趙朋程，劉彬，高偉，趙志彪，王美琪（燕山大學信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；河北省特種光纖與光纖傳感重點實驗室，河北 秦皇島 066004；燕山大學電氣工程學院，河北 秦皇島 066004）

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用于水泥熟料fCaO預測的多核最小二乘支持向量機模型

趙朋程1,2，劉彬1,2，高偉3，趙志彪1,2，王美琪1,2
（1燕山大學信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；2河北省特種光纖與光纖傳感重點實驗室，河北 秦皇島 066004；3燕山大學電氣工程學院，河北 秦皇島 066004）

摘要：針對水泥熟料游離氧化鈣（fCaO）含量預測模型辨識的問題，考慮到單一核函數無法顯著提高模型精度，采用多項式核函數、指數徑向基核函數和高斯徑向基核函數組合構建等價核的方法，建立了多核最小二乘支持向量機水泥熟料fCaO預測模型。同時，利用改進的粒子群優(yōu)化算法對多核最小二乘支持向量機模型的6個待確定參數進行迭代尋優(yōu)，避免了模型參數人工選取的盲目性。最后將基于改進粒子群的多核最小二乘支持向量機模型應用于熟料fCaO含量的實例仿真。結果表明，建立的水泥熟料fCaO含量預測模型精度高、泛化能力強。

關鍵詞：多核學習；最小二乘支持向量機；模型；優(yōu)化；算法；隨機擾動

2015-10-21收到初稿，2016-03-01收到修改稿。

聯(lián)系人：劉彬。第一作者：趙朋程（1990—），男，博士研究生。

Received date: 2015-10-21.

Foundation item: supported by the Natural Science Foundation of Hebei Province (F2016203354).

引　言

在水泥生產過程中，水泥熟料游離氧化鈣（free calcium oxide in cement clinker，fCaO）是熟料質量的一項重要指標[1-2]，其含量的高低直接影響水泥的安定性以及生產能耗。目前，國外部分水泥生產企業(yè)使用在線分析儀測量水泥熟料fCaO含量，但設備維護成本較大，并且測量結果的準確性受到現(xiàn)場煙塵和工況的影響。國內大部分水泥生產企業(yè)的熟料fCaO值仍需每隔1～2 h現(xiàn)場取樣離線化驗得到，由于生料加工成熟料過程具有較大延時，離線獲得的測量結果對于燒成系統(tǒng)的生產指導具有一定滯后性[3]。隨著模型辨識技術的興起，水泥熟料fCaO含量預測模型辨識方法的研究成為一個重要課題。

由于神經網絡訓練遵循經驗最小化原則[4]，存在過擬合現(xiàn)象，并且網絡訓練復雜度隨著樣本數目的增加而增加。因此，Vapnik[5]基于統(tǒng)計理論提出了支持向量機（support vector machine，SVM）方法，但SVM的訓練需要求解二次規(guī)劃問題，影響了SVM的求解速度。Suykens等[6-7]提出了最小二乘支持向量機（least square support vector machine，LSSVM）的方法，利用最小二乘的方法將SVM的學習轉化為求解線性方程組問題。近來，LSSVM及其改進形式被用于建立回歸模型中[8-11]。但是，單一核函數LSSVM方法無法顯著提高所建模型的精度，并且非線性學習能力有限。因此，文獻[12-13]提出了多核學習的思想，為解決單一核函數對模型精度影響的問題提供了解決方向；文獻[14-15]將多核學習的思想分別用于支持向量機和極端學習機中，提高了模型的精度，然而文獻中模型的精度仍依賴于核參數的人工選取。為了避免模型參數的選取對模型精度的影響，粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法被應用到模型參數尋優(yōu)過程中[16-18]。

為了降低單一核函數及其參數選擇對SVM建模精度的影響，本文首先結合不同核函數性質選取3種核函數構建等價核，用構建的等價核代替?zhèn)鹘y(tǒng)單一核函數，建立多核最小二乘支持向量機（multiple kernel least square support vector machine，MKLSSVM）模型；然后針對PSO算法搜索精度低、全局搜索能力差的缺點進行改進，提出一種帶隨機擾動的混沌粒子群（random perturbed chaos particle swarm optimization，RPCPSO）算法，并給出了RPCPSO算法優(yōu)化MKLSSVM模型參數的步驟；最后將建立的MKLSSVM模型應用于水泥熟料fCaO含量預測建模中進行仿真實驗。

