王海葉

（寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建寧德352100）

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歐式復(fù)雜任選期權(quán)定價(jià)公式推廣

王海葉

（寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建寧德352100）

摘要：在股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布的條件下，利用熱傳導(dǎo)方程，對系數(shù)是常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)任選期權(quán)的價(jià)值進(jìn)行擴(kuò)展，得到當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率和股價(jià)的波動率隨機(jī)時(shí)，任意時(shí)刻任選期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式.

關(guān)鍵詞：歐式任選期權(quán)；對數(shù)正態(tài)分布；熱傳導(dǎo)方程；股票看漲；股票看跌

任選期權(quán)的持有者經(jīng)過一段時(shí)期T，能選擇是看漲或是看跌期權(quán).標(biāo)的兩個(gè)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格和期滿日可以一樣也可以不一樣，如果一樣則稱為標(biāo)準(zhǔn)任選期權(quán).如果任選期權(quán)基于的兩個(gè)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格和到期日都不一樣，則稱為復(fù)雜任選期權(quán).如果任選期權(quán)標(biāo)的兩個(gè)期權(quán)都是歐式的，則稱歐式復(fù)雜任選期權(quán). Rubinstein推導(dǎo)了歐式標(biāo)準(zhǔn)任選期權(quán)的價(jià)值，文獻(xiàn)［1］研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下歐式復(fù)雜任選期權(quán)的定價(jià)，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了它的合理性，文獻(xiàn)［2］假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散運(yùn)動，推導(dǎo)了歐式復(fù)雜任選期權(quán)的解析定價(jià)公式，但這些模型的系數(shù)都是常數(shù).而模型中系數(shù)無風(fēng)險(xiǎn)利率和股價(jià)波動率都是變化的，因此有必要建立一個(gè)更加合理的市場模型.本文在Rubinstein研究基礎(chǔ)上，假設(shè)系數(shù)隨時(shí)間變化，應(yīng)用熱傳導(dǎo)方程，推導(dǎo)原生資產(chǎn)為股票，在任意時(shí)刻t∈［0， T］的歐式復(fù)雜任選期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式.

假設(shè)對于歐式任選期權(quán)，其持有者做出選擇的日期為T，基于標(biāo)的股票看漲期權(quán)，其行權(quán)價(jià)格是K1，期滿日是T1≥ T；標(biāo)的股票看跌期權(quán)，其行權(quán)價(jià)格為K2，期滿日為T ≥ T.股價(jià)的變化用隨機(jī)微分方程表示因此，歐式復(fù)雜任選期權(quán)，在T時(shí)刻的價(jià)值為這里表示在T時(shí)刻股票看漲期權(quán)的價(jià)值，而）表示在T時(shí)刻股票看跌期權(quán)的價(jià)值.

1　歐式復(fù)雜任選期權(quán)的價(jià)值

引理1［3］1）假設(shè)歐式任選期權(quán)標(biāo)的股票看漲期權(quán)，其行權(quán)價(jià)格為K1，期滿日為T1≥ T，基于標(biāo)的股票看跌期權(quán)，其行權(quán)價(jià)格為K2，期滿日為T2≥ T，則僅存在一個(gè)S*＞0，使成立；2）Bch（ T，ST）=

引理2［4］已知熱傳導(dǎo)方程滿足u（0， x）=φ（ x），則

引理3［5］可表示為即N（ h，k； ρ）.這里ρ是二維正態(tài)分布中變量的相關(guān)系數(shù)，N（ h，k； ρ）是聯(lián)合分布.

定理1假設(shè)原生資產(chǎn)為股票，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)的波動率變化時(shí)，則在任意時(shí)刻t∈［0， T］，歐式復(fù)雜任選期權(quán)的價(jià)值為

證明：設(shè)股價(jià)行為服從

其中zt遵循維納過程.

由Black-Scholes方程可得標(biāo)的期權(quán)的價(jià)值

其中（）

r t為無風(fēng)險(xiǎn)利率.

在T1時(shí)刻，股票看漲期權(quán)的收益為

方程（2）和（3）的解為［6］

在T2時(shí)刻，股票看跌期權(quán)的收益為

方程（2）和（4）的解為：

歐式任選期權(quán)在時(shí)刻T的收益為

2　結(jié)語

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)股價(jià)服從對數(shù)正態(tài)分布，在無風(fēng)險(xiǎn)利率、股價(jià)的波動率變化的市場模型中，將任選期權(quán)滿足的微分方程轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程，推導(dǎo)得出原生資產(chǎn)為股票時(shí)，在任意時(shí)刻t∈［0， T］，歐式復(fù)雜任選期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式.

參考文獻(xiàn)：

［1］詹穎心，徐云.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下歐式復(fù)雜任選期權(quán)定價(jià)［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2010，30（3）∶78-82.

［2］牛淑敏，徐云.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散運(yùn)動下歐式復(fù)雜任選期權(quán)定價(jià)［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2012，32（2）∶39-46.

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［4］STOJANOVIC SRDJAN. Computational Financial Mathematics using mathematica∶Optimal Trading in Stocks and Options［M］. Boston∶Birkhuser，2003.

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［6］MERTON R C.Application of option-pricing theory∶twenty-five years later［J］. The American Economic Review，1998，88（3）∶323～349.

(責(zé)任編輯：饒超)

Promotion of Pricing Formula for European Complex Chooser Options

WANG Haiye
（School of Mathematics，Ningde Normal University，Ningde 352100，China）

Abstract∶On condition that the stock price obeys lognormal distribution，using the heat conduction equation，the value of standard chooser options with constant coefficient is generalized，the calculation formula of the chooser optional value at any moment is derived when the risk-free rate of interest rate and stock price volatility is random.

Key words:European chooser options；Lognormal distribution；Heat conduction equation；Stock call option；Stock put option

中圖分類號：O22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2095-4476（2016）05-0005-04

收稿日期：2016-03-24

基金項(xiàng)目：寧德師范學(xué)院青年教師專項(xiàng)課題（2014Q62）

作者簡介：王海葉（1981—），女，山西朔州人，寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師.