王維國，張博翔

(東北財經大學經濟學院，遼寧大連　116025)

算數(shù)亞式期權價格敏感性參數(shù)估計方法研究

王維國，張博翔

(東北財經大學經濟學院，遼寧大連116025)

摘要：結合幾何亞式期權敏感性參數(shù)的估計，引入控制變量，推導出算數(shù)亞式期權價格敏感性參數(shù)估計方法，在此基礎上，對蒙特卡羅模擬的控制變量法和傳統(tǒng)的CRN法進行對比分析，結果發(fā)現(xiàn)控制變量法不但改進了估計精度及模擬效率，而且能更好地進行誤差控制。

關鍵詞:亞式期權；敏感性參數(shù)；控制變量

一、引言

亞式期權(Asian option)是一種重要的奇異期權(exotic option)，與一般歐式期權不同，亞式期權的到期收益取決于某一段時間的平均價格(幾何平均價格或算術平均價格)，而非標的資產到期日的價格。與歐式期權類似，影響亞式期權價格的主要因素包括標的資產價格、無風險利率、到期時間等。亞氏期權價格的敏感性參數(shù)(Greeks)是指當其中某一因素發(fā)生變化時，引起亞氏期權價格變化的情況(大小和方向)。敏感性參數(shù)是金融機構和投資者利用期權進行投資管理、風險控制的重要參考指標，因此采用適當?shù)姆椒ㄌ岣邅喪掀跈鄡r格的敏感性參數(shù)估計精度具有重要的現(xiàn)實意義。

亞式期權可分為幾何平均亞式期權與算術平均亞式期權兩類，由于服從對數(shù)正態(tài)分布的標的資產價格的幾何平均值依然服從對數(shù)正態(tài)分布，因此在Black-Scholes模型假設下幾何亞式期權的敏感性參數(shù)可以通過類似歐式期權定價的方法獲得解析解。然而，市場上算術平均亞式期權較幾何平均亞式期權更為常見，但是由于無法獲得價格算術平均值的分布函數(shù)，算術亞式期權的價格敏感性參數(shù)只能通過各類數(shù)值方法進行近似估計。本文將利用幾何亞式期權的敏感性參數(shù)的解析解，構建控制變量，探尋算術亞式期權敏感性參數(shù)的最優(yōu)估計方法。

二、文獻評述

Monte Carlo模擬是亞式期權敏感度分析的常用方法[1]，但如果將傳統(tǒng)的Monte Carlo模擬直接應用于亞式期權敏感度分析，尤其是算術平均亞式期權，會存在兩個重要的缺陷：首先，Monte Carlo模擬給出的估計值不能保證是無偏的；其次，運用Monte Carlo方法進行反復模擬，運算量巨大。鑒于此，國外研究者提出了以無窮小擾動分析法、似然比估計法[2]以及Malliavin積分法[3]等提高Monte Carlo模擬運算效率及估計精度的方法。

