王成志　張全明　王淑可　周　球　代　婷

1.集美大學(xué),廈門,361021　　2.福建省永安市林業(yè)局,永安,366000

?

基于單桿矢量的機(jī)構(gòu)復(fù)合分離位置函數(shù)綜合

王成志1張全明1王淑可2周球1代婷1

1.集美大學(xué),廈門,3610212.福建省永安市林業(yè)局,永安,366000

摘要：提出用單桿相對(duì)運(yùn)動(dòng)差單元構(gòu)建平面機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合方程式。首先建立單桿的相對(duì)位置運(yùn)動(dòng)差及高階運(yùn)動(dòng)差通用單桿矢量公式,再通過(guò)引入變量和增加單桿矢量附加方程,消除了方程式中非獨(dú)立的未知角變量及未知高階角變量。然后用單桿矢量及其附加方程直接建立有限分離、無(wú)限接近分離及復(fù)合分離位置函數(shù)綜合的統(tǒng)一通用的多項(xiàng)式方程組，且方程總次數(shù)低。討論了在平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合中的復(fù)合五位置問(wèn)題及復(fù)合四位置問(wèn)題上的應(yīng)用，用實(shí)例計(jì)算了“實(shí)現(xiàn)函數(shù)”與“預(yù)期函數(shù)”的誤差并作出誤差波動(dòng)圖，結(jié)果表明在無(wú)限分離精確點(diǎn)及無(wú)限接近分離點(diǎn)上可以精確實(shí)現(xiàn)預(yù)期函數(shù)，但按高階運(yùn)動(dòng)特性要求設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)不一定能使“實(shí)現(xiàn)函數(shù)”在所有0階位置上更逼近“預(yù)期函數(shù)”。該方法比雙桿組、三桿組法簡(jiǎn)單，模塊性非常好，便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模與求解。

關(guān)鍵詞：相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論；單桿矢量；函數(shù)綜合;復(fù)合分離位置;同倫法

0引言

剛體導(dǎo)引、函數(shù)生成和軌跡生成精確點(diǎn)運(yùn)動(dòng)綜合代數(shù)法中,目前主要采用位移矩陣結(jié)合桿-副約束[1-5]和矢量環(huán)法結(jié)合雙桿組(dyad)[6-7]、三桿組(triad)[8-9]組合推導(dǎo),建立機(jī)構(gòu)位置綜合方程。以上方法幾乎成為推導(dǎo)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方程的標(biāo)準(zhǔn)方法,其他的還有幾何代數(shù)化法,如轉(zhuǎn)動(dòng)極代數(shù)化法[10-12]等。新提出的方法有同向坐標(biāo)法(isotropiccoordinates)[13]、指數(shù)法[14]等。一般情況下,將得到的位置綜合方程對(duì)時(shí)間或輸入?yún)?shù)求導(dǎo),就得到了高階綜合方程，不同運(yùn)動(dòng)特性的搭配構(gòu)成了有限分離位置、無(wú)限接近分離位置和復(fù)合分離位置(或混合“點(diǎn)階”)問(wèn)題[12,15](為了討論方便,本文將這三類綜合統(tǒng)一稱為復(fù)合位置問(wèn)題)。由于高階綜合相對(duì)復(fù)雜些,故討論有限分離位置綜合的文獻(xiàn)比較多。在函數(shù)生成綜合中,文獻(xiàn)[1,2,9,16]討論了有限分離位置函數(shù)綜合;文獻(xiàn)[17]根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換法“剛化”四桿機(jī)構(gòu)，將函數(shù)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為剛體導(dǎo)引綜合問(wèn)題進(jìn)行研究;文獻(xiàn)[11-12]用相對(duì)極代數(shù)化法比較完整地分析了四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的有限分離位置、無(wú)限接近分離位置和復(fù)合點(diǎn)階分離位置問(wèn)題，但沒(méi)有給出五位置問(wèn)題的方程，都是用求兩條四位置問(wèn)題的Burmester曲線的交點(diǎn)來(lái)解決四桿機(jī)構(gòu)五位置函數(shù)綜合問(wèn)題。另外，雙桿組法和三桿組法雖然可以獲得比較低的多重齊次化Bezout數(shù)[18],但對(duì)興趣點(diǎn)到機(jī)架所連接的桿數(shù)有限制，這在一定程度上限制了它們的應(yīng)用。

