王燈山 崔 琨

二維信號(hào)離散行為空間中的羊群行為

王燈山 崔 琨

[摘 要]筆者基于“離散行為空間導(dǎo)致羊群行為”模型，通過放松私人信號(hào)假設(shè)，引入二維不確定信號(hào)，分析此“二維信號(hào)離散行為空間”中的羊群行為的產(chǎn)生過程與產(chǎn)生機(jī)理。筆者運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來分析二維不確定信號(hào)——是否獲得信號(hào)以及信號(hào)是否準(zhǔn)確，對(duì)羊群行為的產(chǎn)生時(shí)間以及概率的影響，推導(dǎo)出羊群行為產(chǎn)生時(shí)間以及產(chǎn)生概率與信號(hào)參數(shù)的具體關(guān)系式，并且運(yùn)用MATLAB生成圖像分析二維不確定信號(hào)參數(shù)變化對(duì)羊群行為的影響趨勢(shì)。 研究發(fā)現(xiàn)，通過引入二維不確定信號(hào)，羊群行為不會(huì)像在“一維信號(hào)離散行為空間”中那樣確定產(chǎn)生，“二維信號(hào)離散行為空間”中羊群行為的產(chǎn)生與信號(hào)參數(shù)相關(guān)，并且獲得信息概率這一信號(hào)參數(shù)的單向變化，對(duì)羊群行為有促進(jìn)和抑制兩方面的作用。研究結(jié)果對(duì)投資行為和市場監(jiān)管具有指導(dǎo)作用，在維護(hù)投資市場公平、有序、高效運(yùn)行方面具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

[關(guān)鍵詞]二維信號(hào) 離散行為 羊群行為

一、引言

金融市場中的羊群行為，大部分是投資者在不對(duì)稱信息的前提下進(jìn)行的盲目跟隨行為。

不對(duì)稱信息的產(chǎn)生可能是由投資信號(hào)的不確定性引起，如投資者是否能收到私人信號(hào)、投資者所收到的私人信號(hào)是否準(zhǔn)確等；也可能是由于具體交易機(jī)制問題，如委托人-代理人機(jī)制導(dǎo)致委托人與代理人之間的信息不對(duì)稱等。

在研究羊群行為產(chǎn)生機(jī)理方面，主流的理論有：聲譽(yù)理論、支付外部性理論以及信息流理論。

Scharfstein和Stein(1990)[1]運(yùn)用委托人-代理人模型分析羊群行為的產(chǎn)生，Sticke1(1990,1992)[2-3]、Trueman(1994)[4]、Rajan(1994)[5]、Zwiebel(1995)[6]、Prendergast和Stole(1996)[7]對(duì)該理論進(jìn)行了繼承和發(fā)展，Graham(1999)[8]拓展了該模型，建立了羊群行為的聲譽(yù)模型。研究表明，由于委托人-代理人機(jī)制兩者之間存在信息的不對(duì)稱，這促使了羊群行為的產(chǎn)生。

Brennan(1990)[9]、Froot等(1992)[10]等對(duì)支付外部性導(dǎo)致羊群行為進(jìn)行了研究。研究表明，當(dāng)行為主體事先研究了他認(rèn)為其他行為主體即將研究的信息，并希望其他行為主體按自己預(yù)期的方向交易資產(chǎn)時(shí)，羊群行為就會(huì)發(fā)生。

Banerjee提出了序貫決策模型，Banerjee(1992)[11]、Bikhchandani等(1992)[12]、Welch(1992)[13]等完善了信息流理論。Avery和Zemsky(1998)[14]修改了交易價(jià)格外生給定這一假設(shè)，并將模型應(yīng)用于股票市場。研究表明投資者按順序依次進(jìn)行決策，私人信號(hào)的不確定性導(dǎo)致信息的不對(duì)稱，序貫決策可以使投資者獲得并學(xué)習(xí)前人的決策信息，從而形成信息流。Banerjee(1992)[11]論證了非離散行為在二維信號(hào)空間中導(dǎo)致羊群行為。Bikhchandani等(1992)[12]論證了在離散行為空間中羊群行為的產(chǎn)生過程以及產(chǎn)生機(jī)理,通過引入一維不確定信號(hào)——投資者所收到的私人信號(hào)是否準(zhǔn)確，從而產(chǎn)生投資者的信息不對(duì)稱，進(jìn)而引發(fā)羊群行為。

在實(shí)證研究方面，李新路和韓志萍(2007)[15]認(rèn)為我國股票市場個(gè)體投資者呈現(xiàn)出非常顯著的羊群行為，并且賣方羊群行為強(qiáng)于買方羊群行為，無論投資者是風(fēng)險(xiǎn)偏好還是風(fēng)險(xiǎn)厭惡，都表現(xiàn)出顯著的羊群效應(yīng)，股票收益率和股票規(guī)模是影響投資者羊群行為的重要因素。李奇澤等(2013)[16]通過實(shí)證數(shù)據(jù)表明我國證券投資基金羊群行為的形成原因主要有兩方面。一方面，由于我國證券投資基金評(píng)價(jià)體系過分注重短期業(yè)績，這將促使基金經(jīng)理或者追逐熱點(diǎn)或者窗飾業(yè)績，誘發(fā)基金羊群行為。另一方面，基金公司治理結(jié)構(gòu)中基金份額持有人大會(huì)存在內(nèi)部人控制問題，導(dǎo)致中小投資者參與和監(jiān)督的動(dòng)力不足，而基金托管人又由基金管理人選定而失去獨(dú)立性，導(dǎo)致托管人監(jiān)管缺位。這些公司治理的制度性缺陷將加重基金投資人與管理人之間的委托代理問題。理性的基金管理人為實(shí)現(xiàn)自身利益最大化會(huì)背棄投資人的利益，或者共同窗飾業(yè)績或者達(dá)成默契抱團(tuán)取暖，從而產(chǎn)生基金業(yè)普遍的羊群行為。

李平和曾勇(2004)[17]認(rèn)為若市場上只存在信息的一維不確定性(資產(chǎn)價(jià)值的不確定性)以及所有的市場參與者均完全理性，那么證券的價(jià)格總是對(duì)市場上的信息進(jìn)行合理的調(diào)整，羊群行為永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生，獲得不同私人信息的交易者總會(huì)選擇不同的交易行為，私人信息不斷被揭示。莊新田和王健(2007)[18]認(rèn)為若信息交易者非理性則可能發(fā)生羊群行為。市場上羊群效應(yīng)的產(chǎn)生需要具備一定條件，信息交易者的非理性程度達(dá)到某一臨界值時(shí)才發(fā)生羊群行為。

宋軍等(2003)[19]、楊文超和孟慶華(2008)[20]、劉陽(2011)[21]等對(duì)我國投資市場狀況作了具體的分析研究。宋軍等(2003)[19]認(rèn)為目前我國證券市場中，機(jī)構(gòu)投資者和個(gè)人投資者在資金信息上存在的明顯的不對(duì)稱以及隨之而來的莊家操縱市場，散戶捕風(fēng)捉影而跟莊的短期行為對(duì)于市場的有效、穩(wěn)定的健康成長極為不利。楊文超和孟慶華(2008)[20]認(rèn)為相較于發(fā)達(dá)國家的股票市場，我國股市起步較晚，不論機(jī)構(gòu)投資者還是個(gè)人投資者，羊群行為現(xiàn)象表現(xiàn)得更為明顯，這在一定程度上可以解釋我國股票價(jià)格經(jīng)常出現(xiàn)的漲跌無常的異常波動(dòng)現(xiàn)象。劉陽(2011)[21]認(rèn)為在信息傳遞方面，我國股市信息披露的及時(shí)性、準(zhǔn)確性、完整性等方面都存在缺陷，這使得投資者在信息上處于不對(duì)稱地位，誘使投資者觀察并追隨其他投資者，從而導(dǎo)致羊群行為。

以上研究表明，在我國由于投資交易市場信息披露并不及時(shí)、準(zhǔn)確、完整，導(dǎo)致市場含有較強(qiáng)的羊群效應(yīng)。相當(dāng)一部分投資者沒有收到私人信號(hào)，還有一部分交易者雖然可以獲得各種信號(hào)，但是由于缺乏經(jīng)濟(jì)頭腦和投資敏感度，不能從各種信號(hào)中獲得準(zhǔn)確的、能反映投資資產(chǎn)價(jià)值的信息。種種不確定性使得相當(dāng)一部分投資者的決策往往只是跟隨他人行為?？梢?，整個(gè)交易市場的羊群效應(yīng)影響還是非常大的。由于羊群效應(yīng)不利于市場的穩(wěn)定，也與金融危機(jī)密切相關(guān)，所以研究不確定信號(hào)參數(shù)對(duì)羊群行為的影響，進(jìn)而對(duì)整個(gè)市場進(jìn)行分析和政策改善，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文旨在通過理論模型，研究不確定信號(hào)參數(shù)對(duì)羊群行為造成的具體影響，推導(dǎo)羊群行為產(chǎn)生的充分條件，并且通過MATLAB生成圖像來形象地觀察不確定信號(hào)參數(shù)的變化對(duì)羊群行為的影響程度。

