林元華，鄧寬海，孫永興，曾德智（.西南石油大學油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室；.西南石油大學石油管工程重點實驗室）

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基于統(tǒng)一強度理論的套管全管壁屈服擠毀壓力

林元華1，鄧寬海1，孫永興2，曾德智2
（1.西南石油大學油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室；2.西南石油大學石油管工程重點實驗室）

摘要：在充分考慮套管拉壓強度差、中間主應力、材料硬化、屈強比對套管全壁屈服擠毀壓力影響的基礎(chǔ)上，根據(jù)統(tǒng)一強度理論推導均勻外壓下套管全壁屈服擠毀壓力的統(tǒng)一算法。該方法適合于計算具有拉壓強度差效應和中間主應力效應的套管擠毀強度；建立了VON MISES、TRESCA、GM、雙剪屈服4種典型屈服準則下的全壁屈服擠毀公式，其中雙剪屈服準則下計算公式的計算值最大，可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的上限，TRESCA屈服準則下計算公式的計算值最小，可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的下限。數(shù)據(jù)計算對比表明，新全壁屈服擠毀公式的計算值比其他公式更接近實驗值。圖6表1參31

關(guān)鍵詞：統(tǒng)一強度理論；套管擠毀；全壁屈服；擠毀壓力；拉壓強度差；中間主應力

0 引言

近年來，隨著石油和天然氣勘探開發(fā)的不斷深入，深井、超深井及鉆遇膏巖、鹽巖、頁巖、軟泥巖等塑性地層的井數(shù)量也不斷增加[1-2]，使得石油套管的服役環(huán)境變得非常惡劣，尤其深井和超深井中的套管將受到更大的外擠壓力，導致許多常規(guī)API套管不能完全滿足深井和超深井的強度要求，嚴重制約深井和超深井鉆井技術(shù)的發(fā)展及鉆進深度的延伸[3]。

為滿足深井和超深井對套管強度的要求，相繼研制出了許多厚壁、非API及高抗擠套管[4-6]，與常規(guī)API套管相比，它們具有更高的抗擠毀性能[7]。盡管如此，近幾年仍有關(guān)于高強度套管在深井和超深井中擠毀失效的相關(guān)報道[8]。因此，正確合理地預測和設(shè)計套管（尤其高抗擠套管）擠毀強度是確保油氣安全開采的關(guān)鍵。

為準確預測并設(shè)計套管擠毀強度，國內(nèi)外許多學者對均勻載荷下套管的屈服擠毀強度[9-14]進行了研究，并取得了一些重要成果[12, 14]，但大部分力學模型的設(shè)計原理是套管內(nèi)壁屈服及失效。事實上，內(nèi)壁開始屈服時套管并未完全破壞，且還有很大的抗擠余量[15-16]，若按此原理設(shè)計，會造成套管材料浪費或套管選擇難的問題；其次，大部分力學模型[10-12]主要是基于VON MISES和TRESCA[17]屈服準則建立的，而沒有充分考慮中間主應力效應和拉壓強度差效應（即SD效應）對套管屈服擠毀壓力的影響，僅適合于抗拉和抗壓強度相等的材料；另外，研究還發(fā)現(xiàn)國際標準化組織（ISO）10400擠毀模型[14]中的全壁屈服擠毀壓力公式（預測值遠遠低于套管真實的全壁屈服擠毀壓力）并非真正的全壁屈服擠毀壓力公式，導致其可能并不適合所有徑厚比套管擠毀強度的計算[8, 16]。

為此，本文基于工程研究領(lǐng)域廣泛應用的統(tǒng)一強度理論[18-20]，并考慮了SD效應、中間主應力效應、材料硬化、屈強比對套管全壁屈服擠毀壓力的影響，推導出了套管全壁屈服擠毀壓力計算公式。

1 套管全壁屈服擠毀壓力公式

1.1 統(tǒng)一強度理論

統(tǒng)一強度理論[18-19]可以退化為現(xiàn)有的多種屈服準則和一系列新的屈服準則，它考慮了中間主應力和SD效應對材料強度的影響，可以靈活用于分析各種材料的塑性極限，其數(shù)學表達式為：