1　多核最小二乘支持向量機

1.1MKLSSVM建模

MKLSSVM的核函數是通過G個不同類型的核函數線性加權組合得到的。假設訓練樣本數據集為，其中，N為訓練樣本數；xi∈ RN為輸入矢量，RN為輸入空間；yi∈ R為相應的期望輸出，R為實數集，i=1,2, L ,N 。RN通過非線性函數?( xi)被映射到高維特征空間Z，高維特征空間采用式（1）來估計未知非線性函數。

式中，wk∈Z 為?k(?)的權值，λk≥0為第k個核函數的系數，k=1,2, L ,G，b∈R為常值偏差矩陣。

根據結構風險最小化原則，將求解式（1）轉化為求解如下最小值優(yōu)化問題，其目標函數為

上述目標函數滿足約束條件

式（2）中正則化系數γ代表模型泛化能力及精度間的匹配參數，ei為第i個數據實際輸出和期望輸出間的誤差。

采用Lagrange乘子法建立式（2）Lagrange函數

式中，αi∈ R和βi∈ R為Lagrange因子。

分別求取式（4）關于各變量的偏微分

因此，消去變量wk、ei和iβ，得yi表達式為

式（6）矩陣表達式為

因此，將式（5）中wk表達式代入式（1），化簡得到MKLSSVM對偶空間的表達式為

另，由于MKLSSVM的非線性映射能力是由核函數決定的[19]，因此選取合適的核函數將提高所建立模型的精度和泛化能力。

1.2核函數選取及待優(yōu)化參數確定

在綜合常用核函數特性并權衡模型精度與計算復雜度的基礎上，選用三階多項式、指數型徑向基和高斯徑向基3種核函數進行加權組合，構建等價核。三階多項式核函數常用來表示非線性特征映射，C為其參數；指數型徑向基核函數應用于離散回歸問題時可產生線性分段解，參數σ′為其核寬度；高斯徑向基核函數常用來表示非線性特性，參數σ為其核寬度。因此，用于MKLSSVM中的等價核函數可表示為

式中，1λ、2λ、3λ分別為其對應核函數系數，表示各個核函數所占比重。

根據式（3）的約束條件知λ3=1? λ1? λ2，另將所選3種核函數表達式代入式（10），MKLSSVM對偶空間的可表示為

參數b及α是關于γ、C、σ′、σ、λ的參量，由式（9）求解得出。因此，上述包含3種核函數的MKLSSVM精度受到參數γ、1λ、2λ、C、σ′以及σ共計6個參數的影響。為避免人工選擇參數的盲目性，本文利用帶隨機擾動的混沌粒子群算法對MKLSSVM待確定參數進行迭代尋優(yōu)。

2　基于RPCPSO算法的MKLSSVM參數尋優(yōu)

2.1RPCPSO算法建立

針對傳統(tǒng)PSO算法收斂速度慢、全局尋優(yōu)能力差以及搜索精度低的缺點，提出采用混沌映射保持粒子種群多樣性，并且當尋優(yōu)過程后期出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象時，在粒子速度更新公式加隨機擾動的方法，既增加了粒子發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解的概率，又避免了算法后期陷入局部最優(yōu)解，增加了搜索精度。

在RPCPSO算法中，假設搜索空間為D維，粒子個數為M，每個粒子被視為搜索空間中一點，并以一定速度飛行，則為粒子當前位置，為粒子當前速度，個體極值為，種群全局極值為。首先根據混沌序列初始化xi，先隨機產生一個各分量在[0,1]之間的D維向量，由任意初值z1∈ [0,1]根據式（13）所示的Logistic混沌系統(tǒng)經過M?1次迭代產生一個混沌序列。

式中，i=1,2,L ,M? 1，取μ=4時，式（13）所示的系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)。

將各個分量根據式（14）載波到待優(yōu)化變量的取值范圍，得到RPCPSO算法的初始位置。

式中，i=1,2, L ,M ，d=1,2, L ,D ，xid∈(ad, bd)，ad和bd為待優(yōu)化變量的取值范圍。

當尋優(yōu)過程后期出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象時，在粒子的速度更新公式中對個體極值iP和全局極值Pg加隨機擾動，使所有粒子分散飛向不同的新的位置，經歷新的搜索路徑，增加粒子發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解的概率。以進化代數作為擾動的觸發(fā)條件，設定隨機擾動觸發(fā)條件為Lt。