本文提出用相對(duì)運(yùn)動(dòng)差建立運(yùn)動(dòng)綜合方程,推導(dǎo)出的通用單桿矢量(monad)方程可以直接用來(lái)建立機(jī)構(gòu)有限分離位置、無(wú)限接近分離位置和復(fù)合分離位置問(wèn)題的五位置和四位置綜合問(wèn)題的方程。同時(shí),通過(guò)建立單桿矢量分量相互關(guān)系的附加方程,技巧性地消除了三角函數(shù),降低了求解非線性方程所需要跟蹤的同倫路徑數(shù),在計(jì)算效率與保證模塊性及通用性上找到了一種較好的折中方法。

1基本原理

1.1相對(duì)位置差

考慮圖1中做平面運(yùn)動(dòng)的剛體Ω上A、B兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(兩點(diǎn)連線用矢量z1表示)。當(dāng)剛體從位置1運(yùn)動(dòng)到位置j時(shí),剛體轉(zhuǎn)動(dòng)了θ1j角,A、B兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A1、B1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)Aj、Bj(兩點(diǎn)連線用矢量zj表示)。如圖1所示，有

(1)

Δz=z1j=zj-z1

其中,Δz是扣除A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后(或者說(shuō),B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn))B點(diǎn)在位置j相對(duì)位置1的位移差。將矢量z1j稱為B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的相對(duì)位移差,或者稱為位移單桿矢量。

如果把A點(diǎn)稱為牽連點(diǎn),B點(diǎn)稱為興趣點(diǎn),則式(1)表明：興趣點(diǎn)的位置差等于牽連點(diǎn)的位置差與B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的相對(duì)位移差的矢量和。例如,圖2所示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu),按式(1),當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)從位置1運(yùn)動(dòng)到位置j時(shí)，由桿a、z組成的O1A1B1開(kāi)環(huán)在B點(diǎn)的相對(duì)位移為

δB1j=δO11j+a1j+z1j=a1j+z1j

(2)

因O1是固定鉸鏈,所以有δO11j=0。

同理，還可以列出由桿c組成的O2B1開(kāi)環(huán)在B點(diǎn)的相對(duì)位移表達(dá)式。O1A1B1環(huán)和O2B1環(huán)在B點(diǎn)鉸接在一起運(yùn)動(dòng)，因此,在連桿機(jī)構(gòu)從初始位置1運(yùn)動(dòng)到位置j時(shí)，O1A1B1環(huán)在B點(diǎn)的相對(duì)位移差等于O2B1環(huán)在B點(diǎn)的相對(duì)位移差,即

a1j+z1j=c1j

(3)

顯見(jiàn),可以用這種相對(duì)位移關(guān)系建立機(jī)構(gòu)有限分離位置的綜合方程。

1.2相對(duì)高階運(yùn)動(dòng)差

按照運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，圖1中剛體Ω在位置j時(shí)，興趣點(diǎn)的n階時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于牽連點(diǎn)Aj的n階導(dǎo)數(shù)與Bj點(diǎn)相對(duì)Aj點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)的矢量和。即

(4)

其中,在英文字母或希臘字母上標(biāo)位置括號(hào)中的數(shù)字，表示該字母所代表的量對(duì)時(shí)間或?qū)斎胱兞壳髮?dǎo)的次數(shù)。

1.3通用相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系式

綜上所述,如果多個(gè)剛體用運(yùn)動(dòng)副連接并與機(jī)架相連,則輸出構(gòu)件上輸出點(diǎn)相對(duì)機(jī)架的位置差等于機(jī)架到輸出構(gòu)件之間幾個(gè)構(gòu)件相對(duì)位移差的矢量和。例如，若一個(gè)開(kāi)環(huán)由任意個(gè)矢量zi(i=1,2,…)組成,則開(kāi)環(huán)末端點(diǎn)P相對(duì)機(jī)架的任意階導(dǎo)數(shù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)差為

(5)

式(5)表明,機(jī)構(gòu)中各單桿矢量的相對(duì)運(yùn)動(dòng)差決定了參考點(diǎn)P輸出運(yùn)動(dòng)的增量。顯然，要根據(jù)分離位置點(diǎn)來(lái)運(yùn)用式(5)。為了便于后文討論，先明確以下兩個(gè)概念。