為此，我們放松Bikhchandani等(1992)[12]研究中簡單模型的假設(shè)——每個(gè)投資者均能收到私人信號(hào)。討論每個(gè)投資者不一定能收到信號(hào)，并且收到的信號(hào)不一定準(zhǔn)確的“二維不確定信號(hào)”空間對(duì)羊群行為產(chǎn)生的影響。

直觀分析，如果引入每個(gè)投資者不一定能收到信號(hào)這個(gè)假設(shè)，沒有收到信號(hào)的投資者會(huì)盲目跟從大部分之前決策者們所做的決定，羊群行為更容易產(chǎn)生。但是對(duì)于收到信號(hào)的投資者而言，他會(huì)更加看重自己的信號(hào)，因?yàn)閷?duì)他而言，之前投資者的一致行為有可能是由于他們沒有收到信號(hào)而產(chǎn)生的盲目跟從，自己所收到的信號(hào)相對(duì)于Bikhchandani等(1992)[12]的研究而言就更有價(jià)值(雖然有可能信號(hào)是不準(zhǔn)確的)，這便會(huì)抑制羊群行為的產(chǎn)生。這兩方面對(duì)羊群行為產(chǎn)生了相反的作用。那么相對(duì)于Bikhchandani等(1992)[12]研究中的“一維不確定信號(hào)”空間，在“二維不確定信號(hào)”空間中，羊群行為是否更容易產(chǎn)生，以及“二維不確定信號(hào)”的參數(shù)變化對(duì)羊群行為產(chǎn)生的概率和時(shí)間有怎樣的確切影響，這是本文所要闡述的問題。

二、理論模型

為了簡化和更有目的性地分析，我們更加關(guān)注于在第n個(gè)決策者之前所有人均有一致行為的情況下，第n個(gè)決策者是否會(huì)產(chǎn)生羊群行為，以及不確定信號(hào)的參數(shù)變化對(duì)羊群行為產(chǎn)生時(shí)間和概率的影響。

(一)模型假設(shè)

我們放松Bikhchandani等(1992)[12]的假設(shè)條件，假設(shè)不是每個(gè)人都能收到信號(hào)，收到的信號(hào)也不一定準(zhǔn)確。從而形成“二維信號(hào)離散行為空間”，在二維信號(hào)空間中討論離散行為。

存在一系列的人，每一個(gè)人依次選擇接受或者拒絕投資一個(gè)項(xiàng)目。每一個(gè)人都有可能會(huì)收到關(guān)于投資價(jià)值的信號(hào)，而收到的信號(hào)有可能為真，也有可能為假。每一個(gè)人都能觀察到前人的決定，但是看不到前人的信號(hào)。

每一個(gè)人的投資成本是0.5。

投資收益V是以0.5的概率得0，以0.5的概率得1。

每個(gè)人以概率α收到信號(hào)，以概率1-α沒有收到信號(hào),α∈(0,1)。

如果第i個(gè)人收到個(gè)人信號(hào)，記為Xi，Xi=H或者L。

當(dāng)投資的真實(shí)值為1時(shí)，如果個(gè)人收到信號(hào)，信號(hào)Xi=H的概率為p，收到信號(hào)Xi=L的概率為1-p，其中p∈(0.5,1)。

當(dāng)投資的真實(shí)值為0時(shí)，如果個(gè)人收到信號(hào)，信號(hào)Xi=L的概率為p，收到信號(hào)Xi=H的概率為1-p，其中p∈(0.5,1)。

對(duì)于個(gè)人i的決策規(guī)則是：

對(duì)于i=1而言，如果他收到信號(hào)，則按信號(hào)進(jìn)行決策；如果他沒有收到信號(hào)，則以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

對(duì)于i≥2而言，如果他收到信號(hào)，則他所擁有的信息集為前人的選擇和自己的信號(hào)，他將根據(jù)已有的信息集進(jìn)行決策。如果在觀測到前人的選擇S以及個(gè)人的信號(hào)Xi后，對(duì)于投資的期望值E[V|S,Xi] 有：E[V|S,Xi]>0.5時(shí)選擇接受；E[V|S,Xi]<0.5時(shí)選擇拒絕；E[V|S,Xi]=0.5時(shí)以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

