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例談點(diǎn)的確定問題中的思想方法
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“數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體,基于數(shù)學(xué)知識(shí),又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱形知識(shí).”下以《平面直角坐標(biāo)系》中有關(guān)點(diǎn)的確定問題為例,談?wù)勂渲兴鶟B透的數(shù)學(xué)的思想方法,望同學(xué)們能舉一反三.
例1在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(m-1,2m+3),當(dāng)m取不同值時(shí),P表示不同的點(diǎn),但P永遠(yuǎn)不可能在第幾象限?
【分析】同學(xué)們常見的解法是,m取幾個(gè)不同的值代入,如m=2,0,-2,描點(diǎn)觀察P點(diǎn)可能在第一、第二、第三象限,故不在第四象限.此時(shí)不妨運(yùn)用逆向思維.若在第一象限,則得到不等式組解集為m> 1,所以可能在第一象限.類似地,若在第四象限,則得到不等式組無解,所以不可能在第四象限.
加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練,可以培養(yǎng)我們思維的靈活性和發(fā)散性,使我們能進(jìn)行知識(shí)的遷移.
例2如圖1,將射線OX按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β角,得到射線OY,如果點(diǎn)P為射線OY上的一點(diǎn),且OP=a,那么我們規(guī)定用(a,β)表示點(diǎn)P在平面內(nèi)的位置,并記為P(a,β).例如,圖2中,如果OM=8,∠XOM=110°,那么點(diǎn)M在平面內(nèi)的位置記為M(8,110).
圖1
圖2
(1)圖3中,如果點(diǎn)N在平面內(nèi)的位置記為N(6,30),那么ON=_______,∠XON=_______;
圖3
(2)如果點(diǎn)A、B在平面內(nèi)的位置分別記為A(4,30),B(4,90),試求A、B兩點(diǎn)之間的距離.
(3)在(2)中,若以AB為一邊在平面內(nèi)作等邊三角形△ABC,試用上述記法表示出另一個(gè)頂點(diǎn)C.
【分析】此題是一道閱讀理解題,涉及極坐標(biāo)系的內(nèi)容,同學(xué)們會(huì)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到.我們可以類比聯(lián)想平面直角坐標(biāo)系表示物體位置的方法,聯(lián)想此題確定P點(diǎn)位置的兩個(gè)數(shù)據(jù):第一個(gè)表示長(zhǎng)度,第二個(gè)表示角度,從而轉(zhuǎn)化成幾何問題,尤其是第2問,90°-30°=60°,我們會(huì)聯(lián)想到等邊三角形的知識(shí),所以AB=4,從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.
例3 如圖4,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在x軸上,且△APO是等腰三角形,則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是().
圖4
A.(4,0)B.(1,0)
【分析】作為選擇題,我們會(huì)采用代入描點(diǎn)法確定B是不可能的.這時(shí)我們只能解決一道題而不是一類題,若改為填空題或解答題要求求出所有滿足條件的點(diǎn),就要求我們會(huì)用分類的思想方法來解決.分類的思想就是要求我們從具體出發(fā),選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),同時(shí)要確保分類的結(jié)果既無遺漏,也不能交叉重復(fù),這種滲透有助于培養(yǎng)我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性.此題以等腰三角形的頂角為分類的依據(jù),A在頂角或O在頂角或P在頂角. P(14,0),P(22,0),P(3-2,0)P(42,0),故B不可能.在解決本題的基礎(chǔ)上我們還可深入思考:若P在坐標(biāo)軸上時(shí)共有幾個(gè)?從而打開我們的思路,增強(qiáng)我們的數(shù)學(xué)能力.
我們現(xiàn)在缺少的不是數(shù)學(xué)知識(shí),而是對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解;缺少的不是問題解決,而是發(fā)現(xiàn)問題的眼光;缺少的不是題量,而是舉一反三的能力.數(shù)學(xué)思想方法能幫助我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì),建立數(shù)學(xué)觀和用數(shù)學(xué)解決問題的能力,讓我們自己去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和處理問題,更積極有效地探究數(shù)學(xué)的奧秘.
(作者單位:江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué))