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        圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變的直接積分解法

        2016-07-06 00:35:17秦泗吉孔曉華王耀華
        中國機械工程 2016年2期

        秦泗吉 鄧 超 楊 莉 孔曉華 王耀華

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        圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變的直接積分解法

        秦泗吉鄧超楊莉孔曉華王耀華

        燕山大學,秦皇島,066004

        摘要:針對圓錐形件的拉深成形,在平面應(yīng)力和比例加載條件下,采用參數(shù)方程的方法分析得到了變形區(qū)應(yīng)變的微分方程??稍趫A錐形件的凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)及錐壁區(qū)分別根據(jù)應(yīng)變微分方程,代入相應(yīng)的邊界條件,采用直接積分得到應(yīng)力、應(yīng)變解,將應(yīng)用于軸對稱平面內(nèi)的積分解法推廣至分析圓錐形件的拉深成形問題。在凸緣區(qū),錐角等于0;在錐壁區(qū),錐角等于一定值;在凹模圓角區(qū),將圓角部分的弧段分成若干個微錐段,每一微錐段都可分別作為一個小的等錐角的錐環(huán)處理。采用該方法,不僅可以計算錐形件的拉深成形問題,而且可以計算曲面形狀已知的一般軸對稱曲面零件的成形問題。用直接積分法替代迭代法求解非線性方程,使求解過程大大簡化。選取厚0.87mm的ST16板材進行了拉深成形實驗,以板坯內(nèi)層為測量面,測量了凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和錐壁區(qū)的應(yīng)變分布,理論計算結(jié)果與實驗結(jié)果一致。

        關(guān)鍵詞:板材成形;圓錐形零件拉深;平面應(yīng)力模型;直接積分解法

        0引言

        在板材沖壓成形中,圓錐形件是典型的曲面類零件,在成形過程中既有徑(經(jīng))向受拉、周向受壓的拉深成形區(qū)域,一般又存在雙向拉應(yīng)力的脹形區(qū)域,在凹模圓角和凸模圓角區(qū)域還會產(chǎn)生彎曲變形。變形過程中,可能出現(xiàn)的兩種失穩(wěn)形式是破裂和起皺,其中,起皺失穩(wěn)可能出現(xiàn)在凸緣區(qū)和懸空的錐壁區(qū)。圓筒形件可以認為是當圓錐形件的大端尺寸接近小端尺寸時的特例,而其他軸對稱曲面類零件又可以看作由一系列的微錐組成。此外,圓錐形零件在板材沖壓成形中也有廣泛應(yīng)用,如汽車燈罩、消音器后蓋及輪轂防塵罩、電振動喇叭筒和圓錐滾子軸承保持架等都是圓錐形零件[1]。因此,對圓錐形件成形的研究是有理論意義和實際意義的。

        許多學者對包括圓錐形件的軸對稱成形問題進行了研究,涉及拉深[2-4]、脹形[5]和內(nèi)孔翻邊[6]等問題。在分析軸對稱成形問題時,主要采用兩種假設(shè)模型[2]:一是板坯厚度不變的平面應(yīng)變假設(shè),二是板平面(或曲面)法線方向應(yīng)力為零的平面應(yīng)力假設(shè)。當假設(shè)板坯厚度不變時,可使分析過程大大簡化,所以許多學者常用這種假設(shè)模型[2-4,7-9]。

        由于板材成形在很多情況下,垂直于板平面或曲面方向上無力的作用或作用力很小(即使采用液壓成形方式,板坯法線方向的應(yīng)力也很小[10]),此時板材成形過程更接近平面應(yīng)力狀態(tài),因此,按平面應(yīng)力模型進行分析更接近實際情況。

        關(guān)于平面內(nèi)的軸對稱成形問題,在平面應(yīng)力和比例加載等假設(shè)條件下,李敏華[11]給出了參數(shù)方程的直接積分求解方法,改進了Nadai[12]、Millenson等[13]給出的需要不斷迭代才能得到解析解的方法,顯著簡化了求解過程。文獻[8,14]將軸對稱問題的參數(shù)方程分析方法用于求解軸對稱成形板平面內(nèi)沖壓成形問題,給出了不考慮厚度變化時用參數(shù)方程形式表示的凸緣區(qū)應(yīng)力顯式表達式。但由于軸對稱成形問題多數(shù)情況下都涉及凸緣區(qū)以外的成形區(qū)域,這些區(qū)域的形狀是錐面或曲面,無法采用平面應(yīng)力假設(shè)條件下的直接積分解法。這也是該方法沒有得到推廣應(yīng)用的原因之一。

