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○課外測(cè)試○

高一數(shù)學(xué)測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

2.點(diǎn)M(-1，2，-3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是______.

3.已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行，則k=______.

6.兩點(diǎn)A(-2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn)，則?ABC面積的最小值是______.

8.已知l、m是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面.下列命題：

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β，則α∥β;

②若l?α，l∥β,α∩β=m,則l∥m;

③若α∥β,l∥α,則l∥β;

④若l⊥α,m∥l,α∥β,則m⊥β.

其中真命題是______(寫出所有真命題的序號(hào)).

9.從直線x-y+3=0上的點(diǎn)向圓x2+y2-4x-4y+7=0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為______.

11.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.

13.過(guò)點(diǎn)P(-4，0)的直線l與圓C：(x-1)2+y2=5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為______.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與C有公共點(diǎn)，則k的最大值是______.

二、解答題(本大小題6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)設(shè)銳角?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=2bsinA.

(1)求B的大小；

(2)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y-2-a=0(a∈R)，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.

17.(本小題滿分16分)如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).

(1)求證：PA∥面BDE；

(2)平面PAC⊥平面BDE.

18.(本小題滿分14分)如圖所示，在四棱柱(側(cè)棱垂直于底面的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

(1)求證D1C⊥AC1;

(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說(shuō)明理由.

19.(本小題滿分16分)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值;

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

20.(本小題滿分16分)已知⊙O：x2+y2=1和點(diǎn)M(4，2).

(1)過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l,求直線l的方程；

(2)求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程；

參考答案

一、填空題

1.120°;2.(1,-2,3);3.3或5;

11.(x-2)2+(y-1)2=1;12.6π;

二、解答題

15.(1)∵a=2bsinA,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=7，

16.(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，畫出圖象可知，直線x=1也符合題意.

當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，其方程可設(shè)為y-2=k(x-1),又設(shè)圓心到直線l的距離為d.

即3x-4y+5=0.所以直線l的方程為3x-4y+5=0和x=1.

(2)當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,此時(shí)2+a=0,解得a=-2,此時(shí)直線l的方程為x-y=0;

所以，l的方程為x-y=0或x+y-2=0.

17.(1)連結(jié)OE，如圖所示.

∵O、E分別為AC、PC中點(diǎn)，∴OE∥PA.

∵OE?面BDE，PA?面BDE，

∴PA∥面BDE.

∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD，

在正方形?ABCD中，BD⊥AC，

∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，

又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE.

18.(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)C1D.∵DC=DD1,

∴四邊形DCC1D1是正方形，DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1,DC∩DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1,D1C?平面DCC1D1,

∴AD⊥D1C.

∵AD,DC1?平面ADC1,且AD∩DC1=D,

∴D1C⊥平面ADC1,

又AC1?平面ADC1,∴D1C⊥AC1.

(2)在DC上取一點(diǎn)E，連結(jié)AD1,AE,設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連結(jié)MN.

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,須使MN∥D1E,又M是AD1的中點(diǎn)，

∴N是AE的中點(diǎn)，又易知?ABN≌?EDN,

∴AB=DE.即E是DC的中點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E∥平面A1BD.

19.(1)(x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m<5.

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

則x1=4-2y1,x2=4-2y2,

x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.

∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0，

∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.

①

5y2-16y+m+8=0,

(3)以MN為直徑的圓的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，

即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0，

20.(1)設(shè)切線l方程為y-2=k(x-4),易得

∴⊙M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9.

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R(a,b),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),相應(yīng)的定值為λ,根據(jù)題意，可得

即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by

+a2+b2).

(*)

又點(diǎn)P在圓上，∴(x-4)2+(y-2)2=9,

即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)，得

8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+y2-11)].若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，