馮維婷, 梁　青, 谷　靜

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710121)

基于近似L0范數(shù)算法的跳頻信號時頻分析

馮維婷, 梁青, 谷靜

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710121)

摘要:針對跳頻信號的參數(shù)化時頻分析方法加以改進(jìn)。對跳頻信號進(jìn)行完備傅里葉基表示，建立其稀疏優(yōu)化表示模型，將跳頻信號的時頻分析問題轉(zhuǎn)化為稀疏優(yōu)化問題，然后借助近似L0范數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行時頻分析。針對時長0.01 s的一段跳頻信號進(jìn)行計算機(jī)仿真，所得時頻分布圖顯示，改進(jìn)方法比短時傅里葉變換和WVD方法具有更高的時頻分辨率和更強(qiáng)的抑制干擾能力。

關(guān)鍵詞:時頻分析；跳頻信號；稀疏優(yōu)化；近似L0范數(shù)

在跳頻通信中，跳頻信號的檢測與參數(shù)獲取十分重要[1-2]。在信號處理方法中，時頻分析能描述信號頻率隨時間變化的特性，占據(jù)著非平穩(wěn)信號分析的主導(dǎo)地位[3-4]。在各種時頻分析方法中，短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)[5]和小波變換(Wavelet Transform, WT)[6]由傅氏譜衍生而來，是線性時頻分析方法的代表。STFT物理意義明確，但受測不準(zhǔn)原理的制約，不能同時兼顧時頻分辨率。WT克服了STFT的窗口大小不隨頻率變化的缺點(diǎn)，具有多分辨特性，但其窗口大小變化不具有自適應(yīng)性。魏格納分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)是非線性時頻分析方法的典型代表，具有較高的時頻聚集性，但在多分量信號分析中存在交叉干擾項[7]，其改進(jìn)方法如平滑偽WVD分布(Smoothed Pseudo WVD, SPWVD)[8]，也未能完全消除交叉項，而且這類方法對噪聲敏感，在信噪比不高的場合下，不易獲得良好的時頻分析效果。

本文擬根據(jù)跳頻信號在頻域表現(xiàn)出的稀疏特性，將其用完備傅里葉基函數(shù)線性表出，建立起稀疏線性模型，將跳頻信號的時頻分析問題轉(zhuǎn)化為帶約束條件的稀疏優(yōu)化問題，利用基于近似L0范數(shù)的稀疏優(yōu)化方法求解，得出跳頻信號的時頻分布。

1信號的稀疏優(yōu)化模型

1.1跳頻信號建模

跳頻信號可表示為

其中Q觀測時間段內(nèi)的頻率跳變個數(shù),fk為第k個載波頻率,Th為每個跳頻的持續(xù)周期，T0為觀測時間內(nèi)第一跳頻的持續(xù)時間,rectTh表示窗口寬度為Th的窗函數(shù)。

接收信號不可避免地混有噪聲，表示為

y(t)=s(t)+v(t)。

其中v(t)是方差為σ2的零均值復(fù)高斯白噪聲。

將觀測時間內(nèi)的接收信號離散化，表示為

Y0=(y0,y1,…,yN-1)。

其中N為采樣點(diǎn)數(shù)。將此N點(diǎn)時域數(shù)據(jù)分成K塊，每塊長度為P點(diǎn)，構(gòu)造觀測矩陣

Y=[y1,y2,…,yk]。

其中

yi=[y(i-1)P,y(i-1)P+1,…,yiP-1]T

(i=1,2,…,K)。

構(gòu)造完備傅里葉基矩陣

W=[w0,w1,…,wP-1]。

其中

(i=0,1,…,P-1)。

接收信號在完備傅里葉基上的展開式為

Y=WX+V。

(1)

1.2信號的稀疏優(yōu)化表示

在一段觀測時間內(nèi)，所接收跳頻信號的頻率跳變點(diǎn)有限(Q≤N)，即跳頻信號具有稀疏性。X的求解可轉(zhuǎn)化為稀疏重構(gòu)問題

其中‖X‖0表示矩陣X中非零元素的個數(shù)。該稀疏重構(gòu)問題的L0范數(shù)極小化求解是NP問題[9-10]。

選擇合適的參數(shù)λ，則此帶約束最優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為無約束的最優(yōu)化問題

(2)

其中參數(shù)λ是噪聲抑制平衡因子，其大小表征對噪聲抑制能力的強(qiáng)弱。取值過大會削弱信號真實時頻點(diǎn)處的幅度，取值過小則對噪聲抑制能力弱。λ的最優(yōu)取值[11]為Q/4。

2近似L0范數(shù)的稀疏優(yōu)化算法

現(xiàn)有稀疏信號重構(gòu)方法中,近似L0范數(shù)需要樣本數(shù)少，計算量小且分辨精度高[12-13]。可采用平滑的高斯函數(shù)來逼近L0范數(shù)。

對于長度為N點(diǎn)的稀疏信號

X=(x0,x1,…,xN-1)T,

定義函數(shù)

由于

所以

由此近似表示稀疏信號X的L0范數(shù)，可將無約束稀疏優(yōu)化問題(2)轉(zhuǎn)化為高斯和函數(shù)所表示的形式

函數(shù)Fσ(X)的復(fù)共軛梯度為[14-15]