如果他沒有收到信號(hào)，則選擇前人的決策中選擇人數(shù)較多的決策，也就是說如果前人中較多人選接受，則第i個(gè)人選擇接受，否則拒絕。如果前人中選擇接受和拒絕的人數(shù)相同，則第i個(gè)人以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

(二)模型分析

1.第1個(gè)人。

(1)如果第1個(gè)人沒收到信號(hào)，則以0.5的概率選擇接受，以0.5的概率選擇拒絕。

(2)如果第1個(gè)人收到的信號(hào)是H，我們記此事件為Φ1={X1=H}，得到

E[V|Φ1]=1×P(V=1|Φ1)+0×P(V=0|Φ1)

=P(V=1|Φ1)

=p>0.5

(1a)

則第1個(gè)人選擇接受。

(3)如果第1個(gè)人收到的信號(hào)是L，我們記此事件為Φ2={X1=L}，得到

E[V|Φ2]=1×P(V=1|Φ2)+0×P(V=0|Φ2)

=P(V=1|Φ2)

=(1-p)<0.5

(1b)

則第1個(gè)人選擇拒絕。

從而我們分析得：

P(S1=adopt|V=1)=0.5(1-α)+αp

(1c)

P(S1=adopt|V=0)=0.5(1-α)+α(1-p)

(1d)

2.第2個(gè)人。

(1)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人沒有收到信號(hào)，則他會(huì)模仿第1個(gè)人的行為選擇接受。

(2)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人收到的信號(hào)是H，我們記此事件為Φ3={S1=adopt,X2=H}，得到

E[V|Φ3]=1×P(V=1|Φ3)+0×P(V=0|Φ3)

=P(V=1|Φ3)

>0.5

(2a)

其中：

P(V=1)P(Φ3|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×αp

P(V=0)P(Φ3|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×α(1-p)

則第2個(gè)人選擇接受。

(3)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人收到的信號(hào)是L，我們記此事件為Φ4={S1=adopt,X2=L}，得到

E[V|Φ4]=1×P(V=1|Φ4)+0×P(V=0|Φ4)

=P(V=1|Φ4)

<0.5

(2b)

其中：

P(V=1)P(Φ4|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×α(1-p)

P(V=0)P(Φ4|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×αp

則第2個(gè)人選擇拒絕。

從而我們分析得：

P(S2=adopt|S1=adopt,V=1)=(1-α)+αp

(2c)

P(S2=adopt|S1=adopt,V=0)=(1-α)+α(1-p)

(2d)

3.第3個(gè)人。

(1)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人沒有收到信號(hào)，則第3個(gè)人會(huì)模仿前兩個(gè)人的選擇，選擇接受。

(2)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人的信號(hào)是H，我們記此事件為Φ5={S1=adopt,S2=adopt,X3=H}，得到

E[V|Φ5]=1×P(V=1|Φ5)+0×P(V=0|Φ5)

=P(V=1|Φ5)

>0.5

(3a)

其中：

P(V=1)P(Φ5|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]αp

P(V=0)P(Φ5|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]α(1-p)

則第3個(gè)人選擇接受。

(3)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人的信號(hào)是L，我們記此事件為Φ6={S1=adopt,S2=adopt,X3=L}，得到

E[V|Φ6]=1×P(V=1|Φ6)+0×P(V=0|Φ6)

=P(V=1|Φ6)

(3b)

其中：

P(V=1)P(Φ6|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]α(1-p)

(3c)

P(V=0)P(Φ6|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]αp

(3d)

當(dāng)式(3c)大于式(3d)時(shí)，式(3b)大于0.5，則第3個(gè)人選擇接受，即在第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，無論第3個(gè)人是否收到信號(hào)，收到的信號(hào)是什么，第3個(gè)人總會(huì)會(huì)忽略自己的信號(hào)選擇接受。則我們有

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

(3e)

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

(3f)

從而第3個(gè)人開始產(chǎn)生羊群行為。

當(dāng)式(3c)小于式(3d)時(shí)，式(3b)小于0.5，則第3個(gè)人選擇拒絕，即在第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人的行為與自己接收到的信號(hào)相關(guān)，從而第3個(gè)人不會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

當(dāng)式(3c)等于式(3d)時(shí)，式(3b)等于0.5，則第3個(gè)人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