當進化代數l＜ Lt時，RPCPSO算法按照式（15）和式（16）更新粒子速度和位置。

式中，l表示當前迭代次數，ω稱為慣性權重，c1和c2為學習因子，1r和r2為分布于[0,1]之間的隨機數。

當進化代數l≥ Lt時，RPCPSO就分別按照式（17）和式（18）更新速度和位置

式中，r3和r4是在[α , β ]間的隨機數，[α , β ]? [0,1]為用戶根據具體問題設置的隨機擾動范圍。

2.2RPCPSO優(yōu)化MKLSSVM參數

采用RPCPSO算法對MKLSSVM模型待確定參數進行迭代尋優(yōu)，避免模型參數選擇的盲目性，減少其對建模精度的影響。根據式(12)可將MKLSSVM建模過程的尋優(yōu)問題表示為

下面結合尋優(yōu)問題式（19）給出RPCPSO算法優(yōu)化MKLSSVM參數尋優(yōu)步驟。

（1）初始化算法參數：維數D、粒子總數M、學習因子c1和c2、慣性權重ωmax、ωmin、最大迭代次數lmax、隨機擾動觸發(fā)迭代次數Lt等。

（2）根據混沌序列初始化粒子群位置，隨機初始化粒子速度。

（3）MKLSSVM模型辨識，計算每個粒子的適應度值Fit，全局極值點pg和個體極值點pi為

（4）檢查是否滿足結束條件：l≥ lmax，如果滿足則跳轉到步驟（10），否則運行步驟（5）。

（5）由式（21）計算慣性權重，判斷l(xiāng)＞ Lt是否成立，否則跳轉至步驟（6）；是則跳轉至步驟（7）。

（8）計算混沌變量每一個可行解的適應度值Fit，并根據以下規(guī)則更新粒子全局極值點pg和個體極值點pi：若Fit(xi)＜ Fit( pi)，則pi= xi，否則pi不變；若Fit(pi)＜ Fit( pg)，則pg= pi，否則pg不變。

（9）迭代次數加1，跳轉到步驟（4）。

（10）輸出全局最優(yōu)位置pg，pg為待尋優(yōu)參數γ，C，σ′，σ，1λ，2λ組成的向量。

（11）采用已優(yōu)化的參數γ，C，σ′，σ，1λ，2λ建立MKLSSVM模型，算法結束。

3　仿真分析

3.1RPCPSO算法驗證

為了驗證所提出的RPCPSO算法的有效性，選取Sphere(f1)、Ackley(f2)和Rastrigin(f3)3個常用Benchmark函數[20]進行算法性能測試，并將其與CPSO[21]、QPSO[22]以及PSO 3種算法進行對比。相關參數的設置情況為：Benchmark函數的維數D分別設置為10和20，其搜索范圍和表達式如表1所示；CPSO和QPSO算法除了種群規(guī)模和最大迭代次數，其他參數設置同原文獻；PSO中慣性權重設為0.9；RPCPSO中慣性權重ωmax= 0.9、ωmin= 0.2，隨機擾動觸發(fā)的迭代次數Lt設為800；種群規(guī)模M依次為50、100，最大迭代次數lmax均設置為2000。為了消除隨機性的影響，每個算法均獨立重復運行50次，其最優(yōu)適應度函數平均值（mean fitness function value，MFFV）以及達到指定尋優(yōu)精度所需的迭代次數平均值（mean iterations requested，MIR）分別如表2和表3所示。

表1　標準Benchmark測試函數Table 1　Benchmark test functions

由表2中MFFV數據比較可知，對于不同維度的測試函數，RPCPSO算法尋優(yōu)精度均高于對比算法。比較表3中MIR數據可知，在函數f1和f2維數為10時，RPCPSO收斂速度不如QPSO算法；其他情況下，RPCPSO算法收斂速度均優(yōu)于對比算法。因此，RPCPSO算法在求解高維復雜優(yōu)化問題時具有較高的搜索精度以及較快的收斂速度。

表2　對3種Benchmark函數尋優(yōu)結果的MFFVTable 2　MFFV of optimization result on three Benchmark functions

表3　對3種Benchmark函數尋優(yōu)結果的MIRTable 3　MIR of optimization result on three Benchmark functions