        本文將求解平面內(nèi)軸對稱問題的分析方法推廣至求解圓錐形件的成形問題,給出了基于參數(shù)方程的積分解法。針對圓錐形零件的拉深成形,將變形區(qū)主要劃分為凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)、懸空錐壁區(qū)和凸模圓角區(qū)。對前三個區(qū)域都給出了基于積分解法的應(yīng)力、應(yīng)變解,采用厚0.87mm的ST16板材進行了圓錐形件拉深實驗,測量了應(yīng)變分布,理論計算值與實驗結(jié)果一致。采用本文方法,還可將積分解法推廣至求解一般軸對稱成形問題。

        1變形協(xié)調(diào)方程及平衡方程

        1.1變形協(xié)調(diào)方程

        如圖1所示,從圓盤或圓環(huán)的平板毛坯變形為圓錐形殼體,變形后某一微錐形環(huán)內(nèi)外半徑分別為r和r+dr,若對應(yīng)半徑是r的質(zhì)點變形后的徑向位移為u,則變形前微圓環(huán)的內(nèi)外緣半徑分別為r-u和r-u+dr-du。

        α為錐面母線與豎直方向的夾角,又稱為半錐角。由應(yīng)變的定義,可以得到經(jīng)向應(yīng)變ερ和周向應(yīng)變εθ[11]:

        (1)

        (2)

        消去u,可得

        (3)

        對于平面內(nèi)的軸對稱成形,可令α=π/2。

        1.2微分平衡方程

        在圓錐形件的成形中,每一變形質(zhì)點的主軸方向為經(jīng)向、緯向及法向,對應(yīng)的三個方向的應(yīng)力分別表示為σρ、σθ和σz。截取一微錐殼環(huán),然后用過軸對稱線的平面將其剖開,得到一半微錐環(huán),其受力情況如圖2所示。

        圖2中符號含義如下:OO′為對稱軸線;r、α的含義與圖1相同;σρ、σρ+dσρ分別為上下緯端面上作用的經(jīng)向應(yīng)力;σθ為作用于微錐殼體上的緯向應(yīng)力;t、t+dt分別為上下緯端面處的厚度;ds為微錐殼體的母線長度;p為作用于殼體下表面的單位壓力。

        分別在軸線方向和水平方向列平衡方程,有

        cosαd(σρtr)=prsinαds

        (4)

        σθtds-sinαd(σρtr)=prcosαds

        (5)

        由式(4)、式(5),并注意到ds=dr/sinα,得

        d(σρtr)=σθtdr

        (6)

        式(6)與軸對稱平面內(nèi)成形的微分方程在形式上完全相同,也可表示成

        (7)

        2參數(shù)方程及邊界條件

        對于圓錐形件成形的錐壁區(qū),忽略板厚方向的應(yīng)力,根據(jù)等效應(yīng)力的定義,有

        (8)

        式中,σ為等效應(yīng)力;R為板厚方向性系數(shù)。

        參照平面內(nèi)的軸對稱成形問題的解法[11],應(yīng)力可以用參數(shù)方程的形式表示:

        (9)

        式中,ω為參數(shù)。

        比例加載條件下,等效應(yīng)變ε的參數(shù)表達式為

        (10)

        由應(yīng)力參數(shù)方程式(9),得

        (11)

        將式(9)、式(11)代入式(7),并利用體積不變條件dt/t=-dερ-dεθ,得

        (12)

        設(shè)材料的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足σ=Bεn(B為強度系數(shù),n為硬化指數(shù)),則

        (13)

        將式(13)代入式(12),得

        (14)

        由參數(shù)方程式(10),得

        (15)

        將式(10)、式(15)代入式(3),得

        (16)

        在微分方程(式(14)和式(16))中,變量ε、r是參變量ω的函數(shù),當邊界條件已知時,方程的解是確定的。

        圖3所示為圓錐形件拉深至某一位置時的各變形區(qū),AB為凸緣區(qū),BC為凹模圓角區(qū),CD為錐壁區(qū),DE為凸模圓角區(qū),EF為錐底。