式(3c)減式(3d)等于(1-2p)[0.5(1-α)2-α2p×(1-p)]。由于假設(shè)p>0.5，則1-2p<0。由于0<α<1，當(dāng)α足夠大時(shí)，0.5(1-α)2-α2p(1-p)<0，從而式(3c)大于式(3d)，E[V|Φ6]>0.5，第3個(gè)人選擇接受，產(chǎn)生羊群行為。我們可以想象當(dāng)α無限向1逼近，相當(dāng)于是否收到信號(hào)的不確定性趨于消失，二維信號(hào)趨于一維信號(hào)，此結(jié)果趨于Bikhchandani等(1992)[12]的結(jié)論：第3個(gè)人開始產(chǎn)生羊群行為。當(dāng)α足夠小時(shí)0.5(1-α)2-α2p(1-p)>0，從而式(3c)小于式(3d)，E[V|Φ6]<0.5，第3個(gè)人選擇拒絕，不會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

我們分析此與Bikhchandani等(1992)[12]結(jié)論不同的原因。因?yàn)棣翞楣惨阎?dāng)α足夠小時(shí)，即人們很難收到信號(hào)。此刻作決定的人面對(duì)前面所有人選擇接受，分析其原因很有可能是因?yàn)闆]有收到信號(hào)而選擇的跟隨行為，如果此刻做決定的人收到了信號(hào)，則這個(gè)人必然更加看中從自己信號(hào)中所獲得的信息，盡管信息有真有假，但收到信號(hào)的概率相對(duì)于信息真假的概率要小得多。所以這個(gè)人會(huì)依據(jù)自己的信息做決定，不會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

從而我們分析得：

如果式(3c)大于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

如果式(3c)小于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+αp

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α(1-p)

如果式(3c)等于式(3d)，則

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+α[p+0.5(1-p)]

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α[(1-p)+0.5p]

4.第4個(gè)人。

當(dāng)式(3c)大于式(3d)時(shí)，我們分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，結(jié)果也與其相同，從第3個(gè)決策者開始以后的人均會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

我們重點(diǎn)分析當(dāng)式(3c)小于式(3d)時(shí)的情況。

(1)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人選擇接受，第4個(gè)人沒收到信號(hào)，則會(huì)模仿前人選擇接受。

(2)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人選擇接受，第4個(gè)人收到信號(hào)H，我們記此事件為Φ7={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=H}，則

E[V|Φ7]=1×P(V=1|Φ7)+0×P(V=0|Φ7)

=P(V=1|Φ7)

>0.5

(4a)

其中：

P(V=1)P(Φ7|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]2αp

P(V=0)P(Φ7|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2α(1-p)

從而第4個(gè)人選擇接受。

(3)如果第1個(gè)人選擇接受，第2個(gè)人選擇接受，第3個(gè)人選擇接受，第4個(gè)人收到信號(hào)L，我們記此事件為Φ8={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=L}，則

E[V|Φ8]=1×P(V=1|Φ8)+0×P(V=0|Φ8)

=P(V=1|Φ8)

(4b)

其中：

P(V=1)P(Φ8|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]2α(1-p)

(4c)

P(V=0)P(Φ8|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2αp

(4d)

分析同對(duì)第3個(gè)決策者的分析過程。

如果式(4c)大于式(4d)，則E[V|Φ8]>0.5，第4個(gè)人選擇接受，產(chǎn)生羊群行為。

如果式(4c)小于式(4d)，則E[V|Φ8]<0.5，第4個(gè)人選擇拒絕，不會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

如果式(4c)等于式(4d)，則E[V|Φ8]=0.5，第4個(gè)人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

式(4c)減式(4d)等于(1-2p)[0.5(1-α)3-α2p×(1-p)(2.5-1.5α)]

我們不難發(fā)現(xiàn)在式(3c)小于式(3d)的情況下,式(4c)小于式(4d)比式(3c)小于式(3d)更加難以實(shí)現(xiàn)，即更容易產(chǎn)生羊群行為。

5.第n個(gè)人。

當(dāng)?shù)趎-1個(gè)決策者產(chǎn)生了羊群行為，我們分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，第n個(gè)決策者也一定產(chǎn)生羊群行為。

我們重點(diǎn)分析當(dāng)?shù)趎-1個(gè)決策者沒有產(chǎn)生羊群行為的情況下，第n個(gè)決策者的行為決策。

(1)如果前n-1個(gè)決策者均選擇接受，第n個(gè)決策者沒收到信號(hào)，則會(huì)模仿前人選擇接受。

(2)如果前n-1個(gè)決策者均選擇接受，第n個(gè)決策者收到信號(hào)H，我們記此事件為Φ2n-1={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=H}，則