3.2應用實例

由水泥生產機理可知，熟料fCaO含量高低主c1= c2= 2、慣性權重ωmax= 0.9、ωmin= 0.2、最大迭代次數lmax= 85、隨機擾動觸發(fā)迭代次數Lt=50。

LSSVM和MKLSSVM的模型參數在式(19)的約束范圍內人工選取確定；PSO-MKLSSVM和要取決于生料的組成成分和生料的煅燒情況。在新型干法水泥生產工藝中，生料是經過成分配比、粉磨和均化后再進入煅燒系統(tǒng)，生料的組成成分相對穩(wěn)定。因此，本應用實例建立的水泥熟料fCaO含量預測模型輸入變量不考慮生料的組成成分的變化，只選取反映生料煅燒情況的相關變量作為模型的輸入，包括分解爐出口溫度、煙室NOx含量、窯主機電流、煙室溫度和二次風溫，選取水泥熟料fCaO含量化驗室測量值作為模型輸出。

從某水泥廠生產線DCS系統(tǒng)和化驗室歷史記錄中共獲得樣本數據165組，隨機選擇其中的100組數據作為訓練樣本，其余的65組數據作為測試樣本。為對比驗證本文提出建模方法的有效性，分別采用LSSVM、MKLSSVM、PSO-MKLSSVM和RPCPSO-MKLSSVM 4種方法建立水泥熟料fCaO含量預測模型，其中LSSVM使用高斯徑向基核函數，MKLSSVM均采用形如式（12）的等價核函數。

優(yōu)化算法初始化參數如下：PSO算法中維數D =6，粒子總數為M =30，學習因子c1= c2= 2，慣性權重ω=0.9，最大迭代次數lmax= 85；RPCPSO算法中維數D =6、粒子總數M =30、學習因子RPCPSO-MKLSSVM的模型參數分別采用PSO算法和RPCPSO算法在式（19）的約束范圍內尋優(yōu)。表4為4種方法獲得的模型參數。

表4　4種方法建立的水泥熟料fCaO模型參數Table 4　Parameters of cement clinker fCaO models

由圖1可以看出，采用RPCPSO算法訓練過程中MSE達到1.37×10?4時，迭代次數為18次，并且當迭代次數達到隨機擾動觸發(fā)迭代次數后，算法跳出局部最優(yōu)點，使均方誤差降低為1.30×10?4，而采用標準PSO算法經過41次訓練，均方誤差只達到1.73×10?4并保持不變。仿真結果表明RPCPSO算法的收斂速度和精度均優(yōu)于標準PSO算法。

圖1　PSO和RPCPSO算法均方誤差比較曲線Fig.1　MSE curve of PSO and RPCPSO algorithm

仿真實驗所用的4種建模方法預測熟料fCaO含量仿真結果對比如圖2所示。

圖2　4種方法預測水泥熟料fCaO含量仿真效果Fig.2　Simulation results of prediction cement clinker fCaO content by four methods

比較4種方法水泥熟料fCaO含量預測效果圖可知，無參數優(yōu)化的LSSVM和MKLSSVM方法建立的水泥熟料fCaO含量模型中真實值和預測值擬合程度相對有參數優(yōu)化建立的模型較差，而且MKLSSVM方法建立的模型真實值和預測值擬合度強于單一核函數LSSVM方法建立的模型擬合度，表明本文給出的組合核函數MKLSSVM方法的建立的模型精度較高。另外比較PSO算法和RPCPSO算法優(yōu)化的MKLSSVM仿真結果，RPCPSO算法優(yōu)化MKLSSVM的仿真曲線擬合度比PSO算法優(yōu)化MKLSSVM的曲線擬合度好，表明改進的RPCPSO算法具有更強的尋優(yōu)能力。

為進一步比較本仿真實驗所使用的4種方法建立的模型質量，采用可表示模型質量指標的最大絕對誤差、平均絕對誤差以及均方誤差MSE作為評判指標。4種方法建立的水泥熟料fCaO含量預測模型性能指標如表5所示。

表5　4種模型性能統(tǒng)計Table 5　Performance comparison of four models

通過比較表5中數據可知，手動選取參數建立的LSSVM和MKLSSVM模型各項性能指標較差，模型精度較低，但MKLSSVM模型性能比LSSVM模型較好。通過比較尋優(yōu)方法得到參數的兩種建模方法可知，RPCPSO-MKLSSVM模型的各項性能指標均優(yōu)于PSO-MKLSSVM模型，說明本文通過RPCPSO算法優(yōu)化MKLSSVM模型參數建立的模型精度更高、泛化能力更強。