算術亞式期權價格敏感度的估計難點主要體現(xiàn)在無法找到對數(shù)正態(tài)分布樣本算術平均的分布函數(shù)解析表達式。如果獲得了這一分布函數(shù)的解析表達式或者近似表達式，就可以像分析幾何平均亞式期權一樣對算術平均亞式期權進行敏感度分析。針對這一問題，很多算術平均分布函數(shù)的近似估計被提出。Turnbull等(1991)[4]以及Levy(1992)[5]先后用艾吉沃斯序列(Edgeworth series)的擴展形式去擬合一個對數(shù)正態(tài)隨機分布的概率密度函數(shù)。研究結果發(fā)現(xiàn)：這種方法有其適用條件和缺陷，即當標的資產波動率較低、期權到期時間較短時，敏感性參數(shù)估計結果有很好的表現(xiàn)，且利用此方法無法度量出估計值誤差。為了解決對算術平均亞式期權敏感度估計誤差的識別及控制問題，一些學者開始探索敏感度估計值的上界及下界，如Curran(1994)[6]、Rogers等(1995)[7]、Kaas等(2000)[8]、Dhaene等(2002)[9]。與此同時，部分學者通過尋找算術平均亞式期權價格顯式表達式或者用一些函數(shù)替代來對亞式期權的敏感度進行分析。其中，貢獻最大的當屬Yor(1992)[10]利用Hartman-Watson理論將算術亞式期權價格采用三重積分形式表達。這種方法可通過拉普拉斯變換將問題轉化為數(shù)值形式，但是與艾吉沃斯序列方法相反，該方法在波動率與到期時間數(shù)值較小的情形下，數(shù)值解表現(xiàn)得十分不穩(wěn)定。此后，Geman等(1995)[11]將快速傅里葉變換技術(fast Fourier inversion technique)用于亞式期權的敏感度分析之中。Abate等(1995)[12]分別利用歐拉方程和Post-Widder定理分析亞式期權的敏感度，F(xiàn)u等(1999)[13]等人曾對類似的方法做過總結。Ju(2002)[14]對亞式期權價格的波動率進行泰勒展開(Taylor expansion)，從而對亞式期權的敏感度進行估計，這種方法很容易地移植到其他奇異期權敏感度相關問題研究中。Dufresne(2000)[15]與Linetsky(2004)[16]分別利用了Laguerre序列展式對算術平均亞式期權的敏感度等問題展開研究。除此之外，Zhang(2001,2003)[17-18]、D’Halluin等(2005)[19]的二叉樹方法也是用于分析亞式期權敏感度的重要方法。Boyle等(2008)[20]在關于亞式期權敏感度分析中總結了對亞式期權敏感度估計的方法，并指出盡管控制變量方法在對亞式期權價格的估計中發(fā)揮了很好的作用，但是并不能改進對亞式期權敏感度的估計。

目前，國內對算術平均亞式期權敏感度的相關研究幾乎是空白。劉海媛(2006)[21]推導了幾何亞式期權的敏感度的計算公式。董成(2011)[22]采用擬蒙特卡羅(QMC)方法和蒙特卡羅(MC)方法，結合各種生成路徑，對比分析了亞式期權敏感度模擬結果。

Kemna等(1990)[23]在對算術平均亞式期權價格的估計中曾使用了控制變量方法，將幾何平均亞式期權價格的解析解作為控制變量，從而提高了算術平均亞式期權價格Monte Carlo模擬的效率和精度。借鑒這一思路，本文將利用幾何平均亞式期權敏感度的Delta解析表達式，試圖作為控制變量來提高算術平均亞式期權敏感度的Monte Carlo估計精度及模擬效率。

三、敏感性參數(shù)估計方法

(一)控制變量的構建

敏感性參數(shù)具體包括Delta、Vega、Rho等，分別代表期權價格對標的資產價格、標的資產價格波動率、無風險利率的偏導數(shù)。本文將重點討論亞式期權Delta的估計方法，對于其他敏感性參數(shù)可以通過類似方法進行討論。在經典Black-Scholes模型假定背景下，標的資產價格S(t)服從幾何布朗運動，其價格與時間滿足如下關系：

其中：r為無風險利率，σ代表資產價格波動率，Wt是維納過程。對于普通的歐式看漲期權或看跌期權，可以利用Black-Scholes公式給出期權價格的解析解。而對于算數(shù)平均亞式期權，期權價格以及相應的價格敏感度的解析解是不存在的，可以利用幾何平均亞式期權價格敏感度的解析解來幫助優(yōu)化算數(shù)平均亞式期權價格敏感度的估計。下面給出幾何平均亞式期權價格對于標的資產價格敏感度Delta(簡記為Δ)的解析表達式，以Δ為例討論如何利用控制變量法對期權敏感度估計進行優(yōu)化。

對于一個隨機變量X，當需要估計其數(shù)學期望μX=E(X)時，如果存在另外一個期望值已知的隨機變量Y，便可以構建估計量：

其中：

因為

對式(2)兩邊取方差有

對式(5)計算關于β的導數(shù)可得

其中:

