“模式”是一種可以照著去做的標準樣式。數(shù)學模式是反映特定的數(shù)學問題或對象的關系結構，數(shù)學思維模式是指主體在數(shù)學思維活動中形成的相對穩(wěn)定的思維樣式，是一定的數(shù)學知識結構與數(shù)學思維方式結合而成的動力系統(tǒng)。數(shù)學思維模式具有簡約思維過程、降低思維強度、提高思維效率的認識功能。在通常意義下，凡是相對穩(wěn)定成型的數(shù)學思想規(guī)律、方法及典型問題或基本問題都屬于數(shù)學思維模式的范疇。

一、幾種主要的數(shù)學思維模式

數(shù)學的載體是數(shù)、式、圖形、結構等數(shù)學對象。由于這些對象是具有特殊性的，它們是抽象的“思想事物”，所以數(shù)學的思維反映在認識數(shù)學的概念、法則、定理甚至符號之中。數(shù)學知識綜合復雜、千差萬別，但仔細分析，大體有以下四種數(shù)學思維模式。

1.數(shù)學思維的操作模式：數(shù)學方法。數(shù)學思維的最初級模式是法則和方法以及公式等的直接應用。如加減乘除的四則運算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等，表現(xiàn)為有章可循、可以操作的一種程序，這里講的操作，當然是思維操作。例如，用兩塊三角板過直線外一點畫已知直線的平行線，教師總結的“一放、二靠、三移、四畫”的程序，就是便于學生掌握“過直線外一點畫已知直線的平行線”的方法。

2.數(shù)學思維的機理模式：數(shù)學原理。機理模式的數(shù)學思維，表現(xiàn)為一種適應范圍廣、高層次的方法。它充滿著理性與邏輯性，常以數(shù)學原理的形式出現(xiàn)，有時雖然也有操作，但操作只是從屬地位。如果說操作模式的數(shù)學思維常表現(xiàn)為“一定要這樣”，那么機理模式的數(shù)學思維突出的是“為什么是這樣”。機理模式的數(shù)學思維表現(xiàn)有：分析和綜合原理、等價原理、對稱原理、分類原理、抽屜原理等，如式的恒等變形，根據(jù)的是等式的性質。

3.數(shù)學思維的動態(tài)模式：數(shù)學思想。學習數(shù)學的基本要求是理解，要將數(shù)學知識廣泛地融會貫通，這就是動態(tài)模式的數(shù)學思維，表現(xiàn)為數(shù)學思想是一種辯證性、運動性、總體性的思維形式，即從普遍聯(lián)系的視角來數(shù)學思維。如轉化思想、運動思想、數(shù)形結合思想、優(yōu)化思想、集合思想、極限思想、對應思想、變換思想、普通性與特殊性思想等都屬動態(tài)思維模式。

4.數(shù)學思想的工具模式：數(shù)學意識。數(shù)學家如何創(chuàng)造了數(shù)學？數(shù)學家在處理似乎與數(shù)學無關的問題時，他們的技巧為何如此高超？這種創(chuàng)造，這種處理，就是工具模式的數(shù)學思維：數(shù)學意識。作為數(shù)學意識，最深刻、本質的認識是：數(shù)學是科學的仆人，數(shù)學是科學的語言，甚至數(shù)學是宇宙的語言，數(shù)學是思維的工具。例如，笛卡兒提出過的“萬能方法”（把任何問題化歸用代數(shù)方程解的數(shù)學問題），雖然“萬能模式”的設想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質上肯定了數(shù)學思維對認識世界的工具作用。正如馬克思所說：“一門科學，只有當它成功地運用數(shù)學時，才算達到真正完善的地步?！边@即所謂的數(shù)學意識。也就是說數(shù)學的對象是一種邏輯的建構，一般的科學對象可以說是“數(shù)學建構”。

二、對一道例題幾種解法的思維模式層次剖析

蘇教版小學數(shù)學五年級上冊（2014版）第96頁編排了如下一道例題。

南山中心小學舉行小學生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

教學中，教師在學生認真審題、理解題意的基礎上，讓學生嘗試尋找解決問題的方法后交流。

第一種方法，在紙上寫了紅、黃、綠、藍4支隊的名字，然后兩兩配對，一個一個地數(shù)，得到的結果為6場（如圖1）。

顯然，這種方法是這一比賽法則的操作思維。此思維法則，顯示了對經驗的總結，這種思維操作模式的直接結果是熟悉數(shù)學知識與形成數(shù)學技能，掌握基本的數(shù)學方法。