一個(gè)在平面上的實(shí)際物理位置點(diǎn)j稱為有限分離位置點(diǎn)。每?jī)蓚€(gè)有限分離位置,只能列出一個(gè)位置關(guān)系式。所以，式(5)中，當(dāng)n=0時(shí),j改成1j,則表示位置j(j>1)相對(duì)初始位置1；而1個(gè)位置j與1個(gè)“階數(shù)”n(n≠0)的組合,其幾何意義實(shí)際是兩個(gè)位置無(wú)限接近。但由于這種組合只能用式(5)列出一個(gè)n階導(dǎo)數(shù)關(guān)系式,所以將其稱為位置j(j=1,2,…)上的1個(gè)無(wú)限接近分離位置。在1個(gè)實(shí)際有限分離位置點(diǎn)j上可以有多個(gè)無(wú)限接近分離位置。例如,對(duì)P1P2-P3P4P5情形，有2個(gè)有限分離位置點(diǎn)(即j=1,2),3個(gè)無(wú)限接近分離位置(其中,j=1時(shí)，n=0,1，有一個(gè)無(wú)限接近分離位置;j=2時(shí)，n=0,1,2,有2個(gè)無(wú)限接近分離位置)。用J表示綜合問(wèn)題中的有限分離位置總數(shù),N表示無(wú)限接近分離位置總數(shù)。

由于單自由度機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合中，常給出的是輸入與輸出構(gòu)件的轉(zhuǎn)角關(guān)系且輸入桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而且在高階函數(shù)綜合中，給定的輸入輸出函數(shù)關(guān)系不一定是時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而可能是輸出變量對(duì)輸入變量的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。所以，后文中各參數(shù)是對(duì)輸入變量求導(dǎo)數(shù)。

2單桿矢量基本公式

從上文中可以發(fā)現(xiàn),本文是利用單桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)差建立綜合方程的。容易推導(dǎo)出剛體上A、B兩點(diǎn)長(zhǎng)度不變時(shí),各階導(dǎo)數(shù)的單桿矢量通用公式(含0階)：

(6)

位移單杠矢量的公式推導(dǎo)過(guò)程為

(7)

(8)

兩變量與原參數(shù)的關(guān)系用增加一個(gè)附加位移約束方程來(lái)表示：

(9)

高階單桿矢量的分量及其對(duì)應(yīng)的附加方程見(jiàn)表2。顯見(jiàn),一個(gè)單桿矢量分量式要新增兩個(gè)分量變量和一個(gè)方程。如果用分量式代入式(5)，則自然就消除了式(5)中的三角函數(shù)。筆者將這種消除方程中的三角函數(shù)的方法稱為2變?cè)拚ā?/p>

3四桿機(jī)構(gòu)復(fù)合位置函數(shù)綜合

3.1綜合方程

對(duì)于圖2的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，可以將式(3)擴(kuò)展為n階函數(shù)綜合方程：

(10)

即

(11)

式(11)有未知角變量的三角函數(shù)，增加了求解的復(fù)雜性。用數(shù)值同倫法求解方程時(shí)，處理未知角變量三角函數(shù)的方法主要有以下幾種：①直接法[19]。即直接將角位移當(dāng)一個(gè)變量使用;②1變?cè)ā＜疵總€(gè)角度引入一個(gè)變量t[20]，用三角函數(shù)的萬(wàn)能代換公式：t=tan(γ/2)，sinγ=2t/(1+t2)和cosγ=(1-t2)/(1+t2)消除方程中的三角函數(shù)；③2變?cè)?。即每個(gè)角度引入兩個(gè)變量x、y(x=cosγ,y=sinγ),再對(duì)應(yīng)增加一個(gè)方程x2+y2=1；④消除未知角度變量法。 即分別列出未知角變量的正弦和余弦表達(dá)式，然后利用cos2γ+sin2γ=1消除角度變量γ。目前雙桿組法[6]和三桿組法[8-9]等都采用方法4。例如,用方法④消除式(11)中的角度變量γ1j,得到鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的三桿組通用綜合公式：

(12)

Aj=1-cosθ1jBj=sinθ1j

Cj=cosθ1j+cosψ1j-1-cos(θ1j-ψ1j)