        當拉深位置一定時,若采用直母線假設(shè),則DC為直線,錐形件的錐角α已知。設(shè)α=α0,α0可由拉深位置、模具幾何尺寸以及板厚變化情況確定。

        板材平面內(nèi)軸對稱問題可認為是圓錐形件成形的一個特例,因式(14)不含變量α,對凸緣區(qū)的變形,在求解時令α=π/2,代入式(16)即可。

        圓錐形件拉深時,因凹模圓角對板坯的法向作用力很小,凹模圓角區(qū)板坯的變形可以近似認為只有經(jīng)向和緯向應(yīng)力。如圖3所示,設(shè)凹模圓角處的板坯形狀與凹模圓角輪廓形狀一致,在凹模圓角處,BC與AB、CD分別在B、C點相切。將圓弧BC分成若干個弧段,當弧段尺寸較小時,該弧段接近直線段,其對應(yīng)的變形區(qū)可作為一個小錐環(huán)處理。設(shè)小弧段的長度為ΔS,該處切線與豎直方向夾角為αi,令α=αi,應(yīng)變微分方程和求解過程與錐壁區(qū)相同。

        對于圓錐形件的拉深成形問題,采用積分解法的計算次序是凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)。在凸緣變形區(qū),設(shè)F為壓邊力,μ為摩擦因數(shù),tw為凸緣外緣對應(yīng)的板坯厚度,ω0為參數(shù)初始值,ε0為應(yīng)變初始值。則邊界條件如下:當ρ=Rw(Rw為凸緣外緣半徑)時

        σρ=F/(Rwtw)

        ω0=2π-arccosm-β

        ε0=ln(R0/Rw)

        當不考慮摩擦時,σe初值為0,ω0=3π/2-β。

        在凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū),只要給出初始點的應(yīng)變作為邊界條件,由式(14)和式(16),應(yīng)變與坐標位置的關(guān)系是確定的。凸緣區(qū)與凹模圓弧交接的位置對應(yīng)的應(yīng)變可作為凹模圓角區(qū)的初始值,凹模圓角區(qū)與懸空側(cè)壁區(qū)交接位置對應(yīng)的應(yīng)變可作為懸空側(cè)壁區(qū)的初值。

        3直接積分解法

        將式(14)、式(16)聯(lián)立,消去dr/r,設(shè)方程為

        (17)

        b=2cos(ω+β)sinβcosω-cos(ω+β)n/ε

        c=2εcos(ω+β)sinβsinω-sin(ω+β)

        d=1-exp(2εcosβsinω)/sinα

        e=-sin(ω+β)f=εcos(ω+β)

        對于給定的邊界條件,一般需要采用迭代解法才能得到微分方程式(17)的解。

        對于等錐角的圓錐形件成形問題,已知邊界條件,即當ω=ω0時,ε=ε0,采用直接積分解法求任意ω對應(yīng)的應(yīng)變ε的計算過程和收斂性可說明如下:

        (1)將區(qū)間(ω0,ω)N等分,各值為ωi(i=0,1,…,N),對應(yīng)的應(yīng)變值為εi(i=0,1,…,N),每一區(qū)間的增量Δω=(ω-ω0)/N。

        (2)根據(jù)微分學的知識,有

        (18)

        式中,o(Δω)為比Δω高級的微分項。

        因此,當參變量由ω0增加為ω1時,對應(yīng)的應(yīng)變ε1可以近似表示為

        (19)

        (3)一般地,當已知ωi-1(i≥1)對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舏-1時,其臨近點ωi對應(yīng)的應(yīng)變εi近似表示為

        (20)

        (4)對于任意ω,對應(yīng)的應(yīng)變值近似為

        (21)

        在步驟(2)~(4)中,當ω和ε已知時,由式(17)可得到該點的一階導(dǎo)數(shù)。因此,式(21)又可寫為

        (22)

        根據(jù)積分的定義,有

        (23)

        N值越大,計算精度越高。步驟(1)~(4)的求解過程實際上是用數(shù)值方法計算積分問題,即

        (24)

        在計算過程中,每次求出ε后,代入式(14)或式(16)可求出dr/r,積分后可得到r。這樣就可得到等效應(yīng)變ε與位置r之間的關(guān)系,進而可求出應(yīng)力、應(yīng)變。