E[V|Φ2n-1]

=1×P(V=1|Φ2n-1)+0×P(V=0|Φ2n-1)

=P(V=1|Φ2n-1)

=[P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)]/[P(V=1)

×P(Φ2n-1|V=1)+P(V=0)

×P(Φ2n-1|V=0)]>0.5

(5a)

其中：

P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2αp

P(V=0)P(Φ2n-1|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)

+α(1-p)]n-2α(1-p)

從而第n個(gè)人選擇接受。

(3)如果前n-1個(gè)決策者均選擇接受，第n個(gè)人收到信號(hào)L，我們記此事件為Φ2n={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=L}，則

E[V|Φ2n]=1×P(V=1|Φ2n)+0×P(V=0|Φ2n)

=P(V=1|Φ2n)

(5b)

其中：

P(V=1)P(Φ2n|V=1)=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2α(1-p)

(5c)

P(V=0)P(Φ2n|V=0)=0.5[0.5(1-α)+α

×(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2αp

(5d)

分析同對(duì)第3個(gè)決策者的分析過程。

如果式(5c)大于式(5d)，則E[V|Φ2n]>0.5，第n個(gè)人選擇接受，產(chǎn)生羊群行為。

如果式(5c)小于式(5d)，則E[V|Φ2n]<0.5，第n個(gè)人選擇拒絕，不會(huì)產(chǎn)生羊群行為。

如果式(5c)等于式(5d)，則E[V|Φ2n]=0.5，第n個(gè)人以相同的概率選擇接受或拒絕，此非羊群行為。

(三)模型結(jié)論

第1個(gè)人、第2個(gè)人不會(huì)產(chǎn)生羊群行為，從第3個(gè)人開始，羊群行為有可能產(chǎn)生。對(duì)于某時(shí)刻做決策的個(gè)人而言，產(chǎn)生羊群行為的概率與α和p的大小有關(guān)。

如果第n個(gè)決策者(n≥3)產(chǎn)生了羊群行為，這件事情的發(fā)生除式(5c)大于式(5d)外，還需要第n個(gè)決策者之前所有決策者均做出一致選擇。

P(S1，…，Sn-1=adopt)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(6)

P(S1，…，Sn-1=reject)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1

=reject|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=reject|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(7)

我們整理得，對(duì)于一個(gè)序列決策模型，已知信號(hào)參數(shù)α和p的具體值，我們可以通過式(5c)大于式(5d)，即

[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2(1-p)>[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2p

(8)

計(jì)算出產(chǎn)生羊群行為的最小的n值，記為羊群行為觸發(fā)值N。

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

注意N為滿足條件的最小n值，這保證了第N個(gè)決策者之前所有的人均不會(huì)產(chǎn)生羊群行為，這符合我們之前論證的前提條件。

將此n=N值代入式(6)、(7)，計(jì)算出此序列決策模型產(chǎn)生羊群行為的概率。

定理：一個(gè)序列決策模型產(chǎn)生羊群行為的概率為

P(herding)=[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]N-2

+[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]N-2

(10)

其中,

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

信號(hào)參數(shù)α和p為外生變量，N為內(nèi)生變量，由參數(shù)α和p共同決定。

對(duì)于式(9)，當(dāng)α→1時(shí)(由于式(9)是在α≠1的情況下分析得到)，計(jì)算得N→3，即當(dāng)前兩個(gè)人行為一致時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨向于第三個(gè)人開始所有人進(jìn)行羊群行為，這與 Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型一致。

對(duì)比Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型，可以見得，在之前投資者行為一致的情況下，隨著不確定信號(hào)α的減小，羊群行為不那么容易產(chǎn)生，即N的值變大，這便是引言中提到的抑制羊群行為產(chǎn)生。而對(duì)于n=2,3,…,N-1投資者而言，每個(gè)人行為一致的概率1-α+αp、1-α+α(1-p)，由于α的減小而變大，這便是引言中提到的促進(jìn)羊群行為產(chǎn)生。兩者相互作用，對(duì)羊群行為產(chǎn)生的影響體現(xiàn)在了式(10)、(9)中。

三、圖像分析

我們首先分析對(duì)于每一決策者而言，通過式(8)，我們可以得到如果第n個(gè)決策者進(jìn)行羊群行為，那么所需要滿足的α和p的取值范圍圖像如圖1所示。

