蔣建新

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

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塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的新判據(jù)

蔣建新

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

摘要：通過對分塊矩陣的指標(biāo)集進(jìn)行劃分，利用塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的定義和性質(zhì)，并使用不等式的放縮方法，得到判定塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣只與元素有關(guān)的條件.

關(guān)鍵詞：塊H-矩陣；塊對角占優(yōu)矩陣；塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣

塊對角占優(yōu)矩陣在數(shù)學(xué)、系統(tǒng)理論等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，但如何簡便的判別一個矩陣是否是塊對角占優(yōu)矩陣一直是人們關(guān)注的問題，關(guān)于這類問題許多學(xué)者都進(jìn)行了研究[1-4]. 學(xué)者們對于這些矩陣的判定，主要思想是構(gòu)造只與矩陣元素有關(guān)的判據(jù)，從而使操作性更高. 但對塊對角占優(yōu)矩陣新的子矩陣塊γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的判定，除了定義外，并沒有給出其它的判定定理. 本文利用研究其它塊對角占優(yōu)矩陣判據(jù)的思想，研究塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的新判據(jù).

1　預(yù)備知識

設(shè)Cn×n表示復(fù)(實)矩陣的集合，分塊為

Aii是非奇異的ri階方陣，1≤i≤n，且

定義2 對于分塊矩陣A，若存在γ ∈[0,1]，使對?i∈N，有成立，稱A為塊γ-鏈對角占優(yōu)矩陣；若上式中的等號是嚴(yán)格的，則稱A為塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣[6].

引理1 對于分塊矩陣A，若A為塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣，則A是塊H-矩陣[6].

2　塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的判定

本部分通過對分塊矩陣的指標(biāo)集進(jìn)行劃分，利用塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的定義和性質(zhì)，并使用不等式的放縮方法，得到了判定塊嚴(yán)格γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的只有元素有關(guān)的條件.

定理1 設(shè)A=(aij)∈ Cn×n，若存在γ ∈[0,1]，使A滿足下列條件之一，A即為塊γ -鏈對角占優(yōu)矩陣. 則

其中

證明：先證條件1)

如果條件1)成立，則di>0 (i∈N2)，且. 由di的定義知

對任意的i∈N1，有

對任意的i∈N2，有

其次證條件2)

如果條件2)成立，則di>0 (i∈N2)，且

. 由di的定義知

對任意的i∈N1，有

對任意的，有

. 所以XAX是塊嚴(yán)格γ - 鏈對角占優(yōu)矩陣. 即A是塊γ - 鏈對角占優(yōu)矩陣，進(jìn)一步是塊H-矩陣.

注：本文定理1中給出的兩個新的判斷矩陣是否是塊γ -鏈對角占優(yōu)矩陣的估計式，與文中定義2相比，只與矩陣的元素有關(guān)，易于計算.

參考文獻(xiàn)：

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[4] 李艷艷. 非奇異塊α1對角占優(yōu)矩陣新的實用簡介判據(jù)[J]. 文山學(xué)院學(xué)報, 2012(6): 37-41.

[5] 黃庭祝, 楊傳勝. 特殊矩陣分析及應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 1-4.

[6] 薛 媛, 劉建州. γ -鏈對角占優(yōu)矩陣與H-矩陣的判定[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2015(5): 709-718.

(責(zé)任編輯：饒 超)

New Criterion for Block Strictlyγ-diagonally Dominant Matrix

JIANG Jianxin
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract:Classified by block matrices of the index set， by using some definition and properties of block γ -diagonally dominant matrix, using inequality scaling method, it got the conclusion that judging block strictly γ -diagonally dominant matrix was just related to the elements.

Key words:Block H- matrix; Block diagonally dominant matrix; Block strictly γ -diagonally dominant matrix

中圖分類號：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-4476(2016)05-0009-03

收稿日期：2016-02-29

作者簡介：蔣建新(1981— ), 男, 甘肅天水人, 文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師.