利用上文中給出的關于幾何平均亞式期權價格的解析表達式，可以根據(jù)鏈式法則對期權價格求偏導數(shù),得到式(9)：

由式(9)可得幾何平均亞式期權敏感性參數(shù)Delta解析表達式為

并以此作為控制變量。

因為在風險中性的概率測度下，有

由這一隨機微分方程來刻畫標的資產的波動，它的解便是通常所說的幾何布朗運動

幾何平均亞式期權及算術平均亞式期權的收益分別為有

(二)Monte Carlo模擬的理論過程

根據(jù)Δ的定義，需要討論當資產價格初值發(fā)生變化時，對應的期權價格所發(fā)生的變化，并求出二者的比值。

第二步：近似算數(shù)平均亞式期權與幾何平均亞式期權的到期收益。

首先利用黎曼對期權收益中的積分進行數(shù)值近似：

利用Monte Carlo模擬n次資產價格變化的軌跡，從而生成n個期權到期收益。對于算術平均亞式期權，其收益表示為

也可以模擬出n個幾何平均亞式期權的到期收益：

第三步：有限差分逼近,令CA(S)為在Black-Scholes模型下的算數(shù)平均亞式期權價格，則有

類似的，再給出幾何平均亞式期權價格的樣本估計量：

第四步：根據(jù)前面推導可以獲得算數(shù)亞式期權價格敏感性參數(shù)估計：

四、Monte Carlo模擬實驗

Monte Carlo模擬參數(shù)的選擇：標的資產初始價格S=60；波動率=0.3;樣本大小n=10 000;步數(shù)m=500。即將算數(shù)平均亞式期權到期時間分為500等分，利用幾何布朗運動的性質進行模擬10 000次，分別比較不同利率r、執(zhí)行價格K以及到期時間T情況下利用控制變量方法與普通的共同隨機數(shù)方法(CRN)進行模擬的效果。標的資產的波動率假設為0.3，初始價格為60，初始擾動為0.1，即探討當標的資產價格為60時，價格發(fā)生0.1規(guī)模的波動時，期權價格發(fā)生的變化，如表1所示。

由表1可知：對于算術平均亞式期權敏感度估計結果，控制變量法的Monte Carlo模擬效率高于傳統(tǒng)CRN方法，其運算效率顯著提高；在估計精度方面，對應不同的利率、執(zhí)行價格及到期時間，控制變量法得到的估計值標準差明顯小于CRN方法，即控制變量的敏感度估計精度更高。

五、結語

本文對算數(shù)亞式期權價格的敏感度估計方法進行了研究，根據(jù)幾何平均亞式期權的敏感性參數(shù)解析解，設計控制變量，推導出算術平均亞式期權價格敏感度的無偏估計量，以此進行Monte Carlo模擬實驗，得出以下結論：在運算效率方面，通過控制變量方法改進的Monte Carlo模擬運算速度顯著優(yōu)于CRN方法。10 000次模擬利用普通CRN方法運行時間約為5 s，而利用控制變量方法運行時間可以控制在1 s以內。在估計精度方面，控制變量方法同樣具有優(yōu)勢，對應不同的利率、執(zhí)行價格及到期時間，利用控制變量法得到的估計值，標準差均顯著小于普通CRN方法。因此，控制變量法在對算術亞式期權價格的敏感度估計、誤差控制方面具有比較優(yōu)勢。

表1關于控制變量及CRN方法Monte Carlo模擬的結果

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收稿日期：2016-03-15

基金項目：國家自然科學基金資助項目(71171035，71471030)；國家青年社會科學基金資助項目(13YJC790185)

作者簡介：王維國(1963-),男，博士，教授，博士生導師;E-mail：695795650@qq.com

文章編號：1671-7031(2016)03-0019-06

中圖分類號:F224.0

文獻標志碼：A