Dj=sinθ1j-sinψ1j-sin(θ1j-ψ1j)

Ej=sinψ1jFj=1-cosψ1j

則四桿機(jī)構(gòu)復(fù)合位置函數(shù)綜合方程組由J-1+N個(gè)式(12)組成。方程組的6個(gè)未知變量分別是ax、ay、zx、zy、cx、cy。

(13)

(14)

注意:如果機(jī)架d桿長(zhǎng)及角度σ已知,則zx=dcosσ+cx-ax，zy=dsinσ+cy-ay可代入式(12)和式(13)中，表2中0階的附加方程可改為

(dsinσ+cy-ay)2=0

(15)

比較式(12)和式(13)可以發(fā)現(xiàn),式(13)推導(dǎo)簡(jiǎn)單方便,而且式(13)及其附加方程非常規(guī)整,模塊性和通用性都非常好,便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立綜合方程。同時(shí)，式(12) 限制所連接桿的數(shù)目是3，而單桿矢量法理論上可應(yīng)用于任意復(fù)雜機(jī)構(gòu)的建模(當(dāng)然，如果用同倫法求解，則會(huì)受到計(jì)算時(shí)間的限制)。

3.2方程組總次數(shù)分析

式(11)的次數(shù)為n+2(在初始位置1時(shí),是n+1次)。即:導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n越高，方程的次數(shù)越高。當(dāng)為4階導(dǎo)數(shù)時(shí)，是6次方程(在初始位置1時(shí)，是5次方程)。所以不同類型的復(fù)合位置綜合，方程組總次數(shù)不同；式(12)的次數(shù)固定為2，綜合方程組的總次數(shù)TD=2J+N-1;而用本文方法提出的式(13)是線性的,每個(gè)附加方程的次數(shù)都是2。所以，其總次數(shù)與引入附加方程的個(gè)數(shù)有關(guān)。若J+N個(gè)位置綜合的機(jī)構(gòu)中有K個(gè)桿的轉(zhuǎn)角未知(四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合時(shí)K=1)，則要引入K(J+N-1)個(gè)附加方程。所以,方程組的總次數(shù)TD=2K(J+N-1)。

從表3可以看出,前三種方法(直接法、2變?cè)ê?變?cè)?TD和BN值都比較大(其中,直接法與2變?cè)ǖ腡D和BN值相同,且前三種方法的BN值都相同)，而且對(duì)于不同復(fù)合位置情形，齊次化后方程組的BN值各不相同。第四種方法(即桿組法)BN值最小,但模塊性有所降低。本文提出的2變?cè)拚ㄖ苯酉朔仟?dú)立角變量的三角函數(shù),特別是還消除了非獨(dú)立的高階角變量，而前3種方法是沒(méi)有辦法直接消除高階角變量的。本方法的總次數(shù)明顯少于前三種方法，與桿組法得到的綜合方程組在齊次化前的總次數(shù)TD相同。

總之,本方法構(gòu)造的各種復(fù)合位置綜合方程具有相同的方程結(jié)構(gòu)，而且同倫路徑數(shù)相同，所以，便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)構(gòu)造初始方程，從而方便計(jì)算機(jī)自動(dòng)求解。

3.3五位置綜合問(wèn)題

按前文討論,只要滿足J+N=5，就是復(fù)合五位置問(wèn)題。這時(shí)式(13)及對(duì)應(yīng)的附加方程的數(shù)目正好與未知變量的數(shù)目相等。

四桿機(jī)構(gòu)復(fù)合五位置綜合的組合數(shù)總共有16種情形。取不同的j和n組合重復(fù)式(13)四次,加上對(duì)應(yīng)的附加方程4個(gè)，就可作為這16種復(fù)合分離位置情形的綜合方程組。如前所述，方程組總次數(shù)TD=2K(J+N-1)=16，即用同倫法求解方程組要跟蹤16條路徑。

例1:分別按表3中的5種復(fù)合五位置綜合情形設(shè)計(jì)鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)給定的函數(shù)y=ex-0.5x1.1(0.5≤x≤1.5)及其相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)。其中，輸入、輸出連架桿的最大擺角均為60°。

