朱宸材

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用圖像法解決一次函數(shù)問題

朱宸材

一次函數(shù)的圖像是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的體現(xiàn)，在研究一次函數(shù)性質(zhì)以及解決一次函數(shù)實(shí)際問題中起著重要作用.如果你把握住了一次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，就能使解題簡(jiǎn)單明了，事半功倍.下面我們從不同角度來看看一次函數(shù)圖像在解題中的運(yùn)用.

一、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b的圖像為一條直線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，（0，b）.它的傾斜程度由k決定，b決定該直線與y軸交點(diǎn)的位置.

例1已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過（2，5）和（-1，-1）兩點(diǎn).

（1）畫出這個(gè)函數(shù)的圖像；

（2）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

【分析】已知兩點(diǎn)可確定一條直線，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

解：（1）圖像如圖1所示.

圖1

（2）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，

所以函數(shù)解析式為y=2x+1.

二、一次函數(shù)與方程（方程組、不等式）的關(guān)系

根據(jù)一次函數(shù)的圖像求出一元一次方程或二元一次方程（組）的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程（組）的解也可確定一次函數(shù)表達(dá)式.

例2如圖2所示，已知函數(shù)y=3x+b 和y=ax-3的圖像交于點(diǎn)P（-2，-5），則根據(jù)圖像可得不等式3x+b＞ax-3的解集是________.

圖2

【分析】由圖像知當(dāng)x＞-2時(shí)，y=3x+b對(duì)應(yīng)的y值大于y=ax-3對(duì)應(yīng)的y值，或者y= 3x+b的圖像在x＞-2時(shí)位于y=ax-3圖像上方，故填x＞-2.

【分析】方程組中的兩個(gè)方程均為關(guān)于x，y的二元一次方程，可以轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的函數(shù).由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)y關(guān)于x的一次函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，可確定它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出方程組的解.

解：由①得y=2x-2，

由②得y=-x-5.

在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x-2，y=-x-5的圖像，如圖3所示.

圖3

觀察圖像可知，直線y=2x-2與直線y=-x-5的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-4）.

規(guī)律：解方程組通常用消元法，但如果把方程組中的兩個(gè)方程看作是兩個(gè)一次函數(shù)，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，那么它們的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

三、一次函數(shù)的圖像的平移問題

求一次函數(shù)圖像平移后的解析式是一類重要題型，在一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)k決定著直線的傾斜程度：直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2平行?k1=k2.

一次函數(shù)平移的三種方式：

（1）上下平移：在這種平移中，橫坐標(biāo)不變，改變的是縱坐標(biāo)也就是函數(shù)值y.平移規(guī)律是上加下減.

（2）左右平移：在這種平移中，縱坐標(biāo)不變，改變的是橫坐標(biāo)也就是自變量x.平移規(guī)律是左加右減.

（3）沿某條直線平移：這類題目稍有難度，“沿”的含義是一次函數(shù)圖像在平移的過程中與沿著的那條直線的夾角不變.解題時(shí)抓住平移前后關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的變化.

例4（1）點(diǎn)（0，1）向下平移2個(gè)單位后的坐標(biāo)是（0，-1），直線y=2x+1向下平移2個(gè)單位后的解析式是______.

（2）直線y=2x+1向右平移2個(gè)單位后的解析式是_______.

（3）如圖4，已知點(diǎn)C為直線y=x上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線y=2x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，將直線AB沿射線OC方向平移個(gè)單位，求平移后的直線的解析式.

圖4

【解析】根據(jù)平移規(guī)律，通過圖像可以比較容易地解決問題（.1）題經(jīng)過點(diǎn)（0，-1），y=2x+1-2=2x-1.

（2）題中y=2（x-2）+1=2x-3.

（3）題中首先過B作B′B∥OC，然后過B′作B′D⊥x軸于D，

∴B′D=BD=3，

設(shè)平移后解析式為y=2x+b，

∴解析式為y=2x-2.

四、一次函數(shù)的圖像與實(shí)際問題

數(shù)學(xué)史上有這樣一個(gè)經(jīng)典問題：某輪船公司每天中午都有一艘輪船從洛杉磯開往紐約，并且每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往洛杉磯.輪船在途中所花的時(shí)間來去都是七晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上.問今天中午從洛杉磯開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會(huì)遇到幾艘同一公司的輪船從對(duì)面開來？

圖5

如果你經(jīng)過深入思考后仍然無(wú)法回答這個(gè)問題，別著急.因?yàn)檫@道題曾經(jīng)難倒過一些數(shù)學(xué)家.如果將這道題同我們所學(xué)的函數(shù)圖像聯(lián)系起來，解答就方便多了.如圖5所示，t軸代表時(shí)間，O點(diǎn)代表輪船出發(fā)的那一天，O點(diǎn)右邊的正數(shù)代表出發(fā)后的天數(shù)，O點(diǎn)左邊的負(fù)數(shù)則代表出發(fā)前的第幾天.S軸代表路程，O為洛杉磯的位置，另在S軸上任選一點(diǎn)A作為紐約的位置，這樣，從左上方畫向右下方的那組平行線就是輪船出發(fā)前后若干天內(nèi)從紐約開往洛杉磯的各艘輪船的路程圖線；OM就是“今天中午從洛杉磯開出的那艘輪船”的路程圖線.從圖中可明顯地看出，從洛杉磯開出的輪船抵達(dá)紐約時(shí)，遇到了15艘同一公司的輪船從對(duì)面開來.于是這道看似非常困難的問題就這樣被輕而易舉地解決了.

綜上，利用圖像解決一次函數(shù)問題，關(guān)鍵要抓住圖像與函數(shù)中k、b的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是圖形的基本變換如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折中k、b的變化情況，用好待定系數(shù)法，這樣就能迅速準(zhǔn)確地解決一次函數(shù)的有關(guān)問題.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市金星中學(xué)）