第二種方法，把這4支比賽球隊列成一個表，即比賽的場次表（如下表），得到的結果是6場。

這種方法主要是分類或分解原理的機理思維，在這里我們會感悟到：如果沒有經過法則和方法的認真操作，就不能形成扎實的基本功；如果不能上升到數(shù)學的原理去思維、思考法則和方法的機理，勢必是機械的數(shù)學學習。反過來，如果僅僅是從原理上學習數(shù)學，而不是在法則訓練的基礎上去提煉，則數(shù)學原理就成為無源之水、無本之木。因此法則的操練與原理的領悟二者緊密聯(lián)系，不可偏廢。

第三種方法，先分析2支球隊比賽的場數(shù)，3支球隊比賽的場數(shù)，再分析得到4支球隊比賽的場數(shù)為1+2+3=6（場）。教學時有些教師還會作適當?shù)难由欤釂?支球隊、6支球隊……要比多少場呢？找出球隊數(shù)增加與比賽場數(shù)增加的規(guī)律，從而解決問題。這是一種運動思想的動態(tài)數(shù)學思維。這種動態(tài)思維是溝通數(shù)學知識之間、數(shù)學知識與實踐之間內在聯(lián)系的思維形式，是具有深刻的居高臨下的理解知識的思維模式。學習知識就是一個不斷地由薄到厚和由厚到薄的過程，這里由厚到“薄”不是知識少了，而是精了，是對知識理解達到了融會貫通。

第四種方法，把每支球隊抽象為一個點，兩隊比賽是兩點連線，比賽的場數(shù)是四邊形的邊數(shù)與對角線數(shù)的和（如圖2）。

這種解法是抽象化、模型意識的工具思維。數(shù)學意識是人類用數(shù)學思維處理問題的方式。解法四其反映的思維包含著較高的抽象化意識、模型化意識和符號化意識的成分。它將具有數(shù)學再生與創(chuàng)造的品格和用來解決挑戰(zhàn)性問題的能力的品格。

可見，數(shù)學思維的四種模式反映了由低到高發(fā)展的四個層次。最基礎的思維材料是數(shù)學知識，操作模式思維的數(shù)學方法是數(shù)學知識的積累模塊；機理模式思維的數(shù)學原理是對數(shù)學知識的消化、理解與系統(tǒng)化；動態(tài)模式思維的數(shù)學思想是對數(shù)學知識的掌握；工具模式思維的數(shù)學意識是對數(shù)學知識的運用。

三、給小學數(shù)學教學的啟示

形成數(shù)學意識是數(shù)學思維的最高境界。它是學習者走出校門若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都模糊了而保留下來的終身受益的東西。學會了自覺地用“數(shù)學的思維方式”去思考問題，才算是真正學會了“數(shù)學的思維方式”。

1.數(shù)學教學應重視讓學生數(shù)學思維模式的有序發(fā)展。低層次的數(shù)學知識，只能為數(shù)學方法、數(shù)學原理、數(shù)學思想、數(shù)學意識提供較為狹小的陣地，但隨著數(shù)學知識領域的擴大，也為數(shù)學思維的發(fā)展提供了廣闊的空間。應讓數(shù)學思維模式隨著數(shù)學知識的深入而滾動發(fā)展，循序漸進，螺旋上升。

2.數(shù)學教學要讓學生掌握初步的建構數(shù)學模型的本領。解決實際問題時，要善于引導學生建立（或選擇）一個較好的（既反映問題的本質又相當簡單）數(shù)學模型。建立數(shù)學模型的過程，就是一個數(shù)學化的抽象的過程，其實質就是通過抽象找出當前問題與某種數(shù)學結構的聯(lián)系，把一個實際問題轉化為一個數(shù)學問題的過程。學生掌握了這樣的本領，也是學生形成數(shù)學意識的堅實基礎和有利條件。

3.數(shù)學教學中教師應具有讓學生走向“理性思維”的智慧。要善于透過數(shù)學知識的層面去審視教材，發(fā)掘和把握教材資源中含有的數(shù)學理性思維因素，發(fā)揮其應有的作用；同時還要善于研究數(shù)學思維模式的層次，能帶著培養(yǎng)學生“數(shù)學意識”的眼光，去尋找適切的途徑，優(yōu)化學生思維的發(fā)展，讓學生的理性精神逐步豐滿起來。

許光新，男，1956年生，中學高級教師，江蘇省小學數(shù)學特級教師，無錫新區(qū)實驗小學校長。曾主持的江蘇省教育規(guī)劃重點課題“為每一個兒童設計課程—個性化教學的探索與實踐”獲江蘇省基礎教育成果一等獎?，F(xiàn)主持研究江蘇省首批基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“為每一個兒童設計課程—豐富學生的學習方式”。曾出版專著3本，有100多篇教育教學文章在《人民教育》、中國人民大學復印報刊資料等刊物發(fā)表或轉載。