guān)鍵詞：財(cái)務(wù)指標(biāo)；核主成分；混合高斯模型；聚類

中圖分類號(hào)：F23 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.07.046

1 研究背景

上市企業(yè)定期公布的財(cái)務(wù)報(bào)表對(duì)投資者選股、持股有一定的參考價(jià)值，但大量數(shù)據(jù)背后的信息往往難以被發(fā)掘。聚類分析是一種以數(shù)據(jù)特征為基礎(chǔ)的分類技術(shù)，通過對(duì)上市企業(yè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的聚類分析，能基于財(cái)務(wù)指標(biāo)的相似性實(shí)現(xiàn)對(duì)上市企業(yè)的有效分類，對(duì)投資者有重要的指導(dǎo)意義。

原思聰（1995）首次探討了模糊數(shù)學(xué)方法在股票選擇方面的應(yīng)用，通過綜合隸屬函數(shù)與模糊函數(shù)構(gòu)建了股票選擇的評(píng)價(jià)體系，然而模糊聚類的主觀性較強(qiáng)。沈周翔、鐘鍵（2005）則采用主成分（PCA）的方法，通過提取累計(jì)方差貢獻(xiàn)率大于95%的兩個(gè)主要成分，將股票財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)投影到二維平面上，并根據(jù)平面象限區(qū)分聚類類別，但傳統(tǒng)的PCA算法是基于線性組合構(gòu)造主成分的，并不能處理具有非線性結(jié)構(gòu)的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，因此學(xué)者提出了以核主成分（KPCA）技術(shù)替代PCA技術(shù)進(jìn)行特征提取。余樂安、汪壽陽（2009）先用KPCA算法對(duì)股票的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，再對(duì)降維后的數(shù)據(jù)采用K-Means聚類，這種處理方法能得到準(zhǔn)確率更高的聚類結(jié)果。但K-Means聚類為硬聚類技術(shù)，無法反映KPCA降維及聚類過程中的不確定性，更無法對(duì)聚類結(jié)果提供有效的解釋。針對(duì)此問題，在KPCA降維數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，本文引入一種基于混合高斯模型的聚類算法，能有效地提高聚類結(jié)果的可解釋性。

2 混合高斯模型軟聚類算法

已有研究所采用的聚類算法都是一類優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的硬聚類算法，其特點(diǎn)是能清晰地對(duì)事物進(jìn)行劃分，不允許模棱兩可的結(jié)果。然而，上市企業(yè)的財(cái)務(wù)指標(biāo)具有多樣性及復(fù)雜性等特點(diǎn)，硬聚類算法顯然很難基于復(fù)雜多樣的財(cái)務(wù)指標(biāo)將上市企業(yè)清晰地加以區(qū)分。一種基于混合高斯模型的軟聚類算法能有效地解決該類問題。

2.1 混合高斯模型的基本概念

混合高斯模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一種以高斯分布為基礎(chǔ)的混合模型，其概率密度函數(shù)可表示為多個(gè)高斯分布概率密度函數(shù)的線性組合。Wilson（1999）已證明，由有限多個(gè)高斯分布構(gòu)成的混合高斯模型能以任意精度逼近任何的多元分布，這種良好的性質(zhì)使得其在降維或聚類中有良好的應(yīng)用前景。

2.2 混合高斯模型算法

混合高斯模型是由多個(gè)獨(dú)立的單高斯分布模型（Singal Gaussian Model）的線性組合而成，每一個(gè)單高斯分布可稱為混合高斯模型的成分（Component）?？紤]多元的情況，假設(shè)1×d的多維變量x服從單高斯分布，其概率密度函數(shù)f（x；μ，∑）為：（1）

其中，μ是1×d的均值向量，∑是d×d的協(xié)方差矩陣。而GMM的概率密度函數(shù)g（x）則可表示為：（2）

K為成分的數(shù)目，在聚類應(yīng)用中同時(shí)代表類簇的數(shù)目；α_i（i=1，2，…，K）是權(quán)值因子，是第i個(gè)單高斯分布在混合模型中所占的權(quán)重；μ_i，∑_i分別是第i個(gè)單高斯分布的均值向量及協(xié)方差矩陣。