在給定的x區(qū)間，由各綜合情形需要的有限分離位置按Chebyshev公式選精確點(diǎn),并將要實(shí)現(xiàn)的函數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角關(guān)系，如表4所示。用同倫法求解前面討論的綜合方程組，最多有4組解。對(duì)本題預(yù)期函數(shù)，每種情形都只有一組有效的實(shí)數(shù)解(還有1組退化解、2組非實(shí)數(shù)解)，見(jiàn)表5。定義以下相對(duì)誤差百分比：

(16)式中,y為要實(shí)現(xiàn)的“預(yù)期函數(shù)”值;Y為用鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的角位移轉(zhuǎn)換為原來(lái)的y=f(x)關(guān)系后的“實(shí)現(xiàn)函數(shù)”值。

給定區(qū)間內(nèi)各階導(dǎo)數(shù)的相對(duì)誤差百分比波動(dòng)情況見(jiàn)圖3(由于P1P2P3P4P5情形只有一個(gè)有限分離點(diǎn)，因此，沒(méi)有畫出其相對(duì)誤差圖)。圖3的第一列圖形是單純0階情況下的相對(duì)誤差百分比波動(dòng)情況，其最大值列于表5最后1行。

圖3例1中各綜合情形下相對(duì)誤差百分比波動(dòng)情況

從圖3可以看出,精確綜合在有限分離精確點(diǎn)上和在無(wú)限接近分離位置點(diǎn)上，確實(shí)分別精確滿足其要求的0階和高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系。但區(qū)間內(nèi)的其他點(diǎn)只是近似滿足0階或高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)關(guān)系。這與有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果一致。另外，觀察表5最后一行或圖3的第一列圖，也就是只對(duì)比0階情況下“預(yù)期函數(shù)”與“實(shí)現(xiàn)函數(shù)”之間的誤差，發(fā)現(xiàn)無(wú)限接近位置數(shù)越多，或者說(shuō)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，其0階函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大誤差并不一定會(huì)越小。例如，P1-P2P3P4P5含3階導(dǎo)數(shù)逼近，但其0階函數(shù)(即位置函數(shù))的誤差比前三種情形的誤差更大。因此，如果只有位置要求，不必對(duì)機(jī)構(gòu)盲目要求高階運(yùn)動(dòng)特性。

3.4四位置綜合問(wèn)題

若J+N=4,就是復(fù)合四位置問(wèn)題。四桿機(jī)構(gòu)中,將不同的j及n組合，總共有8種復(fù)合四位置情形。取不同j及n重復(fù)式(13)三次,加上對(duì)應(yīng)的3個(gè)附加方程,得到由9個(gè)方程組成的方程組,總次數(shù)為TD=2J+N-1=8,即復(fù)合四位置問(wèn)題用同倫法求解要跟蹤8條路徑。但方程組有10個(gè)未知變量。可以在ax,ay,cx,cy中任選一個(gè)作為自由變量?？梢约僭O(shè)ax=acosθ1,ay=asinθ1(0≤θ1≤180°),式(13)變成

(17)

當(dāng)θ1變化時(shí),將求得的ax,ay,cx,cy轉(zhuǎn)化為動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A、B的軌跡，就是Burmester圓點(diǎn)曲線?？梢宰C明θ1在0°～180°區(qū)間變化求出的ax,ay,cx,cy值，與在180°～360°區(qū)間變化求出的值相同。因此，θ1∈[0°,180°]。

例2:按例1的函數(shù)關(guān)系畫出實(shí)現(xiàn)PPPP(無(wú)限接近四分離位置)情形的Burmester圓點(diǎn)曲線。

為了與例1的結(jié)果對(duì)比，從復(fù)合五位置問(wèn)題的5個(gè)位置(含無(wú)限接近位置)中選出4個(gè)位置來(lái)構(gòu)成復(fù)合四位置問(wèn)題。5個(gè)無(wú)限接近分離位置可以組合成4組無(wú)限接近四位置情形(有限分離情形下有5組),用Tesar標(biāo)記法[15]大致表示為P1P2P3P4、P1P2P3P5、P1P2P4P5、P1P3P4P5。這種標(biāo)記法顯然有些模糊。筆者建議的標(biāo)記方法是：分別用D(Displacement)、V(Velocity)、A(Acceleration)、J(Jerk)和S(Snap)字母分別代表0階、1階、2階、3階、4階導(dǎo)數(shù)的方程，下標(biāo)表示方程對(duì)應(yīng)的有限分離位置。例如，上述4種組合情形可以分別表示為：V1A1J1、V1A1S1、V1J1S1和A1J1S1。這種表示方法含義比Tesar標(biāo)記法更清晰。該標(biāo)記法應(yīng)用的其他例子見(jiàn)表4第一欄。

