吳詩(shī)輝，　劉曉東，　郭亞坤，　楊閩湘

(1. 空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院， 陜西 西安 710051；　2. 95876部隊(duì))

裝備經(jīng)濟(jì)壽命的一般規(guī)律研究

吳詩(shī)輝1，劉曉東1，郭亞坤2，楊閩湘1

(1. 空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院， 陜西 西安 710051；2. 95876部隊(duì))

摘要為研究裝備經(jīng)濟(jì)壽命的變化規(guī)律，需要對(duì)裝備經(jīng)濟(jì)壽命進(jìn)行解析求解。經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)壽命模型未給出解析解，而是采取列表試算法，難以對(duì)經(jīng)濟(jì)壽命的影響因素進(jìn)行分析。通過引入Lambert W函數(shù)，將裝備經(jīng)濟(jì)壽命表示成影響因素的顯式方程；在此基礎(chǔ)上，分析了各影響因素對(duì)經(jīng)濟(jì)壽命的影響規(guī)律，歸納出提高經(jīng)濟(jì)壽命的方法。同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益最大化，提出了最佳使用維修費(fèi)增長(zhǎng)率的概念，并給出了解析公式計(jì)算最佳使用維修費(fèi)增長(zhǎng)率的取值區(qū)間。算例驗(yàn)證表明，分析結(jié)論正確。

關(guān)鍵詞經(jīng)濟(jì)壽命；Lambert W函數(shù)；解析解；影響規(guī)律

裝備經(jīng)濟(jì)壽命是從經(jīng)濟(jì)角度看裝備最合理的使用期限。對(duì)于軍事裝備，與生產(chǎn)設(shè)備不同，談不上經(jīng)營(yíng)的經(jīng)濟(jì)效益，用年費(fèi)用法求其經(jīng)濟(jì)壽命更加適宜。因此，在研究經(jīng)濟(jì)上合理的使用期限(即經(jīng)濟(jì)壽命)時(shí)，就是找出裝備年平均費(fèi)用最低的年份，一般利用經(jīng)典經(jīng)濟(jì)壽命計(jì)算模型，采取列表法試算[1]75。

文獻(xiàn)[2]分別研究了原型裝備更新和出現(xiàn)新裝備條件下的更新決策方法，引入價(jià)值損耗描述技術(shù)進(jìn)步對(duì)裝備更新決策的影響，給出了經(jīng)濟(jì)壽命的計(jì)算公式，但沒有考慮資金的時(shí)間價(jià)值。文獻(xiàn)[3]考慮了資金的時(shí)間價(jià)值、裝備的殘值，應(yīng)用年均費(fèi)用法，建立了裝備經(jīng)濟(jì)壽命的數(shù)學(xué)模型。為了增強(qiáng)模型的適用性，許多學(xué)者對(duì)經(jīng)典經(jīng)濟(jì)壽命計(jì)算模型進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[4]認(rèn)為在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，年利率和物價(jià)上漲指數(shù)受各種因素的影響，是一個(gè)以某個(gè)數(shù)值為基準(zhǔn)上下浮動(dòng)的不確定值，因此用模糊數(shù)表示貼現(xiàn)率對(duì)經(jīng)濟(jì)壽命進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5]利用灰色理論，根據(jù)已發(fā)生的使用維護(hù)費(fèi)、殘值對(duì)未來(lái)的費(fèi)用作出預(yù)測(cè)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了裝備經(jīng)濟(jì)壽命分析。

從現(xiàn)有文獻(xiàn)看，目前大多數(shù)學(xué)者仍以經(jīng)典經(jīng)濟(jì)壽命模型為基礎(chǔ)展開研究，即采取列表法試算經(jīng)濟(jì)壽命[4-7]，但是試算法相比解析法，難以發(fā)現(xiàn)影響經(jīng)濟(jì)壽命的內(nèi)在規(guī)律。本文利用Lambert W函數(shù)推導(dǎo)了裝備經(jīng)濟(jì)壽命的精確解析解，在此基礎(chǔ)上，研究了裝備經(jīng)濟(jì)壽命的變化規(guī)律，對(duì)其影響因素進(jìn)行了分析，提出了最佳費(fèi)用增長(zhǎng)率的概念，并給出了提高裝備經(jīng)濟(jì)壽命的建議，為裝備更新決策提供了一種新的思路。

1裝備經(jīng)濟(jì)壽命的數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)金流量圖如圖2所示。

可算得購(gòu)置費(fèi)年分?jǐn)倿?/p>

式中，K0表示購(gòu)置費(fèi)；L表示裝備殘值；i表示年利率；n表示年份；A表示資金的等額年值;P表示資金的現(xiàn)值;F表示資金的終值。

圖1　年均成本與裝備使用時(shí)間的關(guān)系

圖2　現(xiàn)金流量圖

使用維修費(fèi)年分?jǐn)倿?/p>

式中，C(j)表示第j年的使用維修費(fèi)。

總費(fèi)用的年分?jǐn)倿?/p>

(1)