圖1 激發(fā)羊群行為所需α和p的取值范圍

我們可以很清楚地看到，所有圖像右邊界完全覆蓋了p∈(0.5,1)，換句話說，在α→1時(shí)(由于式(8)中α≠1)，只要p∈(0.5,1)，結(jié)果趨向于從第3個(gè)人開始，所有人都進(jìn)行羊群行為。這與Bikhchandani等(1992)[12]中的簡單模型結(jié)論一致。

通過圖1，可以得到，隨著n的增大，羊群行為所需要的α和p的取值范圍越來越大。對(duì)于外生變量α和p(α和p既定)，隨著每個(gè)決策者依次進(jìn)行決策，越往后，α和p越有可能落入滿足羊群行為所需的取值范圍內(nèi)，從而產(chǎn)生羊群行為。換句話說，隨著n的增大，羊群行為越來越容易產(chǎn)生。

接下來通過式(9)，我們分析對(duì)于已知值的α和p時(shí)，從第幾個(gè)決策者開始產(chǎn)生羊群行為，詳見表1。

表1 不同信號(hào)參數(shù)對(duì)應(yīng)的羊群行為觸發(fā)值N

通過表1，我們可得隨著α的增大與p的減小，N的值越來越小，即羊群行為越早產(chǎn)生。

α、p、N的三維關(guān)系圖如圖2所示。

我們最后分析羊群行為產(chǎn)生概率P(herding)與參數(shù)α、p的關(guān)系(N為內(nèi)生變量)，根據(jù)式(10)、(9)，我們得到三維關(guān)系圖(圖3)。

圖2 α、p、N的三維關(guān)系圖

圖3 α、p、P(herding)的三維關(guān)系圖

我們研究圖3的橫截面性質(zhì)。例如，當(dāng)p=0.6與p=0.9時(shí)的三維圖像橫截面，即當(dāng)p=0.6與p=0.9時(shí)α與P的關(guān)系如圖4所示。

圖4 p=0.6與p=0.9時(shí)的三維圖像橫截面

我們接下來具體研究無數(shù)個(gè)橫截面中的任意一個(gè)。例如當(dāng)p=0.6時(shí)的三維圖像橫截面，即當(dāng)p=0.6時(shí)α與P的關(guān)系如圖5所示。

圖5 p=0.6時(shí)α與P(herding)的關(guān)系圖

圖5中，隨著α的減小，B→C、D→E、F→G等表示P(herding)的減小，此即為上文中提到的抑制羊群行為作用，它的產(chǎn)生是由于隨著α的減小，式(9)得到的N越來越大，從而導(dǎo)致了式(10)的減小。如B→C，α的值只是相當(dāng)微小的變化，但N的值由3增大為4,。雖然α的變化量非常小，對(duì)1-α+αp與1-α+α(1-p)的影響非常小，但是由于N的值由3增大為4，這對(duì)式(10)的影響非常大，所以出現(xiàn)了如圖中斷崖式的變化。

隨著α的減小，A→B、C→D、E→F等表示P(herding)的增大，此即為上文中提到的促進(jìn)羊群行為作用，它的產(chǎn)生是由于式(10)中1-α+αp與1-α+α(1-p)的增大，從而導(dǎo)致P(herding)的增大。如A→B，這一過程中雖然α有變化，但是式(9)始終等于3，P(herding)的增大，完全是因?yàn)?-α+αp與1-α+α(1-p)的增大。

例如在H點(diǎn)到I點(diǎn)的整個(gè)變化過程中，促進(jìn)作用大于抑制作用，最終I點(diǎn)羊群行為概率增大。再如在H點(diǎn)到J點(diǎn)的整個(gè)變化過程中，促進(jìn)作用小于抑制作用，最終J點(diǎn)羊群行為概率減小。

N由式(9)決定，顯然N有一個(gè)取整的過程，所以隨著α與p的連續(xù)變化，N的變化是不連續(xù)的，是整數(shù)的變化，所以抑制羊群行為作用是不連續(xù)的、斷崖似的作用。然而α與p卻是連續(xù)的變化，所以促進(jìn)羊群行為作用是連續(xù)的作用。兩者相互作用，α與p對(duì)P的影響變化如上文圖3所示。

