嚴循躍

(江蘇省如皋中學，226500)

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○高考之窗○

高考解析幾何解答題的幾種題型及應對策略

嚴循躍

(江蘇省如皋中學，226500)

圓錐曲線綜合題類型較多,是各地高考必考的大題之一,題目本身運算量較大,學生無論是解決問題方法的選取還是在運算技巧處理上都精準度較低.為了讓學生能順利解決此類題,本文通過對此類題?？碱愋瓦M行歸納,以達到幫助同學克服畏難情緒,提高解題能力的目的.

題型1求參數(shù)的取值范圍

例1在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

(2)設斜率為k的直線l過定點P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍.

分析在第(1)問中,可先設點M(x,y),由題意可求得點M的軌跡方程.在第(2)問中,可先由點斜式把直線方程寫出來,將直線方程與第(1)問所求的軌跡方程聯(lián)立,需注意考慮k=0及k≠0的情況,當k≠0時,聯(lián)立后得到的關系式,還需討論方程的判別式Δ及直線與x軸交點的橫坐標的正負.

簡解(1)易得點M的軌跡C的方程為

(2)在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).

依題意,可設直線l的方程為

y-1=k(x+2).

ky2-4y+4(2k+1)=0.

①

當k≠0時,方程① 的判別式為

Δ=-16(2k2+k-1).

②

設直線l與x軸的交點為(x0,0),則

③

規(guī)律方法求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數(shù),通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示.有時為了運算的方便,在建立關系的過程中也可以采用多個變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可,同時要特別注意變量的取值范圍.

求解特定字母取值范圍問題的常用方法:(1)構(gòu)造不等式法:根據(jù)題設條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如:曲線的范圍、對稱性、位置關系等),建立關于特定字母的不等式(或不等式組),然后解不等式(或不等式組),求得特定字母的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)法:根據(jù)題設條件,用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母,即建立關于特定字母的目標函數(shù),然后研究該函數(shù)的值域或最值情況,從而得到特定字母的取值范圍.(3)數(shù)形結(jié)合法:研究特定字母所對應的幾何意義,然后根據(jù)相關曲線的定義、幾何性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型2定點問題

例2已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由l與C的方程聯(lián)立可得3+4k2-m2>0，故

由AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),易得kAD·kBD=-1,即

當m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知矛盾;

題型3定直線問題

(1)求橢圓C的方程;

(2)設直線x=my+1與橢圓C交于P、Q兩點,直線A1P與A2Q交于點S．試問:當m變化時,點S是否恒在一條定直線上?若是,請寫出這條直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由．

若點S在同一條直線上,則直線只能為l:x=4.以下證明對于任意的m,直線A1P與直線A2Q的交點S均在直線l:x=4上．

(m2+4)y2+2my-3=0.

記P(x1,y1),Q(x2,y2),則

∴y0=y0′,即S0與S0′重合,這說明,當m變化時,點S恒在定直線l:x=4上．

以下證明對于任意的m,直線A1P與直線A2Q的交點S均在直線l:x=4上．事實上,記P(x1,y1),Q(x2,y2),則由方法1得

消去y,得

①

②

∵2my1y2-3(y1+y2)=0,

∴②式恒成立．這說明,當m變化時,點S恒在定直線l:x=4上．

方法3記P(x1,y1),Q(x2,y2),

由方法2得A1P與A2Q的方程聯(lián)立消去y

=4.

這說明,當m變化時,點S恒在定直線l:x=4上．

題型4定值問題

(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;

①

②

③

∵A(x1,y1)在橢圓C0上,

代入③，可得

∴點M的軌跡方程為

(2)設A′(x3,y3,因為矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,所以

∵A,A′均在橢圓上,

規(guī)律方法解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量——函數(shù)——定值”,具體操作程序如下:

(1)變量——選擇適當?shù)牧繛樽兞?

(2)函數(shù)——把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù);

(3)定值——化簡得到函數(shù)的解析式,消去變量得到定值．

求定值問題常見的方法有兩種:

(1)從特殊情況入手,求出定值,在證明定值與變量無關;

(2)直接推理、計算,并在計算過程中消去變量,從而得到定值．

題型5最值問題

(1)求橢圓C的方程.

(2)過原點的直線與橢圓C交于A,B兩點(A,B不是橢圓C的頂點).點D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點.

① 設直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值;

② 求?OMN面積的最大值.

設直線AD的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0)與C的方程聯(lián)立,可得

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0，

由題意知x1≠-x2,

令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得

由① 知M(3x1,0),可得?OMN的面積

規(guī)律方法圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何方法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

常見的幾何方法有:(1)直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為該點P到直線的垂線段的長度;(2)圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|+R,最小值為|PC|-R(R為圓C半徑);(3)過圓C內(nèi)一定點P的圓的最長的弦即為經(jīng)過點P的直徑,最短的弦為過P點且與經(jīng)過P點直徑垂直的弦;(4)圓錐曲線上本身存在最值問題,如① 橢圓上兩點間最大距離為2a(長軸長);② 雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長);③ 橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距離;④ 拋物線上的點中頂點與拋物線的準線距離最近.

常用的代數(shù)方法有:(1)利用二次函數(shù)求最值;(2)通過三角換元,利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值;(3)利用基本不等式求最值;(4)利用導數(shù)法求最值;(5)利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

題型6圓錐曲線中的存在性問題

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求出圓的方程;若不存在,請說明理由.

當x1=0時,P1,P2重合,題設要求的圓不存在.

設C(0,y0),由CP1⊥F1P1,得

綜上,存在滿足題設條件的圓,其方程為

規(guī)律方法所謂存在性問題,就是判斷滿足某個(某些)條件的點、直線、曲線(或參數(shù))等幾何元素是否存在的問題.這類問題通常以開放性的設問方式給出,若存在符合條件的幾何元素或參數(shù)值,就求出這些幾何元素或參數(shù)值,若不存在,則要求說明理由.求解存在性問題時,通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算,若不出現(xiàn)矛盾,并且得到了相應的幾何元素或參數(shù)值,就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾,則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.

解決存在性問題應注意以下幾點:(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;(2)當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件;(3)當條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要思維開放,采取另外的途徑.

解決存在性問題的解題步驟:第一步:先假設存在,引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組);第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無解則不存在;第三步:得出結(jié)論.