曹　昕　　　　　洪家鳳

(安徽省渦陽(yáng)縣第二中學(xué),233600)　(安徽省渦陽(yáng)縣第四中學(xué),233600)

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例析求參數(shù)取值范圍的方法

曹昕洪家鳳

(安徽省渦陽(yáng)縣第二中學(xué),233600)(安徽省渦陽(yáng)縣第四中學(xué),233600)

在高中數(shù)學(xué)中,求某個(gè)參數(shù)的取值范圍是很常見的一種題型.由于這類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多,用到的數(shù)學(xué)思想方法也較多,故常受到高考命題專家的青睞,也能很好的體現(xiàn)《考試大綱》中“在知識(shí)交匯處命題,以能力立意”的高考宗旨.這類問(wèn)題思維要求高,解法靈活,學(xué)生不易掌握,教師教起來(lái)也感覺困難.為了便于讀者的教與學(xué),筆者對(duì)此類問(wèn)題加以總結(jié),列出常見類型的求解方法,希望能對(duì)讀者有所幫助.

一、分類討論法

分析該題為已知函數(shù)的極小值求參數(shù)值,只要確定f(x)在(0,e)內(nèi)的極小值點(diǎn)即可.

解f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

① 當(dāng)a>1時(shí),令f′(x)>0,得0a，∴f(x)在(0,1)和(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,a)內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)

② 當(dāng)a=1時(shí),f′(x)恒大于等于0,不可能有極小值.

綜上，a=-1.

評(píng)注函數(shù)極值問(wèn)題與函數(shù)的單調(diào)性息息相關(guān),若函數(shù)f(x)在x=x0的左邊導(dǎo)函數(shù)值負(fù),右邊導(dǎo)函數(shù)值正,則x=x0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn);反之,則x=x0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).

二、分離參數(shù)法

例2(2013年全國(guó)高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值；

(2)若x≥-2時(shí),f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

分析(2)對(duì)x的值分三類討論將k分離出來(lái),分別求出k的范圍再取交集.

解(1)a=4,b=2,c=2,d=2(過(guò)程略).

(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2(x+1)ex.

①當(dāng)x=-1時(shí),易見k∈R.

② 當(dāng)-2≤x<-1時(shí),

∴y=h(x)在[-2,-1)上遞增，

k≤(h(x))min=h(-2)=e2.

③ 當(dāng)x>-1時(shí),

∴當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),h′(x)>0;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)<0.

故k≥h(x)max=h(0)=1.

綜上，所述k的取值范圍為[1,e2].

評(píng)注分離參數(shù)法，就是將參數(shù)與主變?cè)蛛x于式子的兩邊,再結(jié)合主變?cè)姆秶_定含主變?cè)氖阶拥姆秶?若參數(shù)k≤f(x)恒成立,則k≤f(x)min;

若參數(shù)k≥f(x)恒成立,則k≥f(x)max.這種方法可避開繁瑣的分類討論,使得問(wèn)題的解決簡(jiǎn)單快捷.

三、構(gòu)造函數(shù)法

例3(2014年江蘇高考題)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);

(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

分析第(2)問(wèn):

途徑1:利用分離參數(shù)解決恒成立問(wèn)題,分離后構(gòu)造函數(shù),用求導(dǎo)的方法求出最值，這是中學(xué)常見的解題策略;

途徑2:將不等式變形移項(xiàng)后構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),并對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析,從而解決問(wèn)題.

解法1已知不等式變形為

解法2由已知得me2x-(m-1)ex+m-1≤0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立.

構(gòu)造函數(shù)

g(x)=me2x-(m-1)ex+m-1,

其中x∈(0,+∞).

令ex=u>1.則

g(u)=mu2-(m-1)u+m-1(u>1).

由g(u)≤0，得

評(píng)注分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)是解決恒成立問(wèn)題的通法,很多時(shí)候會(huì)避免討論,給解題帶來(lái)簡(jiǎn)便.把不等式變形后構(gòu)造函數(shù),也是解決問(wèn)題的常用方法,要合理地把握,合理地變通,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生抓住通法進(jìn)行思考,就能順利解答.

四、數(shù)形結(jié)合法

例4已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2,求當(dāng)方程x3-3ax+2=0分別有三個(gè)不同的實(shí)根及有唯一的實(shí)根時(shí)a的范圍(其中a>0).

分析方程x3-3ax+2=0有三個(gè)不同的實(shí)根,就是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的圖象,數(shù)形結(jié)合可知:只要函數(shù)f(x)的極大值大于0,極小值小于0時(shí)即可使方程x3-3ax+2=0有三個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)極大值與極小值同號(hào)時(shí)有唯一實(shí)根.

解函數(shù)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為

f′(x)=3x2-3a.

x(-∞,-a)-a(-a,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增

根據(jù)列表討論,可作函數(shù)的草圖(如圖1)

評(píng)注一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題存在著形象的直觀模型,在解題時(shí)有意識(shí)地去挖掘抽象問(wèn)題的直觀形象,變抽象為形象,由數(shù)思形,

數(shù)形結(jié)合,往往可以起到意想不到的效果.在解決這類問(wèn)題時(shí)，如果給定的一個(gè)函數(shù),其圖象的大致輪廓能清晰地呈現(xiàn)在我們面前，一些數(shù)學(xué)問(wèn)題也就能順利地得到解決.方程根的個(gè)數(shù)或者說(shuō)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)具體的應(yīng)用.

五、特殊值巧解法

例5(2013年全國(guó)高考題)已知函數(shù)

若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是()

(A)(-∞,0] (B)(-∞,1]

(C)[-2,1](D)[-2,0]

分析若按分類討論的方法去解決本題費(fèi)時(shí)費(fèi)力,一般的學(xué)生是很難完成的.考慮到題目是選擇題,可用特殊值法排除.觀察選項(xiàng)我們不難發(fā)現(xiàn)A,D選項(xiàng)沒有1,不妨令a取1,則顯然有l(wèi)n(x+1)>x不成立,即a不能取1,這樣答案就在A,D中選擇.再觀察A,D選項(xiàng)有何不同呢?A中有-3,D中沒有.令m取-3,顯然有|f(x)|=x2-2x≥-3x,x≤0不成立.這樣很容易選出正確答案D.

六、 一元二次方程根的分布法

例6若x2-ax+a=0在(-3,4)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

解令f(x)=x2-ax+a.

由題意，知

評(píng)注解決二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，需關(guān)注拋物線的開口方向、對(duì)稱軸方程、區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值、判別式Δ,結(jié)合其圖象分析以上四個(gè)方面便可將問(wèn)題解決.