圖4所示為在情形V1A1J1、V1A1S1下動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A和B的Burmester圓點(diǎn)曲線(按d=1,σ=0°)。圖中曲線上標(biāo)記點(diǎn)附近的數(shù)值表示θ1的角度值(單位為“度”)。

也可以用求兩條或多條復(fù)合四位置問(wèn)題的Burmester曲線的交點(diǎn)來(lái)求解復(fù)合五位置問(wèn)題[11-12]。例如，圖4中的四桿機(jī)構(gòu)O1A1B1O2就是例1中P1P2P3P4P5(V1A1J1S1)情形的解。其中，A1點(diǎn)是兩條圓點(diǎn)曲線AV1A1J1、AV1A1S1的交點(diǎn)，其x、y坐標(biāo)就是機(jī)構(gòu)的ax、ay；而B1點(diǎn)是另兩條圓點(diǎn)曲線BV1A1J1、BV1A1S1的交點(diǎn)，將其x、y坐標(biāo)減去機(jī)架d在x、y軸上的投影就是機(jī)構(gòu)的cx、cy。這個(gè)結(jié)果與表5中的P1P2P3P4P5情形的結(jié)果完全相同。在圖4中,交點(diǎn)O1和O2是該問(wèn)題的退化解。注意，只有所有可能的四位置Burmester曲線以相同對(duì)應(yīng)的θ1角度值通過(guò)的共同交點(diǎn)，才是所要求的機(jī)構(gòu)解。否則可能只是極點(diǎn)或鏡點(diǎn)。同樣，A、B圓點(diǎn)曲線上具有相同θ1值的動(dòng)鉸鏈點(diǎn)才能配對(duì)成兩個(gè)動(dòng)鉸鏈。

4結(jié)語(yǔ)

(1)將0階與高階的相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式合并為一個(gè)通用相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式，得到了輸出點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)差等于組成開(kāi)鏈中各相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)單桿矢量的矢量和。建立了可用于有限分離、無(wú)限接近分離和復(fù)合分離位置問(wèn)題的通用機(jī)構(gòu)綜合方程。

(2)單桿矢量有矩陣式和分量式，分別用于已知桿轉(zhuǎn)角和未知桿轉(zhuǎn)角的場(chǎng)合。用單桿矢量分量以及增加附加方程的方式，可以消除方程中的非獨(dú)立的未知角變量及未知高階角變量，簡(jiǎn)化方程結(jié)構(gòu)。增加的各種階數(shù)的附加方程也非常簡(jiǎn)單且結(jié)構(gòu)相似。用同倫法求解時(shí)，可以構(gòu)建相同結(jié)構(gòu)的初始方程組。

(3)本方法得到的方程組總次數(shù)，明顯低于其他方法,而與用雙桿組或三桿組法得到的方程組總次數(shù)相同。但本方法用非常簡(jiǎn)單的過(guò)程就達(dá)到簡(jiǎn)化方程的目的。當(dāng)然，本方法的總次數(shù)還高于雙桿組或三桿組法采用齊次化后得到Bezout數(shù)。

(4)直接用桿的單桿矢量列方程，模塊性好，方便用計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模與求解，便于編寫通用的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)軟件。理論上要比雙桿組或三桿組法更容易建立任意復(fù)雜機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方程。當(dāng)然，復(fù)雜機(jī)構(gòu)最好是單桿與雙桿組或三桿組聯(lián)合使用。

(5)本方法得到的綜合方程組也可再簡(jiǎn)化，得到雙桿組或三桿組方程。

(6)無(wú)限接近位置數(shù)越多，或者說(shuō)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，其0階函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大誤差并不一定會(huì)越小。