1.2 均勻外壓作用下套管的彈性極限分析

套管在外界壓力不斷增加的情況下，應力分量不斷增加，屈服首先在套管內(nèi)壁發(fā)生，使得套管處于彈性極限狀態(tài)。假設(shè)套管為一長厚壁圓筒，外表面受均勻外壓作用，當外壓較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，根據(jù)拉梅公式[17]可以得到其應力分量：

由于長厚壁圓筒屬于軸對稱平面應變問題，基于文獻[21-22]對于平面應變彈塑性問題的研究，中間主應力在彈性區(qū)，m=2ν，在塑性區(qū)，m=1。當套管處于彈性極限狀態(tài)（即內(nèi)壁塑性區(qū)）時，由（2）式可得：

隨著外壓的增大，厚壁圓筒內(nèi)壁首先發(fā)生屈服，且R=Ri，po=py，由（4）式可得其彈性極限壓力py，也稱為內(nèi)壁屈服擠毀壓力：

1.3 外壓作用下套管的塑性極限分析

當po大于py時，在厚壁圓筒內(nèi)壁附近出現(xiàn)塑性區(qū)，假設(shè)Rc為彈塑性分界面的半徑，并且隨著外壓的繼續(xù)增加，塑性區(qū)逐漸向外擴展，使得Ri≤R≤Rc區(qū)域成為塑性區(qū)，而Rc≤R≤Ro區(qū)域仍處于彈性區(qū)（見圖1）。由于應力分量σθ、σr的軸對稱性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面為圓柱面，在分界面上作用有界面壓力pi，因此，分別將塑性區(qū)（內(nèi)筒）和彈性區(qū)（外筒）按厚壁圓筒進行力學分析。在外筒（彈性區(qū)）的內(nèi)壁和外壁分別作用有界面壓力（pi）和外壓（po），而內(nèi)筒外壁作用有界面壓力（pi）。

圖1　套管彈塑性力學模型

在Ri≤R≤Rc的塑性區(qū)，由塑性力學平衡方程可得：

將（7）式代入（6）式：

將邊界條件（R=Ri，σr=0）代入（8）式求解可得：

將（9）式代入（7）式可得：

在彈性區(qū)，即Rc≤R≤Ro的外圓筒，根據(jù)拉梅公式可得其應力分量：

當R=Rc時，由（11）式可得外圓筒內(nèi)壁的應力分量：

外圓筒內(nèi)壁處于彈性極限狀態(tài)，將m等于1代入（12）式，比較（12）式中的應力分量可得：

基于（13）式的等量關(guān)系，將（12）式代入（1）式求解可得界面壓力：

根據(jù)應力分量的連續(xù)性，在彈性區(qū)與塑性區(qū)的分界面上（R=Rc），彈性區(qū)與塑性區(qū)的徑向應力相等，由（9）式、（11）式、（14）式可得：

其中

隨著壓力的增加，塑性區(qū)不斷擴大，當Rc=Ro時，套管整個截面進入塑性狀態(tài)，根據(jù)（15）式可得套管全壁屈服擠毀壓力：

（16）式可以充分考慮材料的拉壓比和中間主應力對套管全壁屈服擠毀壓力的影響，因此，通過改變（16）式中α和b值可以計算不同套管（如API套管、高抗擠套管、非API套管）的全壁屈服擠毀壓力，解決了ISO 10400擠毀模型中全壁屈服擠毀壓力的計算問題及其未考慮SD效應和中間主應力效應對套管全壁屈服擠毀壓力影響的問題，進一步改善了不同規(guī)格套管的強度設(shè)計，也為ISO 10400擠毀模型的進一步發(fā)展和完善提供了理論基礎(chǔ)。

2 全壁屈服擠毀壓力的分析與討論

2.1 全壁屈服擠毀壓力的分析

2.1.1 中間主應力效應對全壁屈服擠毀壓力的影響

為了分析中間主應力效應對套管全壁屈服擠毀壓力的影響規(guī)律，假設(shè)套管材料的抗拉屈服極限與抗壓屈服極限相等，即α=1，對（16）式求極限可得：

基于（17）式可以分析中間主應力對套管全壁屈服擠毀壓力的影響規(guī)律。分別取中間主應力對材料破壞的影響系數(shù)為0，0.25，0.50，0.75，以P110套管為例，分別計算該套管徑厚比（D/δ=2Ro/(Ro-Ri)）為5～30時的全壁屈服擠毀壓力與屈服強度之比，簡稱擠毀比（見圖2）。