CT最小時(shí)，得到的n即為裝備的經(jīng)濟(jì)壽命。

假設(shè)不考慮殘值，每年使用維修費(fèi)增長(zhǎng)幅度均為ΔC,即C(j)=C(1)+(j-1)ΔC,經(jīng)濟(jì)壽命的數(shù)學(xué)模型為

(2)

2模型的解析解

公式(2)可轉(zhuǎn)化為

其中的求和項(xiàng)

(3)

該式括號(hào)內(nèi)是一個(gè)數(shù)列的求和項(xiàng)，令a=1/(1+i)，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和計(jì)算。公式(3)方括號(hào)內(nèi)可表示為

兩端同乘以a，

aSn=a2+2a3+3a4+…+(n-1)an

故

從而有

(4)

故由式(3)、式(4)，可得

從而

令

有

ΔCni(1+i)nln(1+i)+ΔC(1+i)nln(1+i)-

令上式左端分子等于0，并約去i(1+i)n,得：

-K0iln(1+i)-ΔC+

化簡(jiǎn)，

注意到，等式左側(cè)為L(zhǎng)ambert W函數(shù)形式，則上式可改寫為

從而，可解得經(jīng)濟(jì)壽命的精確解

(5)

圖3　Lambert W函數(shù)在(-e-1,0)區(qū)間上的部分

Lambert W函數(shù)在(-e-1,0)區(qū)間上的特性：

3裝備經(jīng)濟(jì)壽命的一般規(guī)律分析

3.1影響因素分析

從式(2)可看出，經(jīng)濟(jì)壽命主要取決于K0,i,C(1),ΔC 4個(gè)因素。觀察公式(5)，找出經(jīng)濟(jì)壽命與4個(gè)因素之間的影響關(guān)系。

2) n*不隨第一年的使用維修費(fèi)C(1)的變化而變化。

3) n*可轉(zhuǎn)化為

從定性角度可解釋為，隨著使用維修費(fèi)增幅ΔC的增大，補(bǔ)償購(gòu)置費(fèi)年分?jǐn)傁陆第厔?shì)所需的時(shí)間縮短，即經(jīng)濟(jì)壽命縮短。

3.2設(shè)計(jì)最佳的費(fèi)用增長(zhǎng)率

根據(jù)3.1節(jié)的分析，經(jīng)濟(jì)壽命隨使用維修費(fèi)的增幅單調(diào)遞減，這意味著，要提高經(jīng)濟(jì)壽命，需要壓縮使用維修費(fèi)的增幅。然而，經(jīng)濟(jì)壽命并不是越大就越好，當(dāng)經(jīng)濟(jì)壽命小于自然壽命時(shí)，如果裝備使用不到自然壽命末期而按經(jīng)濟(jì)壽命更新，則裝備自然壽命的潛力沒有得到充分地利用；經(jīng)濟(jì)壽命大于自然壽命時(shí)，會(huì)對(duì)使用維修費(fèi)的增幅大幅壓縮，造成使用維修費(fèi)無(wú)法滿足裝備使用需求。因此，最佳狀態(tài)是合理設(shè)計(jì)使用維修費(fèi)的增幅，使經(jīng)濟(jì)壽命和自然壽命相等。

因此，由公式(5)，令

其中，N表示自然壽命。

可解得

(6)

也可表示為

(7)

(8)

3.3裝備經(jīng)濟(jì)壽命的一般規(guī)律

綜上分析，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，可歸納總結(jié)出裝備經(jīng)濟(jì)壽命的一般性規(guī)律：

1) 對(duì)于公式(2)描述的經(jīng)濟(jì)壽命模型，必然存在一個(gè)經(jīng)濟(jì)壽命的實(shí)數(shù)解。這是由于一般情況下，K0>0,ΔC>0,i>0成立，結(jié)合公式(5)和LambertW函數(shù)特性可得出此結(jié)論，這在第2節(jié)中進(jìn)行了證明。

2) 裝備的經(jīng)濟(jì)壽命與購(gòu)置費(fèi)K0、年利率i、使用維修費(fèi)年增幅ΔC等因素相關(guān)，而與第一年的使用維修費(fèi)C(1)無(wú)關(guān)。其中，經(jīng)濟(jì)壽命隨購(gòu)置費(fèi)K0的增大而增大，隨年利率i的增大而增大，隨使用維修費(fèi)增幅ΔC的增大而縮短。特別是，當(dāng)ΔC=0,即各年使用維修費(fèi)始終保持不變時(shí)，此時(shí)經(jīng)濟(jì)壽命趨于無(wú)窮大。

3) 要提高裝備的經(jīng)濟(jì)壽命，可以通過提高購(gòu)置費(fèi)K0，增大年利率i，降低使用維修費(fèi)增幅ΔC等方法實(shí)現(xiàn)，但是考慮到提高購(gòu)置費(fèi)和增大年利率的方法不切實(shí)際，因此，提高裝備的經(jīng)濟(jì)壽命應(yīng)該通過降低使用維修費(fèi)增幅來(lái)實(shí)現(xiàn)。一般可以通過2種途徑來(lái)降低使用維修費(fèi)增幅，提高經(jīng)濟(jì)壽命：一是在設(shè)計(jì)階段，使裝備具有較高的可靠性，從而降低故障率，使各年的使用維修費(fèi)保持慢速增長(zhǎng)；二是在使用階段，通過采用表面工程等新技術(shù)，可以減緩使用維修費(fèi)用增長(zhǎng)的幅度，達(dá)到延長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)壽命和自然壽命的目的。