本文試圖找到一種模塊性好、通用性好，但同倫路徑數(shù)又不至于過(guò)大的一種新方法。根據(jù)上面的分析，單桿矢量法具有這方面的特點(diǎn)。文中舉例討論了在鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)復(fù)合五位置和復(fù)合四位置函數(shù)綜合問(wèn)題中的應(yīng)用。另外，本文討論的公式也可推廣到剛體導(dǎo)引和軌跡生成的機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題。而且，從理論上來(lái)說(shuō)，本方法也可用于復(fù)雜機(jī)構(gòu)，但求方程組全部解的時(shí)間將會(huì)非常長(zhǎng)。當(dāng)然，除可用系數(shù)同倫法減少跟蹤路徑外,還可考慮用云計(jì)算形式來(lái)縮短計(jì)算時(shí)間。筆者用多核計(jì)算機(jī)進(jìn)行并行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)求解計(jì)算時(shí)間可明顯縮短。

參考文獻(xiàn):

[1]SuhCH,RadeliffeCW.SynthesisofPlaneLinkagewithUseoftheDisplacementMatrix[J].ASMEJournalofEngineeringforIndustry, 1967,89(2):206-241.

[2]DhingraAK,ChengJC,KohliD.SynthesisofSix-link,Slider-crankandFour-linkMechanismsforFunction,PathandMotionGenerationUsingHomotopywithM-homogenization[J].JournalofMechanicalDesign,1994,116(4): 1122-1131.

[3]黃昔光, 廖啟征, 魏世民,等. 基于代數(shù)法的平面四桿機(jī)構(gòu)五精確點(diǎn)軌跡綜合[J].北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)，

2008, 31(2):1-4.

HuangXiguang,LiaoQizheng,WeiShimin,etal.FivePrecisionPointsPathSynthesisofPlanarFour-barLinkageUsingAlgebraicMethod[J].JournalofBeijingUniversityofPostsandTelecommunications,2008,31(2):1-4.

[4]田忠輝，王淑芬. 基于位移矩陣的平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合[J]. 大連大學(xué)學(xué)報(bào),2010(6):57-60.

TianZhonghui,WangShufen.TheKineticSynthesisofPlaneFourBarMechanismBasedonDisplacementMatrix[J].JournalofDalianUniversity, 2010(6):57-60.

[5]韓建友, 崔光珍, 楊通. 六桿機(jī)構(gòu)四位置運(yùn)動(dòng)生成的解域綜合理論與方法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2014,40(9): 1170-1175.

HanJianyou,CuiGuangzhen,YangTong.SolutionRegionSynthesisTheoryandMethodofSix-barLinkageswith4-positionMotionGeneration[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,2014,40(9): 1170-1175.

[6]ErdmanAG.ThreeandFourPrecisionPointKinematicSynthesisofPlanarLinkages[J].MechanismandMachineTheory,1981,16(3): 227-245.

[7]ChenChao,BaiShaoping,JorgeA.TheSynthesisofDyadswithOnePrismaticJoint[J].JournalofMechanicalDesign,2008,130(3):034501-1-6.

[8]ChaseTR,ErdmanAG,RileyDR.TriadSynthesisforUptoFiveDesignPositionswithApplicationtotheDesignofArbitraryPlanarMechanisms[J].JournalofMechanisms,Transmissions,andAutomationinDesign, 1987, 109(4): 426-434.

[9]SubbianT,FlugradJrDR.FivePositionTriadSynthesiswithApplicationstoFour-andSix-barMechanisms[J].JournalofMechanicalDesign, 1993,115(2): 262-268.

[10]付金元, 陳永. 剛體導(dǎo)引的平面四桿機(jī)構(gòu)綜合的新解法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),1996,32(2):40-46.

FuJinyuan,ChenYong.NewApproachfortheSynthesisofPlanarPathGenerators[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering，1996,32(2): 40-46.

[11]ChiangCH.SynthesisofFour-barFunctionGeneratorsbyMeansofEquationsofThreeRelativePoles—1.FinitelySeparatedPositions[J].MechanismandMachineTheory,1975,10(1):81-91.

[12]ChiangCH.SynthesisofFour-barFunctionGeneratorsbyMeansofEquationsofThreeRelativePoles—2.Mixed“Point-order”Synthesis[J].MechanismandMachineTheory,1975,10(1):93-109.

[13]PlecnikMM,McCarthyJM.NumericalSynthesisofSix-barLinkagesforMechanicalComputation[J].JournalofMechanismsandRobotics, 2014,6(3): 031012-1-12.