        4圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變分布

        4.1圓角區(qū)和錐壁區(qū)α值的確定

        4.1.1凹模圓角區(qū)α值的確定

        拉深過程中,板坯經(jīng)過凹模圓角時的變形非常復(fù)雜,為了簡單起見,設(shè)板坯經(jīng)過凹模圓角時,板坯內(nèi)層保持凹模圓角的外輪廓形狀。如圖4所示,根據(jù)幾何關(guān)系可建立質(zhì)點位置半徑r和α的關(guān)系:

        (25)

        4.1.2錐壁區(qū)α值的確定

        分析表明,懸空側(cè)壁區(qū)錐角對應(yīng)變分布的影響很大。如圖3所示,設(shè)從凸緣區(qū)邊緣A至凸模圓角與錐底連接點E為變形區(qū)。

        在計算出凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)的應(yīng)變分布之后,可按體積不變條件確定錐角。實際計算時,暫以變形前后總面積不變,初步確定錐角α0,再根據(jù)計算后的厚度變化按體積不變進行修正。計算表明,采用面積不變假設(shè)與體積不變假設(shè)結(jié)果相差不大,一般需修正2~3次就能使體積計算值收斂。

        采用積分法求解,實際是將板坯分成若干微段,成形后的體積很容易得到,體積可按下式進行計算:

        (26)

        式中,Vi為各部分的體積;rai、rbi分別為各計算區(qū)間的起止點對應(yīng)的徑向坐標;ri、ti分別為位置半徑和相應(yīng)位置的板坯厚度;αi為對應(yīng)計算段的板坯所在弧或平面與軸對稱線夾角。

        4.2應(yīng)力、應(yīng)變分布

        取凹模內(nèi)半徑Rd=26.82 mm,凸模外半徑Rp=20 mm,凹模圓角rd=13 mm,凸模圓角rp=5 mm,原始毛坯半徑R0=55 mm,板厚0.87 mm。壓邊力取5 kN,板坯與凹模、板坯與壓邊圈之間的摩擦因數(shù)都取0.06,不考慮板坯在凹模圓角處的摩擦。材料選用ST16板材,性能參數(shù)經(jīng)拉伸實驗確定:B=511.4 MPa,n=0.26,R=2.243。拉深相對位置Rw/R0分別為0.919、0.878和0.838,采用上述計算方法得到的應(yīng)變分布和應(yīng)力分布分別如圖5~圖10所示。

        由前面的理論分析可知,應(yīng)力值與材料強度系數(shù)B成比例關(guān)系,為了簡明起見,圖8~圖10采用了應(yīng)力與強度系數(shù)的比值。

        圖5~圖7顯示,經(jīng)向應(yīng)變?yōu)檎?除接近凸模圓角附近的很小區(qū)域外,其他區(qū)域的緯/周向應(yīng)變都為負值。從凸緣外緣到凸模圓角,板坯厚度應(yīng)變由正變?yōu)樨摗kS著拉深過程的進行,變形程度逐漸增大,經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變絕對值最大值也逐漸增大。

        圖8~圖10表明,經(jīng)向應(yīng)力都為拉應(yīng)力,周向應(yīng)力分為拉和壓兩個區(qū)域。經(jīng)向應(yīng)力最大值隨拉深變形程度的增大而逐漸增大。周向應(yīng)力在大部分區(qū)域都為負值(壓應(yīng)力),但在接近凸模圓角的區(qū)域為正值(拉應(yīng)力),且隨著變形程度的增大,拉應(yīng)力值也增大。接近凸緣區(qū)變形性質(zhì)為經(jīng)向受拉、周向受壓的拉深,接近凸模圓角區(qū)變形為雙向受拉的脹形,且隨著變形程度的增大,雙向應(yīng)力越來越接近。

        5圓錐形件拉深成形實驗

        圓錐形件拉深成形實驗選取ST16板坯,板坯幾何尺寸、性能參數(shù)、拉深工藝參數(shù)和模具幾何參數(shù)與前面理論計算相同。實驗過程中先在圓形毛坯上印制網(wǎng)格,再進行拉深成形實驗,測量成形后板坯的應(yīng)變分布。

        拉深成形時,將板坯印制有網(wǎng)格的面放置到凹模一側(cè),變形后這個表面即為圖4所示的內(nèi)層,其與模具輪廓形狀最接近。為了減小摩擦的影響,選擇了薄膜潤滑。如圖11所示,三個試件拉深高度H從左至右依次為22.87 mm、27.26 mm和32.53 mm,對應(yīng)的法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.919、0.878和0.838。