由圖2可知，擠毀比隨著中間主應力對材料破壞的影響系數(shù)的增加而增加，與文獻得到的趨勢基本相似[13]，且在所有的徑厚比范圍內(nèi)，中間主應力對材料破壞的影響系數(shù)的大小對擠毀比的影響規(guī)律基本一致。由此可知，中間主應力對全壁屈服擠毀壓力具有較大影響，故不容忽視。在套管強度設(shè)計時，合理考慮中間主應力的影響，可充分發(fā)揮套管材料的強度潛能。

2.1.2 SD效應對全壁屈服擠毀壓力的影響

為了分析SD效應對套管全壁屈服擠毀壓力的影響規(guī)律，假設(shè)b=1并帶入（16）式可得：

圖2　中間主應力對材料破壞的影響系數(shù)與擠毀比的關(guān)系

基于（18）式可分析SD效應對套管全壁屈服擠毀壓力的影響規(guī)律，由于套管材料的抗拉強度與抗壓強度之比一般在0.8左右[23]，故分別取拉壓比為0.7，0.8，0.9，1.0。以P110套管為例，分別計算該套管在5≤D/δ≤30時的擠毀比（見圖3）。

圖3　SD效應與擠毀比的關(guān)系

由圖3可知，擠毀比隨著拉壓比的增加而降低，即抗拉強度與抗壓強度的差異越大，其擠毀比越大，且隨著徑厚比的增加，SD效應對擠毀比的影響程度逐漸降低，但總體上來看，SD效應對全壁屈服擠毀壓力具有較大影響。因此，在套管強度設(shè)計時，合理考慮SD效應的影響，可以充分發(fā)揮套管材料的強度潛能，提高套管的擠毀性能。

2.1.3 不同屈服準則對全壁屈服擠毀壓力的計算效果

在抗拉強度與抗壓強度相等的極端情況下，統(tǒng)一強度理論可演變?yōu)槎喾N重要的屈服準則，如VON MISES、TRESCA、GM[24-25]和雙剪屈服等屈服準則，因此可通過改變（16）式中α和b的值獲得多種計算套管全壁屈服擠毀壓力的公式。

2.1.3.1 VON MISES屈服準則

2.1.3.2 TRESCA屈服準則

當α=1，b=0，統(tǒng)一強度理論退化為TRESCA屈服準則，由（16）式求極限可得該屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力計算公式：

2.1.3.3 GM屈服準則

當α=1，b=2/5，統(tǒng)一強度理論退化為GM屈服準則，由（16）式求極限可得GM屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力計算公式：

2.1.3.4 雙剪屈服準則

當α=1，b=1，統(tǒng)一強度理論退化為雙剪屈服準則，由（16）式求極限可得該屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力計算公式：

為了分析上述不同屈服準則對套管全壁屈服擠毀壓力的計算效果，以N80和J55兩種鋼級的套管為例，分別采用不同屈服準則下的全壁屈服擠毀公式（即（19）式、（20）式、（21）式和（22）式）計算N80 和J55兩種套管的全壁屈服擠毀壓力，計算結(jié)果見圖4、圖5。

由圖4、圖5可知，套管全壁屈服擠毀壓力隨著徑厚比的增加急劇降低。雙剪屈服準則對應的全壁屈服擠毀公式計算值最大，TRESCA屈服準則對應的全壁屈服擠毀公式計算值最小，其余兩種屈服準則對應的全壁屈服擠毀公式計算值基本相同。最大計算值（（22）式的計算值）與最小計算值（（20）式的計算值）的差異約30%，表明：屈服準則對套管全壁屈服擠毀壓力具有顯著的影響。因此，在抗拉強度與抗壓強度相等的極端情況下，雙剪屈服準則對應公式的計算值可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的上限，TRESCA屈服準則對應公式的計算值可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的下限，而VON MISES屈服準則和GM屈服準則對應公式的計算值可作為全壁屈服擠毀壓力的平均值。

