陳 鋒
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提煉函數(shù)關(guān)系式解決生活小難題
陳鋒
一次函數(shù)在我們的日常生活中有非常廣泛的應(yīng)用,如購物、租借、住宿,經(jīng)營者為了盈利促銷進(jìn)行宣傳;為尋求最優(yōu)方案,可以利用一次函數(shù)解決問題;當(dāng)人或車進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí),為合理分配時(shí)間或速度,也可利用一次函數(shù)解決問題……因此,對(duì)于生活中的問題,只要能提煉出一次函數(shù)關(guān)系式,就能為我們解決問題提供方便.
1.如圖1所示,用火柴棍擺“金魚”,按照上面的規(guī)律,擺n個(gè)“金魚”需用的火柴棒根數(shù)為________.
圖1
【分析】本題的規(guī)律就是:每增加一個(gè)金魚就增加6根火柴棒;若不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律,也可設(shè)一次函數(shù)一般式獲得答案.
解:設(shè)y=kx+b,x=1時(shí),y=8,x=2時(shí),y= 14,解得y=6x+2,填6n+2.
【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于數(shù)字猜想問題,關(guān)鍵是通過歸納總結(jié)或大膽假設(shè),得到其中的規(guī)律.
2.“黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5 元/kg,如果一次購買2 kg以上的種子,超過2 kg部分的種子的價(jià)格打8折.
(1)根據(jù)題意,填寫下表:
購買種子的數(shù)量/kg 1.5 2 3.5 4 …付款金額/元 7.5 16 …
(2)設(shè)購買種子數(shù)量為x kg,付款金額為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)若小張一次購買該種子花費(fèi)了30元,求他購買種子的數(shù)量.
【分析】(1)根據(jù)單價(jià)乘數(shù)量,可得答案;
(2)根據(jù)單價(jià)乘數(shù)量,可得價(jià)格,可得相應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)函數(shù)值,可得相應(yīng)的自變量的值.
解:(1)10,18;
(2)根據(jù)題意得,
當(dāng)0≤x≤2時(shí),種子的價(jià)格為5元/千克,∴y=5x,
當(dāng)x>2時(shí),其中有2千克的種子按5元/千克計(jì)價(jià),超過部分按4元/千克計(jì)價(jià),
∴y=5×2+4(x-2)=4x+2.y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:
(3)∵30>10,
∴一次性購買種子超過2千克,
∴4x+2=30.解得x=7.
答:他購買種子的數(shù)量是7千克.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,分類討論是解題關(guān)鍵.
3.根據(jù)大會(huì)組委會(huì)安排,某校接受了開幕式大型團(tuán)體操表演任務(wù).為此,學(xué)校需要采購一批演出服裝,A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解:兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價(jià)都相同,即男裝每套120元,女裝每套100 元.經(jīng)洽談協(xié)商:A公司給出的優(yōu)惠條件是,全部服裝按單價(jià)打七折,但校方需承擔(dān)2200元的運(yùn)費(fèi);B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折,公司承擔(dān)運(yùn)費(fèi).另外根據(jù)大會(huì)組委會(huì)要求,參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人,如果設(shè)參加演出的男生有x人.
(1)分別寫出學(xué)校購買A、B兩公司服裝所付的總費(fèi)用y1(元)和y2(元)與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問:該學(xué)校購買哪家制衣公司的服裝比較合算?請說明理由.
【分析】(1)根據(jù)總費(fèi)用=男生的人數(shù)×男生每套的價(jià)格+女生的人數(shù)×女生每套的價(jià)格就可以分別表示出y1(元)和y2(元)與男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)條件可以知道購買服裝的費(fèi)用受x的變化而變化,分情況討論,當(dāng)y1>y2時(shí),當(dāng)y1=y2時(shí),當(dāng)y1<y2時(shí),求出x的范圍就可以求出結(jié)論.
解:(1)總費(fèi)用y1(元)和y2(元)與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式分別是:
y1=0.7[120x+100(2x-100)]+2 200= 224x-4 800,
y2=0.8[100(3x-100)]=240x-8 000;
(2)由題意,得
當(dāng)y1>y2時(shí),即224x-4 800>240x-8 000,解得:x<200,
當(dāng)y1=y2時(shí),即224x-4 800=240x-8 000,解得:x=200,
當(dāng)y1<y2時(shí),即224x-4 800<240x-8 000,解得:x>200.
即當(dāng)參演男生少于200人時(shí),購買B公司的服裝比較合算;
當(dāng)參演男生等于200人時(shí),購買兩家公司的服裝總費(fèi)用相同,可在任一家公司購買;
當(dāng)參演男生多于200人時(shí),購買A公司的服裝比較合算.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)條件求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用、運(yùn)用不等式求設(shè)計(jì)方案的運(yùn)用,解答本題時(shí)根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出解析式是關(guān)鍵,建立不等式計(jì)算優(yōu)惠方案是難點(diǎn).