        成形后的試件用自動應(yīng)變測量系統(tǒng)VialuxAutoGrid進行測量。為了真實地反映應(yīng)變的分布情況,將拉深試件的整個凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)所有網(wǎng)格節(jié)點都作為測量點,將經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變測量值與相應(yīng)各點所在位置半徑之間的關(guān)系表示在圖12~圖14上。圖中光滑曲線為理論值,離散點為實驗值。實驗得到的經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變應(yīng)變值都分別集中在一個條帶區(qū)域內(nèi)。

        實驗和計算結(jié)果表明,采用直接積分法得到的理論計算值與實測的周向應(yīng)變值一致,經(jīng)向應(yīng)變值的理論計算結(jié)果與實測值在凹模圓角區(qū)、接近凹模圓角的凸緣,以及接近凸模圓角的懸空側(cè)壁區(qū)相差稍大,但變化趨勢基本一致。由于理論計算采用了薄膜理論的平衡方程式,沒有考慮彎曲的影響,另外采用直母線假設(shè)等,這些都可能造成了理論計算與實際存在一定的偏差。板坯在凹模圓角的彎曲變形主要是沿經(jīng)向的,因而對周向應(yīng)變影響不大。

        6結(jié)論

        (1)對圓錐形零件的成形問題,給出了基于參數(shù)解法的直接積分解法和具體求解過程,這一方法避免了進行復(fù)雜的迭代求解。

        (2)選取0.87mm厚的ST16板材和一定的模具尺寸及工藝條件,對圓錐形件拉深成形,求解得到了板坯拉深至不同位置時的應(yīng)力應(yīng)變分布。

        (3)進行了圓錐形件拉深成形實驗,實驗測量了凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)的應(yīng)變分布。結(jié)果表明,在相同變形條件下采用直接積分法計算的周向應(yīng)變與實測結(jié)果較接近,而經(jīng)向應(yīng)變在某些區(qū)域差別稍大,但趨勢基本一致。

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        (編輯陳勇)

        ADirectIntegralMethodtoSolveStressandStrainofConicalPartsinDeepDrawingProcess

        QinSijiDengChaoYangLiKongXiaohuaWangYaohua

        YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei,066004

        Keywords:sheetmetalforming;conicalpartindeepdrawing;planestressmodel;directintegralmethod

        Abstract:Undertheconditionsofplanestressandproportionalloading,differentialequationsofstrainandstressindeformationzoneofconicalpartindeepdrawingwereobtainedbythemethodofparametricequation.Aftersolvingthedifferentialequationsunderthecorrespondingboundaryconditionsintheregionsofflange,diecornerandconicalwalloftheconicalpartthestressesandstrainsmightbeobtainedrespectivelyineveryregionsbythedirectintegralmethod.Theapplicationsofthedirectintegralmethodwereextendedfromsolvingthein-planeaxisymmeticsheetmetalformingproblemstoanalyzeconicalpartdeepdrawingprocess.Theconicalangleswereequaltozeroandacertainvalueinflangeregionandconicalwallrespectively.Thediearcregionsmightbedividedintoseveralsmallsegmentsandeachofthemcouldbetakenasaconicalpartwithconstantconicalangle.Thismethodwasappliedtosolveconicalpartdeepdrawingproblemsandtoanalyzetheformingproblemofaxisymmetriccurvedpartswithgivenprofileshape.Asthesubstituteofiterationmethod,thedirectintegralmethodwasappliedtosolvenonlinearequationsandthesolvingprocesscouldbesimplifiedgreatly.Theexperimentsofconicalpartdeepdrawingwerecarriedoutbyusing0.87mm-thickST16sheetandthestraindistributionsinflange,diearcandconicalwallregionsweremeasured.Itshowsthattheanalyticalsolutionsbythedirectintegralmethodareaccordantwithexperimentalresults.

        收稿日期:2015-04-09

        基金項目:國家自然科學基金資助項目(51175451)

        作者簡介:秦泗吉,男,1963年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為先進成形設(shè)備、板材成形新工藝等。鄧超,男,1989年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。楊莉,女,1962年生。燕山大學機械工程學院副教授、博士??讜匀A,男,1983年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。王耀華,男,1988年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。

        中圖分類號:TG386.1

        DOI:10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.018

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