圖4　N80套管全壁屈服擠毀壓力

圖5　J55套管全壁屈服擠毀壓力

2.2 全壁屈服擠毀壓力公式的討論

由于套管從內(nèi)壁屈服到外壁屈服要經(jīng)歷硬化和塑性流動兩個階段，采用屈服強度計算套管的全壁屈服擠毀壓力不夠完善，在塑性流動階段需引入流動應力代替屈服強度來計算套管的全壁屈服擠毀壓力。KLEVER[26]的研究結(jié)果表明：流動應力是介于屈服強度與抗拉強度之間的一個值，它考慮了材料硬化對套管全壁屈服擠毀壓力的影響。大量學者針對不同金屬管材給出了計算流動應力經(jīng)驗公式[27-29]：

為充分考慮應變硬化對套管擠毀強度的影響，本文根據(jù)材料的屈強比（對套管全壁屈服擠毀壓力影響規(guī)律的研究[30]，給出了計算套管全壁屈服擠毀壓力的公式：

采用（24）式能準確合理地計算套管（尤其高抗擠套管）的全壁屈服擠毀壓力，在保證材料安全的前提下，很大程度上改善了深井、超深井套管強度設(shè)計，為套管強度設(shè)計提供了重要參考和新思路。

對比內(nèi)壁屈服與全壁屈服擠毀壓力可知，當套管受到的外壓等于內(nèi)壁屈服擠毀壓力時，只有套管內(nèi)部開始屈服而發(fā)生局部塑性變形，但套管不會被擠毀，被稱為內(nèi)壁屈服擠毀設(shè)計，相反，套管還能承受更高的外壓，直到套管受到的外壓等于全壁屈服擠毀壓力時，套管內(nèi)壁到外壁均屈服而發(fā)生塑性變形，理論上套管會被該壓力擠毀，被稱為全壁屈服擠毀設(shè)計。套管內(nèi)壁屈服和全壁屈服擠毀設(shè)計適用于只受到均勻內(nèi)外壓作用而不受到溫度及溫差影響的常規(guī)非酸性環(huán)境下的套管，尤其高抗擠套管。對于酸性環(huán)境，屈服失效準則已不適用，環(huán)境斷裂是套管的主要失效模式，因此，對于酸性油氣田，套管除滿足屈服失效設(shè)計準則之外，還需滿足斷裂力學設(shè)計準則；對于溫度較高且溫差較大的井筒，需要考慮溫度及溫差產(chǎn)生的附加熱應力對套管擠毀強度的影響。

最后，需要說明的是，本文推導的全壁屈服擠毀壓力公式僅適用于均勻外壓的情況，而針對非均勻外壓的情況，需要先對套管受到的非均勻載荷進行簡化并作相關(guān)假設(shè)，然后采用統(tǒng)一強度理論及彈塑性極限分析方法對非均勻外壓下套管全壁屈服擠毀壓力公式進行推導和求解。由于非均勻載荷對套管擠毀強度具有顯著的影響，因此，有必要基于統(tǒng)一強度理論及相關(guān)分析方法開展非均勻載荷下套管全壁屈服擠毀壓力的研究。

3 計算結(jié)果與實驗值的對比

通過分析可知，雙剪屈服準則對應公式的計算值可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的上限，而API和ISO擠毀模型的預測結(jié)果較保守，尤其API擠毀模型，因此，本文采用雙剪屈服準則所對應的全壁屈服擠毀公式代替ISO 10400擠毀模型中的全壁屈服擠毀公式，形成新的擠毀強度計算模型，并將新模型與API模型[12]、ISO 10400模型[14]的計算結(jié)果及實驗值進行對比（見圖6、表1）。9組典型測試數(shù)據(jù)源于文獻[31]。

圖6　3種模型套管擠毀強度計算值與實驗值比較

表1　套管擠毀強度的實驗值與模型計算值對比

由圖6和表1可知，本文模型的計算結(jié)果與套管擠毀強度的實驗值最接近，且計算值與實驗值之間的誤差均小于10%，而ISO和API模型計算結(jié)果均小于實驗值，且其誤差均大于10%，尤其API計算模型。由此驗證了本文提出的全壁屈服擠毀公式的準確性和可靠性，可為套管擠毀強度的計算及設(shè)計提供重要參考。

4 結(jié)論

本文推導出的套管全壁屈服擠毀壓力公式充分考慮了SD效應、中間主應力效應、材料硬化、屈強比對套管全壁屈服擠毀壓力的影響，可用于計算存在拉壓強度差和中間主應力效應的套管全壁屈服擠毀強度，從而解決了ISO 10400抗擠模型不能準確、合理計算套管全壁屈服擠毀壓力的問題，彌補了ISO 10400擠毀模型不適合于所有徑厚比套管擠毀強度計算的不足。