4.某校校園超市老板到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒,乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是甲品牌進(jìn)貨單價(jià)的2倍,考慮各種因素,預(yù)計(jì)購進(jìn)乙品牌文具盒的數(shù)量y(個(gè))與甲品牌文具盒的數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.當(dāng)購進(jìn)的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120個(gè)時(shí),購進(jìn)甲、乙品牌文具盒共需7 200元.
圖2
(1)根據(jù)圖像,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求甲、乙兩種品牌的文具盒進(jìn)貨單價(jià);
(3)若該超市每銷售1個(gè)甲種品牌的文具盒可獲利4元,每銷售1個(gè)乙種品牌的文具盒可獲利9元,根據(jù)學(xué)生需求,超市老板決定,準(zhǔn)備用不超過6 300元購進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具盒,且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1 795元,問該超市有幾種進(jìn)貨方案?哪種方案能使獲利最大?最大獲利為多少元?
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖像由待定系數(shù)法就可以直接求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)甲品牌進(jìn)貨單價(jià)是a元,則乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是2a元,根據(jù)購進(jìn)甲品牌文具盒120個(gè)可以求出乙品牌的文具盒的個(gè)數(shù),由共需7 200元為等量關(guān)系建立方程求出其解即可;
(3)設(shè)甲品牌進(jìn)貨m個(gè),則乙品牌進(jìn)貨(-m+300)個(gè),根據(jù)條件建立不等式組求出其解即可.
解:(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由函數(shù)圖像,得
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+300.
(2)∵y=-x+300,
∴當(dāng)x=120時(shí),y=180.
設(shè)甲品牌進(jìn)貨單價(jià)是a元,則乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是2a元,由題意,得
120a+180×2a=7 200,
解得:a=15,
∴乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是30元.
答:甲、乙兩種品牌的文具盒進(jìn)貨單價(jià)分別為15元,30元.
(3)設(shè)甲品牌進(jìn)貨m個(gè),則乙品牌進(jìn)貨(-m+300)個(gè),由題意,得
解得:180≤m≤181,
∵m為整數(shù),
∴m=180,181.
∴共有兩種進(jìn)貨方案:
方案1:甲品牌進(jìn)貨180個(gè),則乙品牌進(jìn)貨120個(gè);
方案2:甲品牌進(jìn)貨181個(gè),則乙品牌進(jìn)貨119個(gè).
設(shè)兩種品牌的文具盒全部售出后獲得的利潤為W元,由題意,得
W=4m+9(-m+300)=-5m+2 700.
∵k=-5<0,
∴W隨m的增大而減小,
∴m=180時(shí),W最大=1 800元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、列一元一次方程解實(shí)際問題、列一元一次不等式組解實(shí)際問題,解答時(shí)求出第一問的解析式是解答后面問題的關(guān)鍵.
5. 2013年“中國好聲音”全國巡演重慶站在奧體中心舉行.童童從家出發(fā)前往觀看,先勻速步行至輕軌車站,等了一會(huì)兒,童童搭乘輕軌至奧體中心觀看演出,演出結(jié)束后,童童搭乘鄰居劉叔叔的車順利到家.其中x表示童童從家出發(fā)后所用時(shí)間,y表示童童離家的距離.下圖能反映y與x的函數(shù)關(guān)系式的大致圖像是().
【分析】本題考查了用圖像法表示函數(shù),考查了對(duì)用圖像表示的分段函數(shù)的正確辨別.對(duì)于用圖像描述分段函數(shù)的實(shí)際問題,要抓住以下幾點(diǎn):①自變量變化而函數(shù)值不變化的圖像用水平線段表示;②當(dāng)兩個(gè)階段的圖像都是一次函數(shù)(或正比例函數(shù))時(shí),自變量變化量相同,而函數(shù)值變化越大的圖像與x軸的夾角就越大;③各個(gè)分段中,準(zhǔn)確確定函數(shù)關(guān)系;④確定函數(shù)圖像的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).
解:時(shí)間x=0時(shí),童童還在家里,所以圖像必過原點(diǎn);勻速步行前往,說明y逐步變大,是正比例函數(shù);等輕軌車,x變化,而y不變化,圖像是水平線段;乘輕軌車勻速前往奧體中心,速度比步行時(shí)大,在相同時(shí)間內(nèi),函數(shù)值變化量比步行時(shí)大,所以圖像是比步行時(shí)k值大的一次函數(shù).這樣,就基本可以確定答案為A.