由表6[1]中fCaO含量與水泥安定性的關系可知，當fCaO含量超過一定值后，水泥安定性不合格，使用安定性不合格的水泥對建筑物壽命有較大影響。另外，由熟料fCaO的產生機理[3,8]可知，過低的fCaO值需要消耗大量的能源。因此，可采用本文提出的模型對熟料fCaO進行預測，使現(xiàn)場操作人員及工程師可根據fCaO值結合安定性和能耗對生產過程參數進行調整，以達到在保證安定性合格的基礎上盡可能降低生產能耗的目的。由此可見，水泥熟料fCaO預測模型的研究對于水泥生產具有較大的指導意義。

表6　fCaO含量與水泥安定性的關系[1]Table 6　Relationship between cement soundness and fCaO content[1]

4　結　論

本文采用3種不同類型的核函數線性加權構建等價核，給出了一種MKLSSVM建模方法，并利用改進的RPCPSO算法針對MKLSSVM的6個待確定參數進行迭代尋優(yōu)，提高了模型精度，避免了參數選取的盲目性。仿真分析結果表明，提出的RPCPSO算法搜索精度和收斂速度均優(yōu)于對比算法，采用RPCPSO-MKLSSVM方法建立的水泥熟料fCaO預測模型的精度和泛化能力均高于其他3種對比方法。準確地預測熟料fCaO含量值不僅可以使操作人員和工程師根據fCaO值調整生產參數，為水泥生產提供指導，也為后續(xù)水泥生產過程優(yōu)化操作以及智能控制提供了先決條件。

符號說明

b——MKLSSVM算法中常值偏差矩陣

C——多項式核函數參數

c——RPCPSO算法中學習因子

D——RPCPSO算法中待優(yōu)化問題維度

ei——MKLSSVM算法的誤差項

Lt——RPCPSO算法隨機擾動觸發(fā)條件

l——RPCPSO算法的進化代數

M——RPCPSO算法的粒子數量

pg，pi——分別為RPCPSO算法搜尋到的種群最優(yōu)解和個體最優(yōu)解

v——RPCPSO算法的粒子飛行速度

w——MKLSSVM算法中權值矩陣

z——一個混沌時間序列

αi，βi——MKLSSVM算法的拉格朗日乘子

γ——MKLSSVM算法中正則化系數

λ——MKLSSVM算法中核函數系數

σ——高斯徑向基核函數核寬度參數

σ′——指數型核函數核寬度參數

ω——RPCPSO算法中慣性權重

下角標

i——輸入、輸出樣本所屬類別標記

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Multiple kernel least square support vector machine model for prediction of cement clinker lime content

ZHAO Pengcheng1,2, LIU Bin1,2, GAO Wei3, ZHAO Zhibiao1,2, WANG Meiqi1,2
(1Institute of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China;2Key Laboratory for Special Fiber and Fiber Sensor of Hebei Province, Qinhuangdao 066004, Hebei, China;3Institute of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Abstract:Aiming at the problem of how to accurately predict the cement clinker fCaO content, the traditional single kernel least squares support vector machine (LSSVM) is difficult to show the complex non-linear relation between the clinker fCaO content and corresponding variables exactly. Thus, the multiple kernel least square support vector machine (MKLSSVM) containing three kernel function is presented based on multiple kernel learning to avoid the influence of the single kernel function on the model accuracy. As a result of artificial selection the parameters of MKLSSVM is blindness and uncertainty. The random perturbation chaos particle swarm optimization (RPCPSO) algorithm is presented to get the best parameters of MKLSSVM. The cement clinker fCaO content model is built by using the RPCPSO algorithm to optimize the parameters of MKLSSVM. Simulation results indicated that the RPCPSO algorithm had a fast convergence speed, and the model had high precision and strong ability of power generalization. Thus, the model was valuable for practical application.

Key words:multiple kernel learning; least square support vector machine; model; optimization; algorithm; random perturbation

中圖分類號：TP 183

文獻標志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）06—2480—08

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151598

基金項目：河北省自然科學基金項目（F2016203354）。

Corresponding author:Prof. LIU Bin, liubin@ysu.edu.cn