張　進(jìn)

(江蘇省南京市寧海中學(xué)，210024)

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○學(xué)習(xí)指導(dǎo)○

用三角換元法解一類題

張進(jìn)

(江蘇省南京市寧海中學(xué)，210024)

換元思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.換元法又稱輔助元素法、變量代換法,它通過引進(jìn)新的變量把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，將陌生的結(jié)構(gòu)變?yōu)槭煜さ男问?把復(fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.

本文主要針對(duì)筆者在最近高三復(fù)習(xí)課中遇到的一類具x2+y2的結(jié)構(gòu)問題,利用三角換元法將問題化歸到我們熟悉的模型中來,轉(zhuǎn)變一種解決問題的思路,與廣大讀者交流,歡迎給予指導(dǎo).

評(píng)注本題利用了三角換元法,將題中的三個(gè)參量減少為一個(gè)參量,并將問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓相交斜率的取值范圍問題.通過這種換元,往往可以暴露已知與未知之間被表面形式覆蓋著的實(shí)質(zhì),發(fā)現(xiàn)解題途徑.與此類似的有:

例2(2015年浙江高考題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是______.

分析從題目結(jié)構(gòu)上看,可以考慮去絕對(duì)值從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,筆者在此嘗試三角換元法,做起來更為簡(jiǎn)單.

解設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,0

|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2rcosθ

+rsinθ-4|+|6-rcosθ-3rsinθ|.

由三角函數(shù)和r的范圍易將絕對(duì)值去掉,再由“輔角公式”可將原式化為:10-3rcosθ-4rsinθ=10-5rsin(θ+φ),易知其最大值為15.

評(píng)注此題本意考察簡(jiǎn)單線性規(guī)劃內(nèi)容,考試中避免不了要畫圖和利用點(diǎn)到直線距離公式的計(jì)算,筆者根據(jù)題中x2+y2≤1,考慮圓的參數(shù)方程,即三角換元法將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,在考試中也可節(jié)約時(shí)間.

例3設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2的最小值為______.

分析此題為二元二次函數(shù)的最值問題,常規(guī)解法是利用條件轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題.不過,筆者嘗試對(duì)結(jié)論中的二元平方關(guān)系進(jìn)行三角換元,亦可解決此題.

解設(shè)x2+y2=r2,x=rcosθ,y=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).將x,y代入原式得

r2cos2θ+2r2sinθcosθ-1=0,

從而r2(cos2θ+2sinθcosθ)=1,

變式設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy-y2=1,則x2+y2的最小值為______.

此題筆者試著構(gòu)造齊次式或者構(gòu)造不等式求解,但都需要較強(qiáng)的基本功,對(duì)思維要求和運(yùn)算能力的要求都很高,而用三角換元法則簡(jiǎn)化了運(yùn)算,如下:

解設(shè)x2+y2=r2,x=rcosθ,y=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).將x,y代入原式得

r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ=1,

分析本題的兩條曲線的公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程

即ax2+(2b+1)x-a-2=0.

在區(qū)間[3,4]上至少有一個(gè)解的問題.可以利用主次元轉(zhuǎn)化的方法,視上述方程為關(guān)于a,b的直線方程(x2-1)a+2xb+x-2=0,再利用(a,b)到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離求解，這種解法對(duì)學(xué)生的思維要求很高.

解設(shè)a2+b2=r2,a=rcosθ,b=rsinθ,r>0,θ∈[0,2π).

ax2+(2b+1)x-a-2=0,

所以x2rcosθ+2xrsinθ+x-rcosθ-2=0,

(rx2-r)cosθ+2xrsinθ=2-x,

因?yàn)閨sin(θ+φ)|≤1,

在[3,4]上g′(x)>0,所以g(x)在[3,4]上是增函數(shù)，

評(píng)注用三角換元法解決此題思維較為自然,根據(jù)輔角公式以及三角函數(shù)的有界性來求解,將原先的幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,此題再一次體現(xiàn)三角換元法的強(qiáng)大實(shí)用性.