【點(diǎn)評(píng)】本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)函數(shù)圖像的分段不準(zhǔn),對(duì)各個(gè)階段相對(duì)的變化快慢忽視.
6.“龜兔首次賽跑”之后,輸了比賽的兔子沒有氣餒,總結(jié)反思后,和烏龜約定再賽一場.圖中的函數(shù)圖像刻畫了“龜兔再次賽跑”的故事(x表示烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所行的時(shí)間,y1表示烏龜所行的路程,y2表示兔子所行的路程).有下列說法:
①“龜兔再次賽跑”的路程為1 000米;②兔子和烏龜同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā);③烏龜在途中休息了10分鐘;④兔子在途中750米處追上烏龜.其中正確的說法是________.(把你認(rèn)為正確說法的序號(hào)都填上)
【分析】結(jié)合函數(shù)圖像及選項(xiàng)說法進(jìn)行判斷即可.
解:根據(jù)圖像可知:
龜兔再次賽跑的路程為1 000米,故①正確;兔子在烏龜跑了40分鐘之后開始跑,故②錯(cuò)誤;烏龜在30到40分鐘時(shí)的路程為0,故這10分鐘烏龜沒有跑在休息,故③正確;y1=20x-200(40≤x≤60),y2= 100x-4 000(40≤x≤50),當(dāng)y1=y2時(shí),兔子追上烏龜,此時(shí)20x-200=100x-4 000,解得:x=47.5,y1=y2=750米,即兔子在途中750米處追上烏龜,故④正確.綜上可得①③④正確.
故答案為:①③④.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖像,讀函數(shù)的圖像時(shí)首先要理解橫縱坐標(biāo)表示的含義,理解問題敘述的過程,有一定難度.
圖3
7.某學(xué)校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽”活動(dòng),“喜洋洋”代表隊(duì)設(shè)計(jì)了一個(gè)遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運(yùn)動(dòng)的模型.甲、乙兩車同時(shí)分別從A,B出發(fā),沿軌道到達(dá)C處,在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,設(shè)t(分)后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1,d2,則d1,d2與t的函數(shù)關(guān)系如圖3,試根據(jù)圖像解決下列問題:
(1)填空:乙的速度v2=_______米/分;(2)寫出d1與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時(shí)信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾,試探求什么時(shí)間兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.
【分析】(1)根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系,可得答案;
(2)根據(jù)甲的速度是乙的速度的1.5倍,可得甲的速度,根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系,可得a的值,根據(jù)待定系數(shù)法,可得答案;
(3)根據(jù)兩車的距離,可得不等式,解不等式,可得答案.
解:(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分),故答案為40.
(2)v1=1.5×v2=1.5×40=60(米/分),
60÷60=1(分鐘),a=1,d1=
(3)d2=40t,當(dāng)0≤t<1時(shí),d1+d2>10,
即-60t+60+40t>10,
解得0≤t<2.5,
當(dāng)0≤t<1時(shí),兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾;
當(dāng)1≤t≤3時(shí),d2-d1>10,即40t-(60t-60)>10,解得t<2.5,
當(dāng)1≤t<2.5時(shí),兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.
綜上所述:當(dāng)0≤t<2.5時(shí),兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,(1)利用了路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系,(2)分段函數(shù)分別利用待定系數(shù)法求解,(3)當(dāng)0≤t<1時(shí),d2+d1>10,當(dāng)1<t≤3時(shí),d2-d1>10,分類討論是解題關(guān)鍵.
8.一個(gè)大燒杯中裝有一個(gè)小燒杯,在小燒杯中放入一個(gè)浮子(質(zhì)量非常輕的空心小圓球)后再往小燒杯中注水,水流的速度恒定不變,小燒杯被注滿后水溢出到大燒杯中,浮子始終保持在容器的正中間.用x表示注水時(shí)間,用y表示浮子的高度,則用來表示y與x之間關(guān)系的選項(xiàng)是().
【分析】分三段考慮.①小燒杯未被注滿,這段時(shí)間,浮子的高度快速增加;②小燒杯被注滿,大燒杯內(nèi)水面的高度還未達(dá)到小燒杯的高度,此時(shí)浮子高度不變;③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯,此時(shí)浮子高度緩慢增加.
解:①小燒杯未被注滿,這段時(shí)間,浮子的高度快速增加;
②小燒杯被注滿,大燒杯內(nèi)水面的高度還未達(dá)到小燒杯的高度,此時(shí)浮子高度不變;
③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯,此時(shí)浮子高度緩慢增加.
結(jié)合圖像可得B選項(xiàng)的圖像符合.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖像,解答本題需要分段討論,另外本題重要的一點(diǎn)在于:浮子始終保持在容器的正中間.
(作者單位:江蘇省無錫市太湖格致中學(xué))