孫俠

摘 要：線性方程組是我們在解決日常生活問題中常用的一種手段，在日常的經濟活動中有著廣泛的應用。我們初高中時就學過的二元一次方程組，是最簡單的線性方程組了。二元一次方程組在經濟活動的預算，審計中有著廣泛的運用，能夠解決很多我們需要你解決的問題。所謂反問題，是指已知有一組復數，之后要求構造一個矩陣A，使其具有某種性質，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復數。在本文中，我們通過與線性方程組的反問題結合工程預算中的一些現象加以說明，了解其在工程預算活動中的應用。

關鍵詞：線性方程組；求解反問題；在工程預算中的應用

線性方程組是指在方程中，所有的未知數都是一次的方程組，在解決問題所列出的方程組中，未知數的數目可能不止一個，但式子中出現的所有未知量必須都是一次的，即方程的最高次數是一次，比如我們初高中時就學過的二元一次方程組，是最簡單的線性方程組了。線性方程組在代數中，是最簡單但是也是最重要的一類方程組，線性方程組是我們在解決日常生活問題中常用的一種手段，許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成線性方程組，所以線性方程組對于計算數學是極其重要的。

線性方程組在日常經濟活動中的應用及其廣泛主要運用在工程預算和會計審計的工作當中。

工程預算這項工作是必須要用到線性方程組的，工程在預算中，假設出成本的值，在成本值的基礎上預算原材料的用量，利用線性方程的計算方法，計算出需要的原料的大約數量，根據計算所得的數字進行備料施工，能夠大大節(jié)約施工周期的準備時間，縮短施工時間，節(jié)約成本讓利潤有限的最大化。

所謂線性方程組中的反問題，是相對于對應線性方程組的“正問題”而言的。比如說，我們先知道有一個需要列線性方程組解的正面問題是一個矩陣的向量乘法問題，假定為：已知矩陣A和x，要求出矩陣b，使得b=A*x。這是比較容易求出b的。但是，在有一些情況下，應用中會要求你求出與之相似的反向問題。比如上文中的式子對應的反面問題就是求解反向線性方程組了，即：已知矩陣A和矩陣b，求一個x，使得b=A*x。這樣的問題是一種反問題的形式。

相應地，在線性代數中，特征值問題也可以產生反問題，比如我們先是已知有一組復數，之后要求構造一個矩陣A，使其具有某種性質，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復數。

工程預算中，建筑安裝，設備購置費，并參與該項目的唯一時間因素，作為一個靜態(tài)投資等支出的建設成本的一部分，涉及的因素非常的多，如價格，匯率，利率等的部分，全部為動態(tài)投資的有可能遇上的變化。為了估計全部投資，不留缺口，不僅要準確計算靜態(tài)投資，同時也考慮到動態(tài)投資部分以及流動性的估計，這種估計以充分反映項目結構的成本，提供為項目決策提供可靠的依據。投資估算方法通常用在靜態(tài)投資估算指標，根據不同的估計投資指標，預計單位工程投資。投資估算指標的形式較多，如：元/平方米，元/立方米元/千瓦等等。根據這些估計的指標，由所需的面積，體積，容積（量）來計算等等，我們可以估算出相應的工程成本，排水工程投資，照明，采暖工程，供配電工程等工程單位。這就需要用到線性方程組的反問題來推演，根據給出的一系列已知條件，推演出靜態(tài)投資和動態(tài)投資所需的資本金，為投資企業(yè)置備資金提前做好準備。

在此基礎上可以預估成本并且計算一個投資項目所需要的儲備金。用這種方法，應該注意，指標和所適用的標準和條件之間是不同的具體項目，應該部分轉化和調整；另一方面要注意的是，使用的固定目標應與實際工程單位特性緊密結合，以便正確地反映其設計參數，應用它們并不是盲目簡單地套用一個單元的索引。應當指出的是，這里提到的靜態(tài)投資有一定的定時，推定所述投資充分考慮其使用的時間的影響。動態(tài)投資包括價格變動可能增加的投資額，建設期利息和固定資產投資的投資方向調節(jié)稅三部分，如果是國外的項目應計算匯率的影響。應當指出的是需要評估動態(tài)投資計劃，應根據資金使用金額為基礎的基準年計算各種可變因素，而不是在投資的靜態(tài)基礎上計算編制靜態(tài)投資。對于價格的變化可能會增加，估計差異的應急投資金額，根據國家的具體規(guī)定或執(zhí)行的主管部門。為了確保每個階段的投資比例的精確估計，要對價格平均變化率進行準確預測，做好動態(tài)分析，同時使流動性預期。在這些活動中需要用到的是線性方程的正向計算，此外，應考慮到資金和穩(wěn)定性的來源，做好各種風險分析和防范措施。確定和工程項目的成本設計階段的質量控制，不僅決定了項目的藝術美感，而且也決定了工程造價的高低。實踐表明，以確保安全和可靠的基礎上，適當的提高設計標準和使用條件，并減少潛在的成本，對作用非常大，通常為5%-10%，有的高達10%-20%。因此，為了降低工程造價，好的設計應該先放一放。在設計階段，工程造價積極主動的，積極的控制是至關重要的。在計算這些成本的時候需要用到的是線性方程組的反向計算。

而采用線性方程組的計算方式，工程預算中的明顯作用有以下幾點：第一，促進企業(yè)內部經濟核算和專業(yè)化分包。內部施工總承包企業(yè)有很多專業(yè)的機構，既可以為分支機構和獨立的評估，也可以對個別項目對方評估，相互獨立，互不統(tǒng)屬。第二，便于結算工程。項目建設周期較長，資金流量大，一般在批量結算工程批次通過實際完成。使用量價分離，可以最大限度地減少時間對項目的直接成本和間接成本的影響。第三，促進國際交流。當GB招標，數量和價格一般都是用分離的方法，即承包工程量清單報價的業(yè)主，由單價并根據工程結算的順利完成量的實際建設成本計算，包括承包商。但就目前而言，由于沒有統(tǒng)一的規(guī)則計量使用量價分離工程需要的人工，材料，機械消耗的精確計算，還需要收集相應的實際價格，因而工作量，復雜的計算在一些公司很難使用。結束語：線性方程組是我們在解決日常生活問題中常用的一種手段。線性方程組是指在方程中，所有的未知數都是一次的方程組，方程組中的未知數可能不止一個，但所有出現的未知量必須都是一次的，即方程的最高次數是一次，比如我們初高中時就學過的二元一次方程組，是最簡單的線性方程組了。所謂反問題，是指已知有一組復數，之后要求構造一個矩陣A，使其具有某種性質，并且求得的矩陣A的特征值也恰好是我們之前知道的那組復數?；蛘呤窃谝阎猙和x的情況下，需要人為構造一個矩陣A，使其具有某種特殊的性質，比如該矩陣是對稱正定矩陣，并且可以滿足：b=A*x。在本文中，我們通過與線性方程組的反問題相關的兩組例題，了解了每道例題的解題方法，以及該問題中涉及到的對于線性方程組反問題的應用，還有一些相關的定理和推論的證明以及應用。

（作者單位：沈陽師范大學）

參考文獻：

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[2] 論非齊次線性方程組的又一類反問題-劉建國-《葛洲壩水電工程學院學報》-1996；

[3] 一類線性方程反問題的顯式通解及其應用-張君敏-《河南師范大學學報：自然科學版》-2000；