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從課本的一道圖像問題談起
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蘇科版八年級(jí)上冊(cè)(第158頁)有這樣一個(gè)問題:
例題:根據(jù)圖中的函數(shù)圖像,說出x、y變化過程中的實(shí)際意義.
圖1
【分析】x、y變化過程可以分為三個(gè)部分.
(1)當(dāng)x從0增大到8時(shí),y從0增大到2;
(2)當(dāng)x從8增大到14時(shí),y的值不變;
(3)當(dāng)x從14增大到24時(shí),y從2減小到0.
如果給x、y這兩個(gè)變量以某種實(shí)際意義,那這個(gè)圖像就可以表示某種實(shí)際的變化過程.
解:設(shè)x表示時(shí)間(min),y表示路程(km),則圖的實(shí)際意義可以是:小明以250 m/min的速度勻速騎自行車8 min到達(dá)某地;在該地休息了6 min;然后以200 m/min的速度勻速騎自行車10 min返回出發(fā)地.
課本中的這一問題是看圖“講故事”,即賦予“函數(shù)圖像”以某種實(shí)際意義(不唯一),有利于同學(xué)們學(xué)會(huì)“讀”函數(shù)圖像,更好地感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,更深刻地感悟模型思想.
變式1(2015·浙江義烏)小敏上午8:00從家里出發(fā),騎車去一家超市購物,然后從這家超市返回家中.小敏離家的路程y(米)和所經(jīng)過的時(shí)間x(分)之間的函數(shù)圖像如圖2所示.請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問題:
(1)小敏去超市途中的速度是多少?在超市逗留了多少時(shí)間?
(2)小敏幾點(diǎn)幾分到家?
圖2
【分析】本題屬圖像分析問題,考查對(duì)圖像的識(shí)別、分析能力.圖像中的三條線段體現(xiàn)了分段函數(shù).
解:(1)3000÷10=300米/分,逗留時(shí)間為30分鐘.
(2)設(shè)回家時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系是y= kx+b,代入(40,3000),(45,2000)可得:
于是y=-200x+11 000,當(dāng)y=0時(shí),x=55.
答:返回到家時(shí)間為8:55.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)圖像與實(shí)際問題的結(jié)合,根據(jù)已知圖像得出正確信息是解題關(guān)鍵.
變式2(2015·江西南昌)在一次遙控車比賽中,電腦記錄了速度的變化過程,如圖3所示,能否用函數(shù)關(guān)系式表示這段記錄?
圖3
【分析】根據(jù)所給圖像及函數(shù)圖像的增減性,本題要分三種情況進(jìn)行討論.電腦記錄提供了賽車時(shí)間t(s)與賽車速度v(m/s)之間的關(guān)系,在10 s內(nèi),賽車的速度從0增加到7.5 m/s,又減至0,因此要注意時(shí)間對(duì)速度的影響.
解:觀察圖像可知.
當(dāng)t在0~1 s時(shí),速度v與時(shí)間t是正比例函數(shù)關(guān)系,v=7.5t(0≤t≤1).
當(dāng)t在1~8 s時(shí),速度v保持不變,
v=7.5(1<t≤8);
當(dāng)t在8~10 s時(shí),速度v與時(shí)間t是一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)一次函數(shù)為v=kt+b(k≠0),又一次函數(shù)圖像過(8,7.5)和(10,0),
∴v=-3.75t+37.5(8<t≤10).
【點(diǎn)評(píng)】待定系數(shù)法的做法是,在函數(shù)上找出一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn),代入設(shè)好的函數(shù)式,面對(duì)三段圖像,各個(gè)擊破是常用的方法.
變式3(2014·浙江)小聰和小明沿同一條路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到寧波天一閣查閱資料,學(xué)校與天一閣的路程是4千米.小聰騎自行車,小明步行,當(dāng)小聰從原路回到學(xué)校時(shí),小明剛好到達(dá)天一閣.圖4中折線O-A-B-C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系,請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問題.
圖4
(1)小聰在天一閣查閱資料的時(shí)間為______分鐘,小聰返回學(xué)校的速度為______千米/分鐘;
(2)請(qǐng)你求出小明離開學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)小聰與小明迎面相遇時(shí),他們離學(xué)校的路程是多少千米?
(2)由圖像可知,s是t的正比例函數(shù),設(shè)所求函數(shù)的解析式為s=kt(k≠0),將(45,4)代入得4=45k,解得k=.
(3)由圖像可知,在30≤t≤45的時(shí)段內(nèi),小聰離開學(xué)校的路程s是t的一次函數(shù),設(shè)函數(shù)解析式為s=mt+n(m≠0),將(30,4),(45,0)代入得解得
即當(dāng)小聰與小明迎面相遇時(shí),他們離學(xué)校的路程是3千米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用、一元一次方程的運(yùn)用,解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
由上面的例子可以看出,一次函數(shù)題型豐富,但都是有規(guī)律可循的,通過對(duì)課本問題的理解和掌握,在解題的過程中仔細(xì)審題,抓住一次函數(shù)的本質(zhì),靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,考場(chǎng)上才能做到以不變應(yīng)萬變,從容答題.
(作者單位:江蘇省無錫市新城中學(xué))