任　杰，吳銀忠，2，許雪芬

（1.常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟215500；2.蘇州科技學(xué)院物理系，江蘇蘇州215009；3.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理部，江蘇無錫214121）

具有三體相互作用的一維硬核玻色鏈的粒子輸運(yùn)

任杰1，吳銀忠1，2，許雪芬3

（1.常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟215500；2.蘇州科技學(xué)院物理系，江蘇蘇州215009；3.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理部，江蘇無錫214121）

摘要：利用密度矩陣重正化群的方法，研究了具有三體相互作用的一維硬核玻色鏈的粒子輸運(yùn).研究表明，在弱相互作用下，系統(tǒng)是彈道輸運(yùn)，其彈道傳輸速度依賴于系統(tǒng)的粒子數(shù)，并且彈道傳輸速度隨三體相互作用增大而減小.另研究了系統(tǒng)處于2/3填充時(shí)基態(tài)的淬火行為.研究表明系統(tǒng)在無能隙相時(shí)，其輸運(yùn)仍然是彈道輸運(yùn).這一有趣現(xiàn)象可以幫助我們探測(cè)系統(tǒng)的量子相變.

關(guān)鍵詞：輸運(yùn)；玻色子；量子相變

近年來，對(duì)強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中非平衡態(tài)動(dòng)力學(xué)行為的研究一直是理論物理和實(shí)驗(yàn)物理的重要方向之一.科學(xué)家主要關(guān)注強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)在非平衡態(tài)時(shí)的熱化及粒子輸運(yùn)等問題.眾所周知，在經(jīng)典物理中粒子的輸運(yùn)主要分為彈道輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)，量子系統(tǒng)比經(jīng)典物理有著更豐富的物理現(xiàn)象.最近，基于實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)家已實(shí)現(xiàn)用冷原子系統(tǒng)來模擬低維量子體系.因此研究這些低維量子體系中的粒子輸運(yùn)非常有意義［1］.本課題組研究了具有三體相互作用的一維硬核玻色子模型中的粒子輸運(yùn)問題，該系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成，其中是格點(diǎn)i上波色子產(chǎn)生（湮滅）算符，n是局域密度算符，t為交換相互作用，這里取t=1. W為三體相互作用強(qiáng)度. L為鏈長.

眾所周知，數(shù)值對(duì)角化系統(tǒng)哈密頓量是研究量子多體系統(tǒng)的重要方法，其困難之處在于系統(tǒng)的希爾伯特空間維度隨著系統(tǒng)的尺寸呈指數(shù)增長，鏈長為L的一維硬核玻色系統(tǒng)其希爾伯特空間維度大小為2L，系統(tǒng)的哈密頓量是2L*2L矩陣.而即便利用超級(jí)計(jì)算機(jī)數(shù)值對(duì)角化哈密頓量，能夠處理的系統(tǒng)鏈長上限L也不會(huì)超過40.為了避免系統(tǒng)邊界的影響，我們所需研究的系統(tǒng)鏈長必須達(dá)到百的量級(jí).因而我們采用含時(shí)密度矩陣重正化群數(shù)值方法［2-3］，它可使我們數(shù)值模擬鏈長L達(dá)到200的系統(tǒng)，是研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的重要方法之一.

圖1　不同三體相互作用強(qiáng)度下，密度算符的預(yù)期值（ni）隨時(shí)間的變化關(guān)系（a）W=0，（b）W=1，（c）W=3，白色虛線是系統(tǒng)的最大幾率速度2t［4］

我們數(shù)值模擬了系統(tǒng)的局域密度算符的預(yù)期值在不同三體相互作用W下隨時(shí)間的變化關(guān)系（見圖1）.粒子的擴(kuò)散行為表明在弱相互作用下，系統(tǒng)中的波色子傳輸行為是一種彈道行為.同時(shí)我們利用波色子的填充情況得到其彈道傳輸速度.研究表明彈道傳輸速度隨著三體相互作用增強(qiáng)而減小，同時(shí)還依賴于系統(tǒng)中波色子數(shù)目（見圖2）.

圖2　不同玻色子數(shù)目條件下的輸運(yùn)速度與三體相互作用之間的關(guān)系圖（插圖：粒子輸運(yùn)速度V隨玻色子數(shù)目N在W=1，2下的關(guān)系變化圖［4］）

此外，我們研究了2/3填充（N/L=2/3）情況下基態(tài)的淬火行為，得到當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)處于無能隙相時(shí)，系統(tǒng)中波色子的傳輸行為仍然是一種彈道行為.同時(shí)研究了粒子輸運(yùn)速度與三體相互作用的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其隨W先增大后減小（見圖3）.這一有趣現(xiàn)象可以幫助我們探測(cè)系統(tǒng)中的量子相變.系統(tǒng)的尺度效應(yīng)如圖3所示，從圖3可以得到系統(tǒng)的超流相與固態(tài)相的相變點(diǎn)發(fā)生在WC= 2.74±0.1.這與文獻(xiàn)［5］的結(jié)論吻合得非常好.

圖3　粒子輸運(yùn)速度V隨三體作用W變化關(guān)系圖（插圖：粒子輸運(yùn)速度V的最大值隨系統(tǒng)長度L的關(guān)系變化圖［4］）

參考文獻(xiàn)：

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［2］SCHOLLW?CK U. The density-matrix renormalization group［J］. Rev Mod Phys, 2005, 77：259.

［3］REN J, WU Y Z, ZHU S Q. Study of dynamics in spin-1/2 chain using adaptive time-dependent density-matrix renormalizationgroup method［J］. Int J Theor Phys, 2013, 3167：52 .

［4］REN J, WU Y Z, XU X F. Expansion dynamics in a one-dimensional hard-core boson model with three-body interactions［J］. Scientific reports 5, 2015：14743.

［5］CAPOGROSSO-SANSONE B, WESSEL S, BüCHLER H P, et al. Phase diagram of one-dimensional hard-core bosons with three-body interactions［J］. Phys Rev B, 2009, 79：020503（R）.

Expansion Dynamics in a One-dimensional Hard-core Boson Model with Three-body Interactions

REN Jie1, WU Yinzhong1,2, XU Xuefen3
1.School of Physics and Electronic Engineering, Changshu Institute of Technology, Changshu 215500, China；2. Department of Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China；3. Department of Mathematics and Physics, Wuxi Institute of Technology, Wuxi 214121, China）

Abstract：Using the adaptive time-dependent density matrix renormalization group method, the authors of this paper numerically investigate the expansion dynamics of bosons in a one-dimensional hard-core boson model with three-body interactions. It is found that the bosons expand ballistically with weak interaction. It is also shown that the expansion velocity V is dependent on the number of bosons. As a prominent result, the expansion velocity decreases with the enhancement of three-body interaction. Besides, a further study is made of the dynamics of the system, which quenches from the ground state with two-thirds filling, and the results indicate the expansion is also ballistic in the gapless phase regime, which can help us detect the phase transition in the system.

Key words：expansion；boson；quantum phase transition

中圖分類號(hào)：O469

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-2794（2016）02-0123-02

收稿日期：2015-12-26

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金“應(yīng)用重整化群研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的量子糾纏和調(diào)控”（11104021）

通信作者：任杰，副教授，研究方向：凝聚態(tài)物理、量子信息，E-mail：jren@cslg.cn.