四、結(jié)論

本文在Bikhchandani等(1992)[12]中的“離散行為空間導(dǎo)致羊群行為”模型基礎(chǔ)上，通過引入二維不確定信號(hào)，分析此“二維信號(hào)離散行為空間”下的羊群行為的產(chǎn)生過程與產(chǎn)生機(jī)理。二維不確定信號(hào)的引入，使得模型更加符合實(shí)際，并且適用于現(xiàn)實(shí)生活。與羊群行為在“一維信號(hào)離散行為空間”中那樣確定產(chǎn)生不同，“二維信號(hào)離散行為空間”下羊群行為的產(chǎn)生與信號(hào)參數(shù)相關(guān)。本文通過數(shù)學(xué)建模推導(dǎo)出羊群行為產(chǎn)生時(shí)間以及產(chǎn)生概率與信號(hào)參數(shù)的具體關(guān)系式，并且發(fā)現(xiàn)獲得信息概率這一信號(hào)參數(shù)的單向變化，對(duì)羊群行為有促進(jìn)和抑制兩方面的作用。最后我們運(yùn)用MATLAB生成圖像分析二維不確定信號(hào)參數(shù)變化對(duì)羊群行為的影響趨勢(shì)。

以往的研究結(jié)果，例如宋軍等(2003)[19]、萬志華(2008)[22]、楊文超和孟慶華(2008)[20]表明信號(hào)的質(zhì)量越差投資者越傾向于發(fā)生羊群行為，噪音交易者在投資者中的比率越大投資者越傾向于發(fā)生羊群行為，研究結(jié)論與對(duì)我國證券投資基金羊群行為的實(shí)證結(jié)果和對(duì)我國房地產(chǎn)羊群行為的實(shí)證結(jié)果是一致的。

本文的研究結(jié)果與以往的研究結(jié)果不同之處在于指出獲得信息概率這一信號(hào)參數(shù)的單向變化，對(duì)羊群行為有促進(jìn)和抑制兩方面的作用，并且推導(dǎo)出具體表達(dá)式。這對(duì)現(xiàn)實(shí)投資市場起到一定的指導(dǎo)作用。管理者可以通過政策措施來影響信號(hào)參數(shù)的變化，如通過規(guī)范投資市場中的信息披露制度來提高投資信號(hào)的準(zhǔn)確性，通過大力培養(yǎng)機(jī)構(gòu)投資者、開展投資教育來提高交易者分析投資信號(hào)的能力等，進(jìn)而降低羊群行為產(chǎn)生的概率。

但本文也有一定的局限性，為了建立數(shù)學(xué)模型，本文將龐大且復(fù)雜的投資市場交易行為進(jìn)行了簡單化處理。例如本文模型基于投資市場序貫交易，并且僅對(duì)一種投資產(chǎn)品的兩種外生給定價(jià)格進(jìn)行分析。我們可以通過拓展本文模型，如允許交易價(jià)格變化等，使之與實(shí)際的市場交易更加契合。

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Herd Behavior in Two-Dimensional Signal and Discrete Action Space

WANG Deng-shan CUI Kun

Abstract:This paper is based on the herd behavior due to discrete action space which is discussed in Bikhchandani et al.(1992).We relax the assumption about individual signal,introduce the two-dimensional uncertain signal,and investigate the process and mechanism of herd behavior in two-dimensional signal and discrete action space.The two dimensions of the uncertain signal indicate whether the individual receives a signal or not and whether the signal is true or not.We obtain the definite relationship between the generation of herd behavior and signal parameters by using mathematical modeling.The effect on herd behavior can be analyzed by changing signal parameters through the graph generated in MATLAB.Our result shows that in contrast to Bikhchandani et al.(1992),herd behavior can not arise in two-dimensional signal and discrete action space certainly.The monotone change of the parameter which indicates the probability of receiving a signal has both positive and negative effects on herd behavior.This new finding not only has the role of guidance on individual investment and financial market supervision,but also has the practical significance to maintain fair,orderly,and efficient investment market.

Key words：Two-dimensional signal Discrete action Herd behavior

[中圖分類號(hào)]F224.0

A

1000-1549(2016)11-0028-11

[收稿日期]2016-06-23

[作者簡介]王燈山，男，1980年11月生，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)中國經(jīng)濟(jì)與管理研究院副教授，博士，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)與數(shù)理金融；崔琨，男，1990年6月生，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)中國經(jīng)濟(jì)與管理研究院研究生，研究方向?yàn)閿?shù)理金融。

[基金項(xiàng)目]教育部人文社會(huì)研究青年基金項(xiàng)目“基于不完全契約理論的PPP模式最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)研究”(項(xiàng)目編號(hào):16YJCZH110)；2015年北京市社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目“北京市人口膨脹演變與資源壓力趨勢(shì)預(yù)測研究”。

感謝匿名評(píng)審人提出的修改建議，筆者已做了相應(yīng)修改，本文文責(zé)自負(fù)。

韓 嫄 張安平)