分析了SD效應和中間主應力效應對套管屈服擠毀壓力的影響規(guī)律，給出了4種典型屈服準則下的套管全壁屈服擠毀壓力計算公式，其中雙剪屈服準則下的計算公式的計算值最大，可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的上限，TRESCA屈服準則下的計算公式的計算值最小，可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的下限，而VON MISES和GM屈服準則下的計算公式的計算值居中且十分接近，可作為全壁屈服擠毀壓力設(shè)計的平均值。

本文模型計算的準確性得到了套管擠毀實驗值的驗證。

符號注釋：

b——中間主應力對材料破壞的影響系數(shù)；D——套管外徑，mm；f，f '——第二主應力取不同值時的主應力強度理論函數(shù)，MPa；m——塑性系數(shù)，無因次；pAPI——API模型的擠毀強度，MPa；pi——彈性區(qū)與塑性區(qū)之間的界面壓力，MPa；pISO——ISO模型的擠毀強度，MPa；po——外界壓力，MPa；ptest——實驗的擠毀強度，MPa；pty——全壁屈服擠毀壓力，MPa；py——內(nèi)壁屈服擠毀壓力，MPa；pyG——GM屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力，MPa；pyL——VON MISES屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力，MPa；pyS——雙剪屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力，MPa；pyT——TRESCA屈服準則對應的套管全壁屈服擠毀壓力，MPa；R——套管任意位置處的半徑，mm；Rc——彈塑性分界面的半徑，mm；Ri，Ro——套管內(nèi)、外徑，mm；δ——套管壁厚，δ=Ro-Ri，mm；α——材料的拉壓比；ν——泊松比；σ1，σ2，σ3——第1、第2、第3主應力，MPa；σc——材料的抗壓強度，MPa；σf——流動應力，MPa；σs——材料的屈服應力，MPa；σt——材料的抗拉強度，MPa；σz，σθ，σr——軸向應力、環(huán)向應力、徑向應力，MPa；τs——材料的剪切強度，MPa。

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聯(lián)系作者：鄧寬海（1988-），男，四川內(nèi)江人，現(xiàn)為西南石油大學博士研究生，主要從事油井管、油氣鉆井工藝方面的研究工作。地址：四川省成都市新都區(qū)，西南石油大學石油與天然氣工程學院，郵政編碼：610500。E-mail: dengkuanhai@163.com

（編輯 郭海莉）

Through-wall yield collapse pressure of casing based on unified strength theory

LIN Yuanhua1, DENG Kuanhai1, SUN Yongxing2, ZENG Dezhi2
(1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation (Southwest Petroleum University), Chengdu 610500, China; 2.CNPC Key Lab for Tubular Goods Engineering (Southwest Petroleum University), Chengdu 610500, China)

Abstract：The unified algorithm of through-wall yield collapse pressure for casing with due consideration of strength differential (SD), yield-to-tensile strength ratio, material hardening and intermediate principal stress, which is suitable to calculate collapse strength of all casing has been obtained based on unified strength theory, and four classical through-wall yield collapse formulas of casing have been presented based on the L.Von Mises, TRESCA, GM and twin yield strength criterion.The calculated value is maximum based on the twin yield strength criterion, which can be used as upper limit of through-wall yield collapse pressure, and the calculated value is minimum based on the TRESCA strength criterion, which can be used as lower limit of through-wall yield collapse pressure in the design process.Numerical and experimental comparisons show that the equation proposed by this paper is much closer to the collapse testing values than that of other equations.

Key words：unified strength theory; casing collapse; through-wall yield; collapse pressure; strength differential; intermediate principal stress

中圖分類號：TE256

文獻標識碼：A

文章編號：1000-0747(2016)03-0462-07

DOI:10.11698/PED.2016.03.18

基金項目：國家自然科學基金項目（51274170）

第一作者簡介：林元華（1971-），男，四川宜賓人，西南石油大學教授，主要從事油井管、油氣鉆井工藝方面的科研和教學工作。地址：四川省成都市新都區(qū)，西南石油大學材料科學與工程學院，郵政編碼：610500。E-mail: yhlin28@163.com

收稿日期：2015-04-08 修回日期：2016-03-09