尚向陽

(陜西省周至縣第一中學(xué)，710400)

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常見簡單線性規(guī)劃問題

尚向陽

(陜西省周至縣第一中學(xué)，710400)

高考數(shù)學(xué)對簡單線性規(guī)劃常考常新，解決好常見的線性規(guī)劃問題是值得思考的.線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)的求解是線性規(guī)劃問題的重點也是難點,對于目標(biāo)函數(shù)的含義學(xué)生往往理解的不深不透,生搬硬套,導(dǎo)致思路混亂,解答出錯．本文結(jié)合近幾年高考,探討歸納出高考常見的線性規(guī)劃基本題型,提供解決相關(guān)的線性規(guī)劃問題的解題策略,供大家參考．

一、基本類型——直線的截距型

例1(2015年廣東高考題)若變量x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最小值為()

解不等式所表示的可行域如圖1所示.

評注深刻地理解目標(biāo)函數(shù)的含義,正確地將其轉(zhuǎn)化為直線的縱截距是解決本題的關(guān)鍵．

二、直線的斜率型

例2(2015年全國高考題)若x,y滿足約束條件

例3已知x、y滿足約束條件

解作出可行域,如圖3陰影部分所示.

由圖3，可知kPA最小,kPC最大,

三、平面內(nèi)兩點間的距離型(或距離的平方型)

例4已知實數(shù)x、y滿足

則w=x2+y2-4x-4y+8的最值為______.

解目標(biāo)函數(shù)w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其含義是點(2,2)與可行域內(nèi)的點的距離的平方．由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖4所示.

可行域為圖中?ABC內(nèi)部(包括邊界),易求得B(-2,-1).結(jié)合圖形知,點(2,2)到點B的距離的平方為其到可行域內(nèi)點的最大值,wmax=(-2-2)2+(-1-2)2=25;點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點的最小值，

評注將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或距離的平方是解決本類題的關(guān)鍵．

四、點到直線的距離型

例5已知實數(shù)x、y滿足2x+y≥1,求u=x2+y2+4x-2y的最小值.

解目標(biāo)函數(shù)u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5,其含義是點(-2,1)與可行域內(nèi)的點的最小距離的平方減5．由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖5所示(直線右上方):

點(-2,1)到可行域內(nèi)的點的最小距離為其到直線2x+y=1的距離,由點到直線的距離公式，可求得

評注將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點到直線的距離或距離的平方是解決本類題的關(guān)鍵．

五、變換問題，研究目標(biāo)函數(shù)

例6(2015年福建高考題)變量x,y滿足約束條件

若z=2x-y的最大值為2，則實數(shù)m等于()

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

評注結(jié)合參變量與目標(biāo)函數(shù)進行轉(zhuǎn)化變形是解決本類題的關(guān)鍵．

六、平面區(qū)域面積型

例7(2015年重慶高考題)若不等式組

化簡得(m+1)2=4,解得m=-3,或m=1.

檢驗知當(dāng)m=-3時,已知不等式組不能表示一個三角形區(qū)域,故舍去;m=1符合題意;故答案選B.

評注由題意準(zhǔn)確畫出可行域,根據(jù)其形狀來計算面積,基本方法是利用三角形面積,或切割為三角形,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形的面積求解是解決本類題的關(guān)鍵．

七、以實際問題為背景,綜合函數(shù)等知識類

例8(2015年陜西高考題)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示,如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()

(A)12萬元(B)16萬元

(C)17萬元(D)18萬元

甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128

解設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y，由題意得

其表示如圖8陰影部分區(qū)域.

當(dāng)直線3x+4y-z=0過點A(2，3)時，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18,故答案選D.

評注將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,解決的方法類似于線性規(guī)劃問題.可依據(jù)題意寫出線性約束條件,再畫出可行域,尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．常常以直線定邊界,以特殊點判斷區(qū)域,易發(fā)現(xiàn)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解往往在多邊形可行域的頂點或邊界處達到．