[14]PerezA,McCarthyJM.CliffordAlgebraExponentialsandPlanarLinkageSynthesisEquations[J].JournalofMechanicalDesign, 2005, 127(5): 931-940.

[15]TesarD,SparksJW.TheGeneralizedConceptofFiveMultiplySeparatedPositionsinCoplanarMotion[J].JournalofMechanisms, 1968, 3(1): 25-33.

[16]楊廷力.機(jī)械系統(tǒng)基本理論:結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1996.

[17]錢衛(wèi)香, 韓建友. 實(shí)現(xiàn)連架桿給定角位移的機(jī)構(gòu)綜合方法[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào), 2009,40(5):222-226.

QianWeixiang,HanJianyou.SynthesisMethodforPlanarFour-barLinkagesGivenAngleDisplacementsofRotatingLinks[J].TransactionsoftheChineseSocietyofAgriculturalMachinery,2009,40(5):222-226.

[18]WamplerCW,MorganAP,SommeseAJ.NumericalContinuationMethodsforSolvingPolynomialSystemsArisinginKinematics[J].JournalofMechanicalDesign,1990,112(1):59-68.

[19]DongBo,YuBo.HomotopyMethodforSolvingMixedTrigonometricPolynomialSystems[J].JournalofInformationandComputationalScience,2007,4(2):505-513.

[20]廖啟征.連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何代數(shù)求解綜述[J].北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào), 2010,33(4):1-11.

LiaoQizheng.GeometryAlgebraMethodforSolvingtheKinematicsofLinkageMechanisms[J].JournalofBeijingUniversityofPostsandTelecommunications,2010,33(4):1-11.

(編輯陳勇)

MultiplySeparatedPositionSynthesisofFunctionGenerationMechanismBasedonMonadVectors

WangChengzhi1ZhangQuanming1WangShuke2ZhouQiu1DaiTing1

1.JimeiUniversity,Xiamen,Fujian,3610212.ForestryBureauofYongan,Yong’an,Fujian,366000

Keywords:relativemotiontheory;monadvector;functiongeneration;multiplyseparatedposition;homotopymethod

Abstract:Therelativemotiondifferencesofthemonadswerepresentedtomodelthesystemsofequationsforkinematicfunctionsynthesisofplanarlinkages.Theuniformformulaeoftherelativemotiondifferenceswith0-ordertohigher-orderderivativeswereconstructedfirstly,andthenthenewvariablesandcorrespondingspecialauxiliaryequationsofthemonadvectorswereusedtoeliminatetrigonometricfunction,theangularunknownsandeventheirhigherorderangularunknowns.Themonadvectorsandtheircorrespondingauxiliaryequationscouldbedirectlyusedtoconstructsynthesissystemsforfinitely,infinitesimallyandmultiplyseparatedprecisionpositions,andthesystemswerepolynomialequationswithsmallervaluesofthetotaldegrees.Applyingtheformulaetofiveandfourmultiplyseparatedpositionsoffunctionsynthesisforpin-jointedfour-barplanarlinkageswasdiscussed.Somecasesofthemultiplyseparatedpositionswereexemplifiedandtheirdifferencesbetweenthegeneratedy-valueandrequiredy-valuewerecalculatedandcharted.Theresultsshowthatthepositionsatfinitelyandinfinitesimallyseparatedpositionswerepassedthroughexactlyaccordingtotherequiredfunction.However,they-valuesgeneratedbythemechanismwiththehigher-orderfunctionalrequirementsmaybenomoreclosetotherequiredy-valuethanthosegeneratedbythemechanismwiththelower-orderfunctionalrequirementsatall0-orderpositionsintherequiredrange.Theprocedureissimplerandtheformulaeofmonadhavethebettermodularitythanthedyadandtriad,andcanbeeasilyadaptedtoautomaticmodelingandsolvingtheequationsinacomputer.

收稿日期：2014-09-28

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012J01225)

作者簡(jiǎn)介：王成志,男,1962年生。集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)、CAD、科學(xué)計(jì)算可視化、光學(xué)測(cè)量。張全明，男，1967年生。集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院副教授。王淑可，女，1972年生。福建省永安市林業(yè)局高級(jí)工程師。周球,男,1992年生。集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院碩士研究生。代婷,女,1990年生。集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院碩士研究生。

中圖分類號(hào)：TH112.1

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.008