2.3 混合高斯模型參數(shù)估計(jì)

由于聚類是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)的方法，其結(jié)果具有較強(qiáng)的目的導(dǎo)向性，因此在聚類應(yīng)用中，聚類類簇?cái)?shù)據(jù)K，即混合高斯模型的成分個(gè)數(shù)往往是外生的，而需要估計(jì)的參數(shù)有α_i、μ_i及∑_i（i=1，2，…，K）。假設(shè)N×d的數(shù)據(jù)集，服從概率密度函數(shù)為g（x；θ）的混合高斯分布，θ表示所有參數(shù)的集合，其似然函數(shù)L的形式如下：（3）

由于單個(gè)混合高斯概率密度函數(shù)值一般都很小，隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)N的增大，連乘的結(jié)果會(huì)變得非常小，容易造成浮點(diǎn)數(shù)下溢，因此采用自然對(duì)數(shù)形式改寫目標(biāo)似然函數(shù)：（4）

一般的參數(shù)求解方法是通過對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)求偏導(dǎo)以求得各參數(shù)的極值，然而（4）式中在對(duì)數(shù)函數(shù)里面存在大型求和符號(hào)，不能用求偏導(dǎo)解方程的發(fā)法直接求得參數(shù)極值。Bilmes（1998）提出的期望最大化算法（EM），能通過多次迭代的方法簡(jiǎn)化參數(shù)估計(jì)過程，進(jìn)而求取模型參數(shù)。

首先初始化混合高斯模型的所有參數(shù)，設(shè)為θ₀=（α₀，μk₀，∑k₀），k=1，2，…，K，其中K個(gè)多元高斯分布的均值向量μk、協(xié)方差矩陣∑k可通過統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算權(quán)值α_i初步設(shè)定為1/K。在迭代的過程中，對(duì)于第j個(gè)樣本點(diǎn)x_j，其由第k個(gè)多元高斯模型生成的概率定義為：（5）

然后，在第一次更新參數(shù)的步驟中，計(jì)算可得ω_j1（k），對(duì)于任意一個(gè)樣本點(diǎn)x_j，其值的ω_j1（k）*x_j部分可看作是由第k個(gè)單高斯模型產(chǎn)生的，即將該部分?jǐn)?shù)據(jù)用作第k個(gè)單高斯模型的參數(shù)估計(jì)。因此，第k個(gè)單高斯模型共產(chǎn)生了ω_j1（k）*x_j（j=1，2，…，N）共N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過這N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)能計(jì)算出第k個(gè)單高斯模型的均值向量與協(xié)方差矩陣參數(shù)，在第一次更新參數(shù)時(shí)，第k個(gè)單高斯模型的參數(shù)可更新為：（6）（7）（8）（9）

在第一次EM迭代計(jì)算后，可得到所有參數(shù)的更新值θ₁，用θ₁代替初始化參數(shù)，即可以進(jìn)行第二次的EM迭代計(jì)算。在目標(biāo)精度下，設(shè)置一個(gè)閾值thresh-old，在n次重復(fù)EM迭代后，當(dāng)滿足|ln（L）^[n-1]-ln（L）^[n]|

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文參考了財(cái)務(wù)綜合能力分析的指標(biāo)體系構(gòu)建方法，考慮到數(shù)據(jù)的全面性及可得性，搜索了2014年滬市、深市134家房地產(chǎn)上市企業(yè)的年度財(cái)務(wù)指標(biāo)，包括償債能力、運(yùn)營(yíng)能力、盈利能力及發(fā)展?jié)摿λ膫€(gè)一級(jí)維度之下的18個(gè)二級(jí)財(cái)務(wù)指標(biāo)（見表1），形成樣本數(shù)據(jù)集（本文數(shù)據(jù)來自Wind資訊金融終端，實(shí)證分析通過Matlab實(shí)現(xiàn)）。