其中X*表示X的共軛，XRe和XIm分別表示X的實部和虛部,而Λ為對對角矩陣，其對角元素

可得目標(biāo)函數(shù)L(X)的復(fù)共軛梯度

。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)L(X)連續(xù)可微時，可采用迭代方法求稀疏解，即從初始值X(0)出發(fā)，沿著目標(biāo)函數(shù)的復(fù)共軛梯度方向最速下降，經(jīng)過迭代逐步逼近最優(yōu)解。迭代形式為

X(k+1)=X(k)-μ(k)L(X(k))。

其中μ(k)為第k次的迭代步長。

3跳頻信號時頻分析步驟

跳頻信號時頻分析近似L0范數(shù)算法的具體實現(xiàn)步驟可描述如下。

步驟1輸入測量值列向量Y，完備傅里葉基矩陣W及容許誤差ε>0。

步驟2初始化X=X(0)，即令X(0)為Y=WX的最小二乘解。

步驟3選擇高斯函數(shù)的一組按降序排列的參變量(σ1,σ2,…,σJ)(σ1>σ2>…>σJ)。

步驟4開始迭代，即令σ=σ1，計算復(fù)共軛梯度函數(shù)L(X)。

X=X-μL(X)。

否則，跳回步驟2，直到σ=σJ執(zhí)行結(jié)束。

當(dāng)σ近似為0時，目標(biāo)函數(shù)L(X)高度不平滑，會使求解收斂于局部最優(yōu)解。選擇降序排列的參變量，采取從σ1(較大正常數(shù))開始逐步靠近σJ(近似為0)，可使求解收斂于全局最優(yōu)解。

4仿真實驗

實驗1產(chǎn)生一段跳頻信號，第一跳頻的持續(xù)時間為128個采樣點(diǎn)，跳頻頻率序列為(45，35，5，20，8)(單位：kHz)，采樣頻率fs為100 kHz,采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024，跳周期為256個采樣點(diǎn)。跳頻信號的時頻分布如圖1所示。

(a) STFT方法

(b) SPWVD方法

(c) 近似L0范數(shù)稀疏優(yōu)化方法

采用STFT方法，選取長度為65點(diǎn)的漢明窗作為時間窗，短時譜的時間分辨率較高，但頻率分辨率較差，跳頻信號的時頻分辨率不可兼得。采用SPWVD方法，可抑制交叉項，但會降低時頻分辨率。采用稀疏優(yōu)化方法，利用跳頻信號的稀疏性，既無交叉項干擾，又能提高時頻分辨率。

實驗2在第1段跳頻信號的基礎(chǔ)上，附加產(chǎn)生第2段跳頻信號，即第1跳頻從0時刻開始起跳，跳頻頻率序列為(6，20，10，40)(單位：kHz)，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024。產(chǎn)生復(fù)高斯白噪聲，其信噪比為-2 dB。兩段跳頻信號的時頻分布如圖2所示。

(a) STFT方法

(b) SPWVD方法

(c) 近似L0范數(shù)稀疏優(yōu)化方法

采用稀疏優(yōu)化的時頻分析方法較之STFT算法具有更強(qiáng)的抑制噪聲能力。采用SPWVD方法時，多信號各自的跳變時刻清晰度降低，而采用近似L0范數(shù)稀疏優(yōu)化方法，則可清晰分辨多信號的跳變時刻。近似L0范數(shù)稀疏優(yōu)化方法更適合于多跳頻信號的時頻分析。

實驗說明，基于近似L0范數(shù)的時頻分析算法，較之STFT算法和SPWVD算法具有更高的時頻分辨率和更強(qiáng)的抑制噪聲能力。

5結(jié)語

建立信號的稀疏表示模型，將基于近似L0范數(shù)的稀疏優(yōu)化方法引入到跳頻信號的時頻分析中，得出一種跳頻信號時頻分析的稀疏優(yōu)化方法。仿真結(jié)果可以驗證，該方法的時頻分析性能優(yōu)于STFT和SPWVD等時頻分析方法。

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[責(zé)任編輯:瑞金]

Time-frequency analysis of frequency-hopping signal based on approximate L0 norm algorithm

FENG Weiting,LIANG Qing,GU Jing

(School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications， Xi’an 710121， China)

Abstract:An improved parametric time-frequency analysis method based on sparse optimization is presented for frequency hopping (FH) signal. In this method, the FH signal is processed by complete Fourier basis, its sparse optimization model is constructed, and the time-frequency analysis is translated into a sparse optimization issue. The FH signal is then analyzed by the approximate L0 norm method. A computer simulation is carried out to test this method on a FH signal in the case of 0.01 s time length. The results of time-frequency pattern from this simulation show that the improved method has higher accuracy and better tolerance to noise than the STFT and WVD methods.

Keywords:time-frequency analysis, frequency-hopping signals, sparse optimization, approximate L0 norm

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.01.018

收稿日期：2015-06-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目( 61202490)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JM2-6117)；陜西省教育廳科學(xué)研究計劃資助項目(15JK1654)；西安郵電大學(xué)青年教師科研基金資助項目(101-0486)

作者簡介：馮維婷(1980-)，女，碩士，講師，從事雷達(dá)與通信信號處理研究。E-mail:fengweiting11@163.com 梁青(1966-), 女，教授，從事無線傳感器網(wǎng)絡(luò)研究。E-mail: liangqing@xupt.edu.cn

中圖分類號：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-6533(2016)01-0089-04