4) 最佳的經(jīng)濟(jì)壽命并不意味著經(jīng)濟(jì)壽命越長(zhǎng)越好，只要裝備的經(jīng)濟(jì)壽命與自然壽命相當(dāng)，則裝備的自然壽命就能夠得到充分發(fā)揮，此時(shí)裝備具有最佳的經(jīng)濟(jì)效益。為此，在控制使用維修費(fèi)增幅ΔC時(shí)不必使其接近于0(實(shí)際上也是很難做到的)，而是存在一個(gè)最佳的增幅：如果購(gòu)置費(fèi)與使用維修費(fèi)年增幅的比例保持在最佳比例(由公式(7)算得)，或?qū)⑹褂镁S修費(fèi)年增長(zhǎng)率控制在最佳增幅(由公式(8)算得)，則可實(shí)現(xiàn)裝備經(jīng)濟(jì)效益的最大化。

4實(shí)例計(jì)算

例某型飛機(jī)購(gòu)置費(fèi)為500萬(wàn)元，第1年的使用維修費(fèi)50萬(wàn)元，以后每年遞增5萬(wàn)元，殘值為0元，年利率為10%，自然壽命為25a，對(duì)經(jīng)濟(jì)壽命進(jìn)行分析。

對(duì)4個(gè)因素分別進(jìn)行單因素敏感性分析，假設(shè)購(gòu)置費(fèi)K0取值范圍為(300～700)萬(wàn)元，年利率i取值范圍為0.01～0.2，使用維修費(fèi)C(1)取值范圍為(30～70)萬(wàn)元，維修費(fèi)增幅ΔC取值范圍為(1～20)萬(wàn)元，觀察經(jīng)濟(jì)壽命的變化情況，如圖4所示。可見，圖中經(jīng)濟(jì)壽命的變化趨勢(shì)與3.1節(jié)分析的結(jié)論相同。

圖4　4種影響因素取不同值時(shí)經(jīng)濟(jì)壽命的變化情況

對(duì)于該問題，根據(jù)公式(8)還可以計(jì)算出最佳費(fèi)用年增幅為(3.157 ～3.328)萬(wàn)元，此時(shí)經(jīng)濟(jì)壽命剛好等于25a。

5結(jié) 束 語(yǔ)

本文利用LambertW函數(shù)，推導(dǎo)了裝備經(jīng)濟(jì)壽命的解析計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上，對(duì)經(jīng)濟(jì)壽命的影響因素及其變化規(guī)律進(jìn)行了分析。由于經(jīng)濟(jì)壽命的最佳取值等于自然壽命，提出經(jīng)濟(jì)壽命最佳使用維修費(fèi)增長(zhǎng)率的概念。最后，根據(jù)影響規(guī)律分析，提出了提高經(jīng)濟(jì)壽命的建議。但文中結(jié)論是在假設(shè)年增幅相同的情形下得出的，對(duì)于年增幅不同的情形，如果假設(shè)3～5a為一個(gè)周期，該周期內(nèi)的年增幅取平均值，而每個(gè)周期之間增幅保持恒定，則也可近似滿足文中的假設(shè)條件，因此，本文的研究具有一般性。但是，對(duì)于部分裝備的使用維修費(fèi)隨著使用時(shí)間增加，不滿足單調(diào)遞增規(guī)律的情形，則還有待進(jìn)一步研究。

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(編輯：李江濤)

Research on General Rules of Economic Life for Weapons and Equipments

WU Shihui1，LIU Xiaodong1，GUO Yakun2，YANG Minxiang1

(1. Equipment Management and Safety Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an Shaanxi 710051, China;2. 95876 Troops, China)

AbstractIn order to study the rules of change of equipment economic life, it is necessary to find an analytical solution. Classical economic life models just adopt tabulation trial method instead of analytical solution, so it is impossible to analyze the influencing factors of the economic life. By introducing Lambert W function, the paper expresses the equipment economic life as an explicit equation; based on above work, the paper analyzes the influencing rules of each influencing factor on the economic life and accordingly concludes a way to improve economic life. At the same time, for maximize the economic benefit, the paper brings out a concept of the repair cost growth rate under the best utilization and gives an analytical equation to find out the value range of repair cost growth rate under the best utilization. The verification result of the example shows that the analysis conclusion herein is correct.

Keywordseconomic life; Lambert W function; analytical solution; influencing rules

收稿日期2015-05-11

作者簡(jiǎn)介吳詩(shī)輝(1982—)，男，講師，博士，主要研究方向?yàn)檠b備經(jīng)濟(jì)。wu_s_h@163.com

中圖分類號(hào)F224.9

文章編號(hào)2095-3828(2016)03-0063-06

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

DOI10.3783/j.issn.2095-3828.2016.03.013