3.2 實(shí)證分析

在聚類類簇?cái)?shù)目設(shè)定上，參考通達(dá)信軟件對(duì)于股票收益率板塊的區(qū)分（《通達(dá)信板塊解釋》），將作為外生參數(shù)設(shè)置為三類，分別表示下游企業(yè)、中游企業(yè)以及優(yōu)質(zhì)企業(yè)。

通過KPCA降維，在85%的閾值下將18個(gè)指標(biāo)壓縮為12個(gè)，并以該13412的降維后數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用EM算法估算混合高斯模型的參數(shù)。參數(shù)估計(jì)后根據(jù)所得的概率矩陣，將134家上市企業(yè)聚為三類，其中聚于一類（優(yōu)質(zhì)企業(yè)）有5家，二類（中游企業(yè)）有113家，歸于三類（下游企業(yè)）的有16家，聚類的三維可視圖見圖1。其中，132家上市企業(yè)能以85%以上的概率進(jìn)行聚類，說明三成分的混合高斯模型能很好地逼近樣本數(shù)據(jù)的多元分布，對(duì)樣本聚類的把握性較大，而聚類概率低于85%的兩家企業(yè)具體情況見表2。從表2可看出，兩個(gè)聚類異常點(diǎn)與三維可視圖結(jié)果相似，此外，由于不能以較高的概率確定其歸屬，因此對(duì)該兩家企業(yè)的聚類情況應(yīng)謹(jǐn)慎對(duì)待。

4 結(jié)論及建議

4.1 結(jié)論

實(shí)證分析顯示，基于GMM的聚類算法能較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)房地產(chǎn)上市企業(yè)的聚類，并反映各企業(yè)歸屬各類別的概率大小。事實(shí)上，GMM參數(shù)的估計(jì)依賴于樣本點(diǎn)屬于各個(gè)類別的概率大小，當(dāng)遇到某樣本點(diǎn)屬于兩個(gè)類別的概率相差甚小的時(shí)候，可對(duì)分類結(jié)果抱有懷疑態(tài)度，從而通過修正算法等方法找尋更精細(xì)的分類。

此外，通過GMM參數(shù)的估計(jì)，能獲得各類簇近似的單高斯分布，而通過相應(yīng)單高斯分布能深入了解到各類簇的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，便于對(duì)各類簇進(jìn)行評(píng)估或進(jìn)一步的研究。

4.2 建模的啟示及建議

綜合上述分析，有如下啟示和建議：

（1）對(duì)于證券公司而言，其公布的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)對(duì)于投資者購買股票具有舉足輕重的作用，因此其評(píng)價(jià)必須嚴(yán)謹(jǐn)并有充分的依據(jù)。通過本文的分析，券商可以適當(dāng)在上市公司業(yè)績(jī)?cè)u(píng)級(jí)的過程中采用高維數(shù)據(jù)聚類的方法，通過該方法所得的聚類結(jié)果較之傳統(tǒng)的凈資產(chǎn)收益率識(shí)別具有更高的可信性。

（2）對(duì)于政府而言，加快證券市場(chǎng)的改革進(jìn)度，進(jìn)一步完善上市公司財(cái)務(wù)報(bào)表審核機(jī)制，確保所以上市公司公開財(cái)務(wù)報(bào)表的真實(shí)性。只有基于準(zhǔn)確真實(shí)的數(shù)據(jù)出發(fā)，才能使研究結(jié)果貼近市場(chǎng)、貼近企業(yè)、貼近投資者，才能帶動(dòng)金融行業(yè)的進(jìn)一步發(fā)展。

（3）對(duì)于科研大部分傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析手段都可以采用不同方式與大數(shù)據(jù)結(jié)合，并且基于大數(shù)據(jù)研究基礎(chǔ)上的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果往往由于單純的傳統(tǒng)分析結(jié)果，其結(jié)論通常更具有針對(duì)性、前瞻性，對(duì)于豐富統(tǒng)計(jì)分析的內(nèi)容，提高統(tǒng)計(jì)分析的質(zhì)量具有重要意義。